Ю.Н. Макаров - Лекции по математическому анализу для студентов первого курса Химфака МГУ

Автор: Макаров Юрий Николаевич,
преподаватель курса высшей математики

Лекции по математическому анализу
для студентов первого курса Химфака МГУ

Обозначения и логические символы 3

§ 1. Полнота множества действительных чисел 4

§ 2. Предел последовательности 5

§ 3. Предел монотонной и ограниченной последовательности. Число е 8

§ 4. Предел функции 10

§ 5. Односторонние пределы. Предел монотонной и ограниченной функции 14

§ 6. Предел сложной функции 15

§ 7. Переход к пределу в неравенстве 16

§ 8. Предел 17

§ 9. Предел и три следствия из него 18

§ 10. Сравнение бесконечно малых величин 20

§ 11. Непрерывность функции в точке 21

§ 12. Типы разрывов функции в точке 22

§ 13. Непрерывность монотонной функции. 22

§ 14. Непрерывность обратной функции 23

§ 15. Непрерывность основных элементарных функций и обратных к ним 24

§ 16. Свойства функций непрерывных на отрезке 25

§ 17. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора 28

§ 18. Производная функции в точке 30

§ 19. Дифференцирование обратной функции 32

§ 20. Дифференцирование сложной функции 32

§ 21. Дифференциал функции и его свойства 34

§ 22. Производные произвольных порядков. Формула Лейбница 35

§ 23. Теоремы о конечных приращениях 37

§ 24. Формула Тейлора 41

§ 25. Представление основных элементарных функций с помощью формулы Тейлора 43

§ 26. Правило Лопиталя 45

§ 27. Исследование функций 47

Обозначения и логические символы

− символ принадлежности ( − элемент принадлежит множеству );

− символ принадлежности ( − элемент принадлежит множеству );

− множество натуральных чисел;

− множество целых чисел;

− множество рациональных чисел;

− множество рациональных чисел;

− множество комплексных чисел;

− замкнутый числовой интервал или отрезок;

− открытый интервал;

− окрестность точки , т.е. открытый интервал, содержащий точку ;

− -окрестность точки ;

− множество функций, непрерывных в точке ( − функция , непрерывная в точке );

− множество функций, дифференцируемых в точке
( − функция дифференцируема в точке );

− множество функций, непрерывных на отрезке;

− множество функций, раз дифференцируемых в точке ;

− для всякого;

− существует;

− следует;

− эквивалентно.

§ 1. Полнота множества действительных чисел

Множество действительных чисел является расширением множества рациональных чисел посредством добавления новых (иррациональных) чисел, существование которых устанавливается с помощью аксиомы полноты, которую мы сформулируем ниже:

Определение. Множество называется ограниченным сверху, если такой, что ; число называется верхней гранью множества . Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью множества и обозначается (от латинского supremum – наивысший).

Аксиома полноты (аксиома 1). Если множество ограничено сверху, то существует точная верхняя грань множества , т.е. .

Определение. Множество называется ограниченным снизу, если такой, что ; число называется нижней гранью множества . Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью множества и обозначается (от латинского infinum – наименьший).

Утверждение. Если множество ограничено снизу, то .
Доказательство. Пусть , тогда ограничено сверху и по аксиоме полноты , тогда , что и требовалось доказать.

В качестве аксиомы полноты можно взять другое утверждение, эквивалентное аксиоме 1, которое называется аксиомой отделимости. Ниже мы сформулируем эту аксиому, а доказательство эквивалентности этих аксиом предлагаем сделать самостоятельно.

Определение. Говорят, что множества и отделимы, если и .

Аксиома отделимости (аксиома 2). Если множества и отделимы, то существует элемент такой, что .

Определение. Система отрезков называется вложенной, если , т.е. каждый последующий отрезок содержится в предыдущем.

Лемма Кантора о вложенных отрезках. Пусть дана система вложенных отрезков , тогда найдётся точка , принадлежащая всем отрезкам.
Доказательство. Пусть – множество левых концов отрезков , а – множество правых концов, тогда по аксиоме отделимости , т.е. , что и доказывает лемму Кантора.

