Ю.Н. Макаров - Лекции по математическому анализу для студентов первого курса Химфака МГУ, страница 5

Замечание. Теорема Лагранжа имеет следующую геометрическую интерпретацию: Рассмотрим график функции . Обозначим и − концевые точки графика. Равенство Лагранжа означает, что касательная к графику в точке параллельна хорде , соединяющей концевые точки и графика функции.

Теорема Коши. Пусть функции и удовлетворяют условиям:
1)  ,
2)  ,
3)  .
Тогда   такая, что  .
Доказательство. Применим следствие 2 теоремы Ролля: такая, что:  .
Заметим, что , т.к. в противном случае по теореме Ролля такая, что , но это противоречит условию теоремы Коши. Из доказанного равенства и следует утверждение теоремы.

§ 24. Формула Тейлора

Пусть , т.е. раз дифференцируема в точке . Обозначим − многочлен от , который будем называть многочленом Тейлора функции .

Теорема 1. Пусть , т.е. раз дифференцируема в окрестности точки . Тогда справедливо равенство:

, (1)

где . (2)

Замечание. Равенство (1) называют формулой Тейлора с остатком (2) в форме Лагранжа.

Доказательство. Зафиксируем значение и рассмотрим вспомогательную функцию , где . Тогда функция удовлетворяет условиям следствия 1 теоремы Ролля на отрезке  .
Действительно, справедливы равенства:

,
,
..................................................................................
.

Следовательно, такая, что ( ), т.к. . Далее из доказанного равенства находим значение .
Итак, мы доказали, что выполняется равенство:

.

Подставляя в это равенство значение и ввиду того, что , получаем соотношение: , из которого следует утверждение теоремы 1.

Теорема 2. Пусть и . Тогда имеет место равенство:

, где . (3)

Замечание. Равенство (3) называется формулой Тейлора с остатком в форме Пеано.
Доказательство. По теореме 1 справедливо равенство: , где . Так как , то , откуда следует, что:

.

Теорема 2 доказана.

Замечание. Формула Тейлора с остатком может быть применена для приближенных вычислений значений функций, а с остатком для вычислений пределов.

§ 25. Представление основных элементарных функций с помощью формулы Тейлора

При формула Тейлора примет следующий вид:

, (4)

где остаток можно представить либо в форме Лагранжа , либо в форме Пеано . Формулу (4) называют формулой Маклорена. Найдем представление функций , , , , по формуле (4):

1) Как было доказано ранее , ,

где ;

2) Ввиду того, что по формуле (4) получим: ,

где ;

3) Так как , то по формуле (4) получим: ,

где ;

4) ,

где ;

5)

,

где .

§ 26. Правило Лопиталя

Теорема 1  . Пусть , ; ,   и  . Тогда  .
Доказательство. Доопределим функции и в точке равенствами . Далее применим к этим функциям теорему Коши о конечных приращениях на отрезке : такое, что равенство или . По условиям теоремы: . Теорема 1 доказана.

Определение. .

Теорема 2 . Пусть , ; ,   и  . Тогда  .
Доказательство. Пусть точки , (или ). Применим теорему о конечных приращениях к и на отрезке : такая, что выполняется равенство:

,
или

. (1)

Пусть зафиксировано произвольное число . Так как по условию теоремы , то такое, что . Пусть . Зафиксируем число , . Вычитая из обеих частей равенства (1) число , представим его потом в следующем виде:

.

Т.к. локально ограничено в точке , то:

,

такое, что:

(2).

Итак, из равенства (2) следует, что:

Теорема 2 доказана.

Определение. .

Замечание. Утверждения теорем 1 и 2 также справедливы, если .
Доказательство. .

§ 27. Исследование функций

Нахождение локального экстремума функции

Доказанная ранее теорема Ферма устанавливает необходимое условие локального экстремума функции в точке , если .

Теорема 1 (достаточное условие локального экстремума). Пусть и . Кроме того, , а . Тогда в точке функция имеет строгий локальный экстремум, причем если , то – точка строгого локального максимума.

Доказательство. Запишем формулу Тейлора для :

,
или
.

Т.к. по условию теоремы , знак правой части последнего равенства в достаточно малой окрестности определяется знаком числа . Поэтому, если , то , т.е. – точка строгого локального минимума, а если , то аналогично – точка строгого локального максимума. Теорема 1 доказана.

Замечание. Если , то теорема 1 не позволяет установить является ли точка точкой локального экстремума.

Следующая теорема обобщает результат теоремы 1.

Теорема 2. Пусть и . Кроме того, , а . Тогда если четно, то – точка строгого локального экстремума, причем, если , то – точка строгого локального минимума, а если , то – точка строгого локального максимума. Если же нечетно, то в точке функция не имеет локального экстремума.
Доказательство. Представим по формуле Тейлора:

,
или

. (1)

Если четно, то знак правой части равенства (1) в достаточно малой окрестности определяется знаком . Следовательно, если ,то , т.е. – точка строгого локального минимума; если , то , т.е. – точка строгого локального максимума. Если же число нечетно, то значения правой части равенства (1) имеет разные знаки в правой и левой полуокрестностях точки. Следовательно, точка не является точкой локального экстремума. Теорема 2 доказана.

Условия выпуклости функции

Пусть .

Определение. Функция выпукла вверх в точке , если:

,

и выпукла вниз, если:

.

Геометрически условия выпуклости означает, что если выпукла вверх в точке , то график функции лежит ниже графика касательной к этой функции в точке , когда ; и если выпукла вниз в точке , то график функции лежит выше графика касательной к этой функции в точке , когда .

Теорема 1. Пусть , и . Тогда, если , то выпукла вниз в точке ; если , то выпукла вверх в точке  .
Доказательство. Воспользуемся формулой Тейлора для :

,
или
.

Знак правой части последнего равенства в достаточно малой окрестности определяется знаком числа . Поэтому, если , то: или т.е. – точка выпуклости вниз . Аналогично, если , то аналогично – точка выпуклости вверх . Теорема 1 доказана.

Определение. Точка есть точка перегиба функции , если знак выражения разный для точек, принадлежащих левой и правой полуокрестностям точки . Геометрически это означает, что график функции в левой и правой полуокрестностях точки лежит по разные стороны от касательной в точке .

Теорема 2. Пусть и . Кроме того, , а . Тогда если нечетно, то – точка перегиба; если число четное, то при функция выпукла вниз в точке , а при функция выпукла вверх в точке  .
Доказательство. Воспользуемся формулой Тейлора для :

,
или
.

Если нечетное, то знак выражения в правой части последнего равенства различный в левой и правой полуокрестностях точки – точка перегиба. Если число четное, знак правой части этого равенства в достаточно малой окрестности точки определяется знаком . Поэтому, если  ,то: , т.е. функция выпукла вниз в точке  , а если  , то: , т.е. функция выпукла вверх в точке . Теорема 2 доказана.

Cin

A

56