Ю.Н. Макаров - Лекции по математическому анализу для студентов первого курса Химфака МГУ, страница 2

§ 4. Предел функции

Определения:
Окрестностью точки будем называть произвольный открытый интервал, содержащий точку , и обозначать .
Проколотой окрестностью точки будем называть окрестность точки , из которой исключена сама точка , и обозначать .
δ-окрестностью точки будем называть такую окрестность точки , что , т.е. множество точек расположенных на действительной прямой на расстоянии от точки меньшем, чем .
Проколотой δ-окрестностью точки будем называть множество , т.е. – δ-окрестность точки , из которой исключена сама точка .

Пусть функция определена в некоторой .

Определение предела функции. Число называется пределом функции при стремящемся к , или , если выполнено следующее условие: такое, что .

Замечание. В определении предела функции в точке не учитывается значение функции в самой точке . В частности, значение может отличаться от или быть вовсе не определено.

Определение бесконечно малой величины (б.м.в.). Функция называется бесконечно малой величиной (сокращенно б.м.в.) в точке , если .

Утверждение. , где есть б.м.в. в точке .

Это утверждение следует из определений предела функции и б.м.в., ввиду эквивалентности неравенств: .

Определение. Функцию будем называть локально ограниченной в точке , если такие, что или (эквивалентное условие) если такая, что .

Утверждение. Если , то локально ограничена в точке .
Доказательство. Так как в определении предела функции число может быть выбрано произвольно, то положим , тогда такое, что . Следовательно, функция локально ограничена. Утверждение доказано.

Свойства бесконечно малых величин.

Утверждение. Пусть и − б.м.в., а локально ограничена в точке . Тогда , и − б.м.в.
Доказательство. Докажем, что − б.м.в. в точке .По определению б.м.в. и . Пусть выбрано число . Тогда и такие, что ,  .
Пусть  , тогда  .
Следовательно , т.е. , по определению предела это означает, что  − б.м.в. в точке  .
Далее докажем, что − б.м.в. в точке .
Пусть задано число . Так как локально ограничена в точке , то такая, что . Далее, по определению предела функции такое, что . Следовательно, , т.е. , и тем самым доказано, что   − б.м.в. в точке  .
Осталось доказать, что − б.м.в. в точке .
Так как , то локально ограничена в точке по доказанному выше утверждению. Следовательно, − б.м.в. в точке .

Арифметические свойства предела функции. Пусть в некоторой заданы функции и такие, что и , тогда выполняются следующие равенства:
1) 
2) 
3) если  , то  .
Доказательство. Так как по доказанному выше: , где и − б.м.в. в точке , то:

.

По свойствам б.м.в. и есть б.м.в. в точке . Следовательно, справедливы свойства 1) и 2).
Для доказательства свойства 3) заметим, что при функция локально ограничена (доказать самостоятельно). Далее представим частное функций   и   в следующем виде:

По свойствам б.м.в. есть б.м.в., следовательно свойство 3) также доказано.

§ 5. Односторонние пределы.
Предел монотонной и ограниченной функции

Определение. Число называется пределом справа функции в точке , или , если такое, что .

Аналогично определяется предел слева. Число называется пределом слева функции в точке , или , если такое, что .

Из определений пределов следует

утверждение.  .

В качестве примера рассмотрим функцию: .

Справедливы равенства , .

Определения:

Функцию будем называть неубывающей (невозрастающей) на интервале , если (или ).

Функцию будем называть возрастающей (невозрастающей) на интервале , если (или ).

Функцию будем называть монотонной на , если она неубывающая или невозрастающая на .

Функцию будем называть строго монотонной на , если она возрастает или убывает на .

Функцию будем называть ограниченной на , если множество её значений ограничено.

Утверждение. Пусть функция монотонна и ограничена на , тогда и . Кроме того, и .
Доказательство. Пусть функция неубывающая, точка . Докажем, что . Рассмотрим множество . По условию ограничено, следовательно, по аксиоме 1 полноты . Обозначим и докажем, что . Действительно, из того, что следует: . Обозначим , тогда ввиду неубывания функции  : 

. Мы доказали, что . Аналогично доказывается , , . Доказательство этих утверждений предлагаем сделать самостоятельно, а также рассмотреть случай невозрастающей функции.

§ 6. Предел сложной функции

Теорема о пределе сложной функции. Пусть функция определена в , а функция в ; кроме того , , , тогда  .
Доказательство. Пусть задано число . По определению предела такое, что . Заметим, что при . Далее, так как , то такое, что . Пусть , тогда , что и доказывает теорему.

Замечание. Условие теоремы нельзя отбросить, как показывает следующий пример: при , где можно показать, что , , а не существует. Предлагаем доказать это самостоятельно.

§ 7. Переход к пределу в неравенстве

Утверждение 1. Пусть функции и определены в , , , , , тогда .
Доказательство. Пусть . Выберем число , тогда, по определению предела функции такое, что , что противоречит условию . Следовательно . Утверждение 1 доказано.

Утверждение 2 (лемма о двух милиционерах). Пусть функции , и определены в , , , , тогда  .
Доказательство. Рассмотрим 2 случая:
1) Пусть , тогда по определению предела функции такое, что: . Следовательно,  .
2) Пусть , тогда обозначим , , . Функции удовлетворяют неравенствам и . Следовательно по доказанному выше , что и требовалось доказать.

§ 8. Предел

У тверждение.  .
Доказательство. Пусть  .
Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром . Луч, выходящий из центра под углом радиан к оси пересекает окружность в точке , а ось в точке .
Площадь треугольника не превосходит площади сектора , которая в свою очередь не превосходит площади треугольника  , т.е.  . Последнее неравенство, ввиду чётности функций и справедливо для всех . Заметим, что , т.к. . Следовательно, переходя к пределу в неравенстве , получим требуемое утверждение.

§ 9. Предел и три следствия из него

Утверждение.  .
Доказательство.
Определение. Целой частью числа (обозначается ) называется наибольшее целое число, не превосходящее  .
Пример.  .
Пусть . Обозначим . Тогда, из определения целой части числа следует, что . Применим к этому неравенству лемму о двух милиционерах. Так как и , то 
Далее докажем, что . Пусть . Обозначим . Тогда ввиду равенств .. Обозначим . Тогда и при , . Следовательно, получаем соотношение и . Итак, мы доказали, что , т.е. , что и требовалось доказать.

Из доказанного утверждения выведем три важных предела:
1)  ;
2)  ;
3)  .
Доказательства:
1)  ;
2)  ;
3)  .
Правомерность этих предельных переходов следует из непрерывности функций и , что будет доказано далее.

§ 10. Сравнение бесконечно малых величин

Будем предполагать, что функции, которые мы будем рассматривать в этом параграфе определены в окрестности нуля.

Определение. Функция есть (о-малое от функции ), если . Запись , .т.е. − бесконечно малая величина.

Свойства бесконечно малых величин:
1) если  , то  ;
2)  , если (символ “ ” означает, что левую часть равенства можно заменить на правую);
3)  ;
4)  ;
5) если  , то  ;
6)  ;
7)  .
Доказательство. Докажем два первых свойства. Доказательство остальных предлагаем сделать самостоятельно.
1) Пусть . Тогда по определению о-малого: .
Свойство 1 доказано.
2) Пусть и , , и , тогда , что и требовалось доказать.

Примеры:
1)  ;
2)  ;
3)  ;
4)  .

Свойства бесконечно малых величин удобно применять при вычислении пределов.