Замечание. Лемма Кантора будет неверна, если вместо вложенных отрезков рассматривать систему вложенных интервалов, например,

Определение. Вложенная система отрезков называется стягивающейся, если длины этих отрезков становятся сколь угодно малыми с ростом числа .

Утверждение. Если система отрезков стягивающаяся, то существует единственная (!) точка , принадлежащая всем отрезкам одновременно.
(Доказать самостоятельно).

§ 2. Предел последовательности

Пусть задано отображение , которое ставит в соответствие каждому натуральному числу некоторое действительное число . Тогда говорят, что задана последовательность .

Примеры последовательностей:
1)  ;
2)  ;
3)  ;
4)  .

Определение. Число называется пределом последовательности , или краткая запись , если выполняется следующее условие: такой, что .

Примеры:
1) . Действительно, докажем, что последовательность имеет пределом число 0. Пусть выбрано произвольным образом число . Неравенство при и эквивалентно неравенству или . Выберем в качестве числа ближайшее натуральное число, большее чем , тогда при будет выполнятся неравенство , что по определению предела последовательности и означает  .
2) Последовательность не имеет предела. Действительно, если бы некоторое число было бы пределом последовательности , то, по определению предела последовательности, положив мы имели бы неравенство для всех . Если – чётное число, то , а при нечётном . Следовательно, число должно одновременно удовлетворять двум неравенствам:
.
Эти системы (как показывает последняя) несовместимы. Следовательно, последовательность не имеет предела.

Утверждение (единственность предела). Если последовательность имеет пределом число , то никакое другое число не может быть пределом последовательности  .
Доказательство. Пусть и , . Выберем число (пусть для определённости ), тогда согласно определению предела, должны одновременно выполняться два неравенства:
, при    .
При эта система несовместна. Тем самым единственность предела доказана.

Арифметические свойства пределов. Пусть даны две последовательности  и  , имеющие пределы   и  , тогда:
1)  ;
2)  ;
3) если   и  , то  .
Доказательство.
1) Пусть выбрано число , тогда по определению предела последовательности:
 такое, что  ;
 такое, что  .
Пусть тогда . Следовательно, , что по определению предела и доказывает равенство: .
2) Пусть выбрано число , тогда, по определению предела последовательности:
, такое, что  ;
, такое, что  .
Пусть  , тогда при  :
, что по определению предела, доказывает равенство: .
3) Доказать самостоятельно.

§ 3. Предел монотонной и ограниченной последовательности. Число е

Определение. Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если ( ), . Последовательность называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

Утверждение. Всякая монотонная и ограниченная (т.е. ограниченная сверху и снизу) последовательность имеет предел.
Доказательство. Пусть задана неубывающая последовательность . Обозначим − множество значений , которые принимает последовательность, тогда по аксиоме 1 . Обозначим и докажем, что  .
Зададим произвольное число , тогда такое, что , т.к. . Кроме того, ввиду монотонности последовательности , . Следовательно, , что по определению доказывает равенство  .
Случай невозрастающей последовательности доказать самостоятельно.

Утверждение. Существует предел последовательности .
Доказательство. Обозначим и докажем, что последовательность − монотонная и ограниченная, откуда, в силу доказанной выше теоремы, будет следовать существование предела последовательности . Докажем вспомогательную лемму.

Лемма. Для всякого числа и произвольного справедливо неравенство  .
Доказательство. Докажем это утверждение индукцией по . При неравенство верно: . Пусть справедливо неравенство при некотором , тогда: , т.е. . Таким образом, предположив, что неравенство верно при некотором значении , мы доказали, что это неравенство будет верно и при следующем значении . Следовательно, утверждение леммы доказано.

Далее докажем, что последовательность является монотонно убывающей, т.е. , , или . Действительно, применяя утверждение леммы, получаем:
.
Кроме того, последовательность ограничена снизу: .
Итак, мы доказали, что последовательность имеет предел. Далее, ввиду того, что , по свойству пределов: , т.е. предел последовательности так же существует, что и доказывает требуемое утверждение.

Определение константы Эйлера. Числом называется предел последовательности , т.е. .