Ю.Н. Макаров - Лекции по математическому анализу для студентов первого курса Химфака МГУ, страница 3

§ 11. Непрерывность функции в точке

Пусть функция определена в , окрестности точки .

Определение. Функция непрерывна в точке (краткая запись: ), если .

Свойства непрерывных в точке функций:
1) Если , то и ; кроме того, если  , то  .
2) Если  , то  .
Доказательство свойства 1 получается, если воспользоваться соответствующими свойствами пределов функции.
Для доказательства свойства 2 нужно применить теорему о пределе сложной функции.

§ 12. Типы разрывов функции в точке

Определение. Функция имеет в точке устранимый разрыв, если и или значение не определено.

Пример. . Значение не определено. Если мы определим , то функция станет непрерывной в точке .

Определение. Функция имеет в точке разрыв первого рода, или скачок, если , и .

Пример. .

Определение. Функция имеет в точке разрыв второго рода, если не существует хотя бы один из односторонних пределов или .

Примеры:
1)   при  ;
2)   при  ;
3)   − функция Дирихле.
В первых двух примерах точка является точкой разрыва второго рода. В третьем примере функция имеет разрыв второго рода в любой точке (доказать самостоятельно).

§ 13. Непрерывность монотонной функции.

Определение. Функция непрерывна справа (слева) в точке , если (соответственно ).

Определение. Функция непрерывна на отрезке , если , , кроме того непрерывна справа в точке и непрерывна в точке .

Теорема. Пусть функция определена на отрезке и монотонна, т.е. не убывает или не возрастает на . Кроме того функция принимает все промежуточные значения между и . Тогда .
Доказательство. По теореме о пределе монотонной функции и . Пусть для определённости функция не убывает, тогда: , . Переходя к пределу в неравенстве получаем: .
Если , то выберем число так, чтобы и . Тогда , что противоречит предположению теоремы. Следовательно, и . Аналогично доказывается, что непрерывна слева в точке и непрерывна справа в точке (доказать самостоятельно). Теорема доказана.

Следствие. Из доказательства теоремы следует, что, если монотонна на , то либо , либо имеет в точке разрыв первого рода (скачок).

§ 14. Непрерывность обратной функции

Определение. Пусть функция определена на некотором множестве , а − множество значений функции , причем каждому значению соответствует единственное значение такое, что . Тогда определена функция , такая, что , которая называется обратной функцией к .

Теорема. Пусть функция определена на отрезке и на нём строго монотонна, т.е. возрастает или убывает. Кроме того, функция принимает все промежуточные значения между и . Тогда существует обратная функция , определенная и непрерывная на   и также строго монотонная.
Доказательство. Пусть для определенности функция возрастает на . Тогда . Таким образом, каждому значению соответствует единственное значение такое, что , т.е. определена обратная функция , которая также возрастает на . Кроме того эта функция принимает все промежуточные значения между и . Следовательно, по доказанной выше теореме . Теорема доказана.

§ 15. Непрерывность основных элементарных функций и
обратных к ним

Постоянная функция , и функция непрерывны на всей числовой прямой (т.е. ) по теореме о непрерывности монотонной функции, принимающей все промежуточные значения. Далее, ввиду того, что сумма, произведение и частное непрерывных функций есть непрерывная функция в области определения, функция , где и − многочлены от , есть непрерывная функция на всей числовой прямой за исключением точек, в которых .

Показательная функция есть функция монотонная и не имеет скачков (это доказывается в курсе элементарной математики). Следовательно, .

Функция на отрезках и монотонна, принимает все промежуточные значения, следовательно, . Кроме того, ввиду периодичности функции с периодом .

Функция ввиду непрерывности сложной функции .

Функции и непрерывны на всей числовой прямой за исключением точек, в которых эти функции не определены ввиду непрерывности функций и , а также по свойству непрерывности частного двух непрерывных функций.

Из теоремы о непрерывности обратных функций следует, что ; ; . Кроме того, функция , ввиду непрерывности сложной функции .

