Ю.Н. Макаров - Лекции по математическому анализу для студентов первого курса Химфака МГУ, страница 4

Теорема Кантора. Пусть . Тогда равномерно непрерывна на . (Без доказательства)

§ 18. Производная функции в точке

Пусть определена в .

Определение. Производной функции в точке называется предел:

, (1)

если он существует. Обозначим , . Тогда равенство (1) эквивалентно равенству:

. (2)

Определение. Функцию называют дифференцируемой в точке , если такое, что справедливо равенство:

. (3)

Сравнивая соотношения (2) и (3), получим . Таким образом, если функция дифференцируема в точке , то она имеет в точке производную . Верно и обратное: если имеет в точке производную, то она дифференцируема в этой точке. Кратко будем записывать: . Рассмотрим график функции . Обозначим , точки с координатами соответственно . Прямую, проходящую через точки и будем называть секущей графика. Тогда угловой коэффициент секущей, т.е. тангенс угла наклон секущей с осью , равен . Предельное положение секущей, когда , есть касательная к графику в точке . Таким образом, угловой коэффициент касательной равен , а уравнение самой касательной будет .

Производная суммы, произведения и частного двух функций:
1)  ;
2)  ;
3) если  , то  .
Доказательство:
1) 
;
2) 

;
3) Пусть  . Тогда 
.
Далее, применяя доказанное правило дифференцирования произведения функций, получим соотношение:
.

§ 19. Дифференцирование обратной функции

Утверждение. Пусть определена , строго монотонна и непрерывна, и .Тогда в , где определена обратная функция также строго монотонная, непрерывная,   и  .
Доказательство. Существование и непрерывность обратной функции было доказано ранее. Далее имеем: .

§ 20. Дифференцирование сложной функции

Утверждение. Пусть определена , , а определена в , , . Тогда и  .
Доказательство. Так как   и  , то:

 и
.

Из этих соотношений по свойствам б.м.в. следует, что: .
Утверждение доказано.

Производные основных элементарных функций и обратных к ним:
Используя доказанные выше свойства производных и пределов, докажем следующие равенства:

1)  ;
2)  ;
3)  ;
4)  ;
5)  ;
6)  ;
7)  ;
8)  ;
9)  ;
10)  ;
11)  ;
12) 
13)  ;

Доказательства:
1)  ;
2)  ;
3)  ;
4)  ;
5)  ; другое доказательство:
;
6)  ;
7)  ;
8) 
, т.к.  ;
9)  ;
10)  ;
11)  ;
12)  ;
13)  ;

§ 21. Дифференциал функции и его свойства

Пусть , тогда . Величина есть главная линейная (по ) часть приращения функции . Будем вместе с функцией рассматривать другую функцию от переменного при фиксированном значении . Таким образом, функция есть линейная функция от , определённая в точке .

Определение. − называется дифференциалом функции в точке . Другая запись .

Свойства дифференциала

Важным свойством дифференциала функции является инвариантность формы дифференциала относительно замены переменной:
Пусть есть функция от новой переменной . Тогда и ,с другой стороны . В первом случае есть функция от , во втором от .

По правилу дифференцирования сложной функции . мы можем рассматривать как дифференциал функции , т.е. − это равенство и выражает свойство инвариантности первого дифференциала относительно замены переменной.

Отметим еще некоторые свойства дифференциала, которые следуют из соответствующих свойств производных.

Пусть и − некоторые дифференцируемые функции. Тогда справедливы равенства:

1)  ;
2)  ;
3) если , то .

Доказательство этих свойств предлагаем сделать самостоятельно.

§ 22. Производные произвольных порядков. Формула Лейбница

Определение. Производной второго порядка в точке функции называется производная от в точке , т.е. .

Аналогично производная порядка равна .

Заметим, что функция может иметь первую производную точке и не иметь вторую и все последующие.

Пример. Для функции и не существует (доказать самостоятельно).

Вычислим производные произвольных порядков от некоторых функций. Следующие равенства доказываются индукцией по при .

1)  ;
2)  , в частности  ;
3)  , в частности  ;
4)  , в частности: , где есть произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно.

5)  , в частности .

Далее выведем формулу позволяющую вычислять производную -ого порядка произведения двух функций:

Пусть и − раз дифференцируемые функции. Тогда справедлива следующая

формула Лейбница. , где , , − биномиальные коэффициенты, а символ означает сумму   слагаемых   при  .
Доказательство. Отметим важное свойство биномиальных коэффициентов: , . Действительно, по определению чисел   получаем равенства:
Далее, для доказательства формулы Лейбница применим метод математической индукции по числу . При эта формула совпадает с известной формулой для производной произведения двух функций.
Пусть для некоторого  .
Тогда, дифференцируя это равенство еще раз получим соотношения: = , что и доказывает формулу Лейбница при следующем значении . Таким образом, в силу математической индукции формула Лейбница справедлива при всех .

§ 23. Теоремы о конечных приращениях

Пусть определена в .

Определение. Функция   имеет в точке  :
локальный максимум, если  ,
строгий локальный максимум, если  ,
локальный минимум, если  ,
строгий локальный минимум, если  ,
локальный экстремум − локальный максимум или локальный минимум,
строгий локальный экстремум – строгий локальный максимум или минимум.

Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума). Пусть определена , и имеет в точке локальный экстремум. Тогда  .
Доказательство. Пусть для определенности − точка локального минимума. Тогда или .
Если  , то  .
Если  , то  .
Таким образом, должны одновременно выполнятся два неравенства:
. Теорема доказана.

Замечания: 1) Функция имеет в точке локальный минимум, но  .
2)Функция имеет в точке производную , но точка не является точкой локального экстремума.

Теорема Ролля. Пусть выполнены следующие условия: 1)  ,
2)  ,
3)  .
Тогда   такая, что  .
Доказательство. Если , , то и утверждение теоремы выполнено.
Если принимает различные значения на , то по доказанной теореме такие, что , . Тогда хотя бы одна из точек и отлична от концевых точек и . Пусть . Тогда по теореме Ферма . Теорема Ролля доказана.

Следствие 1. Пусть (т.е. раз дифференцируема во всех точках ) и . Тогда  такая, что  .
Доказательство. По теореме Ролля такая, что , такая, что и так далее: такая, что . Следствие 1 доказано.

Пусть функции и определены на . Обозначим:

.

Следствие 2. Пусть . Тогда  такая, что  .
Доказательство. Функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля, т.к. . Следовательно, такая, что . Следствие 2 доказано.

Теорема Лагранжа. Пусть и . Тогда такая, что выполняется равенство:  .
Доказательство. Применим следствие 2 теоремы Ролля, определив функцию . Тогда такая, что , т.е. или . Теорема Лагранжа доказана.

Следствие 1. Если , то − постоянная функция, т.е.  .
Доказательство. Пусть . Применим теорему Лагранжа к функции на : ,  , т.е. , что и доказывает следствие 1.

Следствие 2. Пусть (или ). Тогда функция неубывающая (или невозрастающая) на .
Доказательство. Пусть ,  . Применяя теорему Лагранжа, получим неравенство: ,  , т.е. . Следствие 2 доказано.

Замечание. Если (или ) , то функция возрастает (или убывает) на . Доказательство аналогично доказательству следствия 2.

С ледствие 3. Если , то есть многочлен от степени, не превосходящей  .
Доказать самостоятельно (индукцией по ).