§ 16. Свойства функций непрерывных на отрезке

Определение. Функция называется неограниченной на множестве , если .

Теорема 1. Пусть . Тогда ограничена на .
Доказательство. Предположим, что не ограничена на . Тогда выберем и такое, что . Обозначим . Разделим отрезок на два равных по длине отрезка и . Тогда хотя бы на одном из этих отрезков не ограничена. Обозначим ту половину , на которой не ограничена. Выберем точку такую, что . Далее, опять разделим отрезок пополам, обозначим ту половину, на которой не ограничена и выберем так, что , и так далее.
В результате мы получаем систему стягивающихся отрезков и последовательность , . По лемме о вложенных отрезках , . Так как последовательность отрезков стягивающаяся, то . Кроме того, ввиду неравенства , по лемме о двух милиционерах . Так как по условию теоремы функция , то и локально ограничена в точке . С другой стороны, по построению последовательности , . Полученное противоречие доказывает теорему.

Определение. Число называется максимумом функции на множестве , если такая, что . Краткая запись . Число называется минимумом функции на множестве , если такая, что . Краткая запись .

Теорема 2. Пусть  . Тогда   и  .
Доказательство. По теореме 1 ограничена на . Следовательно, по аксиоме 1 полноты и . Обозначим , и докажем, что и . Пусть . Рассмотрим функцию . Тогда и по теореме 1 ограничена на , т.е. такое, что:  .
Последнее неравенство противоречит тому, что . Следовательно, , т.е. . Аналогично доказывается, что .

Теорема 3 (о промежуточном значении). Пусть . Тогда принимает все промежуточные значения между и , т.е. такая, что .

Доказательство:
Лемма. Пусть принимает на концах отрезка значения разных знаков. Тогда,   такая, что  .
Доказательство. Обозначим = . По условию леммы . Разделим отрезок пополам. Если , то и лемма доказана. Если , то выберем ту половину, на концах которой принимает значения разных знаков и обозначим её . Тогда по построению . Далее, опять разделим отрезок пополам и так далее. Тогда либо за конечное число таких операций мы найдём точку такую, что , либо получим стягивающуюся последовательность отрезков такую, что , . Тогда, по лемме о стягивающихся отрезках , и . Так как , то . Переходя к пределу в неравенстве получим соотношение , из которого следует, что . Лемма доказана.

Итак, будем доказывать теорему. Обозначим и . Будем для определенности считать, что . Если , то промежуточных значений, отличных от между и нет. В этом случае утверждение теоремы тривиально. Пусть и , т.е. некоторое произвольно выбранное промежуточное значение. Рассмотрим функцию . Эта функция удовлетворяет условиям леммы, т.к.:

и
.

Следовательно,   такая, что: . Теорема доказана.

Следствие. Пусть , , . Тогда    такая, что  .
Доказательство. По теореме 2 такие, что и . Применяя теорему 3 к функции на отрезке , получим утверждения следствия.

§ 17. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора

Пусть числовое множество, которое является либо отрезком , либо интервалом , либо полуинтервалом или , либо всей числовой прямой , либо объединением отрезков, интервалов и полуинтервалов. Функция определена на .

Определение. Функция равномерно непрерывна на , если выполняются следующее условие: такое, что .

Пример 1. Функция равномерно непрерывна на всей числовой оси . Действительно, если выбрать , то условие определения равномерной непрерывности будет выполнятся, так как:
.

Пример 2. Функция не является равномерно непрерывной на . Действительно, пусть и число так же задано. Выберем значения следующим образом , , где − натуральное число такое, что или . Тогда , т.е. условие равномерной непрерывности нарушается. Следовательно, функция не является равномерно непрерывной на . Заметим, что если равномерно непрерывна на , то она непрерывна в каждой точке множества . Как показывает пример 2, обратное утверждение неверно. Однако, если − есть отрезок, то справедлива