Майков В.П. - Введение в системный анализ, страница 7

Понятия одной теоретической концепции только приближенно можно перевести на язык иного подхода. Тем не менее физики, работающие в области космологии, без труда найдут соответствующие приближенные аналоги в стандартных космологических моделях механического и частично термодинамического происхождения. Так, состояния, близкие к критическому, легко идентифицировать с макроскопическими «черными дырами», а состояния вблизи с сингулярностью можно отнести к микро-дырам.

Что же касается квантово-релятивистского фазового перехода, то он проявляется в периодически наблюдаемых астрофизиками так называемых гамма-всплесках – мощных излучений, пока неизвестной природы. Трудность их идентификации усугубляется тем, что они испускаются из областей, в которых не наблюдалось никаких объектов ни до, ни после излучения. Последнее, впрочем, хорошо согласуется с физикой НВТ, согласно которой как начальный, так и конечный объект гамма-всплесков является состоянием со свойствами чёрной дыры.

Таким образом локальный космологический цикл материальной среды включает в себя: сингулярность (Большой Взрыв) – эволюция материальной среды – образование черных дыр с критическим состоянием – квантово-релятивистский фазовый переход – сингулярность.

Часть макроячеек из сингулярности не возвращается к проявленной материальной среде, а продолжает расширяться в состоянии физического вакуума, создавая фон, на котором развиваются рассмотренные циклические процессы. Астрофизические наблюдения позволяют установить к какой области расширяющегося физического вакуума относится наша Метагалактика, и таким образом можно установить её размеры и время существования. Это означает, что Метагалактика выступает как некоторая нас интересующая космологическая структурная единица. Если же быть объективным, т.е. отказаться от наблюдателя, то следует признать пространственные и временные рамки Вселенной неограниченными. Расширяясь, физический вакуум понижает свою температуру, но из термодинамики известно, что нуль абсолютной температуры недостижим.

4.ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ

4.1. Энтропия как мера статистической неопределенности. В одном из недавних общественных обсуждений проблем образования было высказано мнение, что каждый образованный человек должен понимать фундаментальность понятия неопределенности. В последние десятилетия этот термин уверенно лидирует среди физических первопринципов, проникая в новые области знания. В данном разделе надлежит ближе ознакомиться с этим понятием и уяснить связь неопределенности с системообразующими характеристиками.

Неопределенность может иметь разное происхождение. Один из ее видов – неизвестность – рассматривается теорией познания и философией; такого типа неопределенность возникает, когда мы, например, задаем вопрос «Есть ли жизнь на других планетах?» или «Существуют ли другие цивилизации?» и т.п.

Другой вид неопределенности – расплывчатость, размытость, – например, «Сколько надо взять песчинок, чтобы образовать небольшую кучу»? С неопределенностью этого типа мы встречаемся в квантовой механике. На её основе построена нелокальная версия термодинамики, которая способна ответить на сходный вопрос: «сколько надо иметь частиц, чтобы образовать макроуровень и каково квантовое рассеяние этого числа»?. Эта неопределенность объективна, для нее характерно, что она неустранима в процессе измерений. В математике такой неопределенностью занимается теория размытых множеств. Следует попутно отметить, что размытость – характерное свойство языка: «в комнату (какую?) вошел высокий (какого роста?) молодой (какого конкретно возраста?) человек (кто он?) и т.п.

Третий вид неопределенности – случайность. В ее основе лежат статистические закономерности, устанавливаемые теорией вероятности. Этот вид неопределенности используется статистической физикой и совместно с неопределённостью второго типа в квантовой механике. Отличительная особенность статистической неопределенности заключается в том, что для нее можно установить количественную меру, о которой пойдет речь далее.

Оставим пока в стороне вопрос о практической значимос888ти статистической меры неопределенности, сосредоточив внимание на её сущности. Рассмотрим несколько простейших ситуаций, которые будем именовать опытами А, B и C. Предполагается, что читателю знакомы элементы теории вероятности.

О п ы т А будет заключаться в бросании монеты. В этом опыте возможны два исхода (k=2): “орел или решка”. Очевидно, вероятность каждого исхода (i=1,2).

О п ы т B – бросание игральной шестигранной кости. В этом опыте возможны уже шесть исходов (k=6). Вероятность каждого исхода .

О п ы т C предполагает одновременное бросание двух костей. Для этого опыта k=36 и .

Оценка неопределённости результатов опытов есть оценка трудности предугадывания исхода опыта. Интуитивно ясно, что из всех описанных ситуаций опыт С имеет максимальную неопределённость, поскольку число исходов здесь самое большое и заранее предвидеть исход этого опыта труднее всего.

Чтобы перейти к количественной оценке неопределённости сформулируем основные требования к функции, которая должна играть роль меры неопределённости. Будем обозначать эту функцию буквой H.

П е р в о е требование. Функция Н должна монотонно возрастать с увеличением числа исходов опыта .

В т о р о е требование. Функция Н должна быть равна нулю, если имеется единственный исход (k=1). Это означает, что если возможен лишь один исход, то никакой неопределённости не возникает и результат опыта можно предвидеть безошибочно.

Т р е т ь е требование. Обратим внимание на то, что один опыт С можно рассматривать как два опыта В, и потребуем, чтобы суммарное значение энтропии двух опытов В было равно энтропии опыта С

,

где ,

или в общем случае не для двух, а n простых опытов

.(4.1)

Если бы третье требование не соблюдалось, то оценка неопределённости опыта С оказалась бы противоречивой и зависела бы от субъективной трактовки самого опыта – считать ли, что имел место опыт С, или всё же кости упали не одновременно и имели место два опыта В. Принятие этого требования равносильно введению свойств аддитивности для будущей оценки неопределённости. По умолчанию принимается, что рассматриваемые элементы (кости) не взаимодействуют между собой. В термодинамической трактовке это равносильно принятию идеальной системы.

Решим функциональное уравнение (4.1) относительно функции . Для этого дифференцируем обе части выражения (4.1-1) по k, используя требование монотонности функции :

. (4.2)

Теперь дифференцируем (4.1) по n

. (4.3)

Разделим уравнение (4.2) на (4.3)

,

что равносильно

.

Интегрируя это выражение, используя для правой части табличный интеграл, находим

,

где – постоянная интегрирования.

Из последнего выражения

.

Так как с увеличением k энтропия растёт (первое требование), то C>0, и это выражение можно переписать в следующем окончательном виде:

, a>1.

Из него следует, что оно удовлетворяет также второму требованию. Выбор основания логарифмов при a>1не имеет значения и определяет лишь выбор единицы измерения неопределённости. Чаще всего применяют двоичные или натуральные логарифмы. Если используют двоичные логарифмы, то за единицу измерения неопределённости принимают неопределённость опыта, который имеет два равновероятных исхода (опыт А). Такая ситуация отвечает энтропии одной элементарной компьютерной ячейки, в которой хранится либо 0 либо 1. Для этой ячейки

.

Такая единица измерения называется битом (от англ. binary diget– двоичная единица).

Итак, при k равновероятных исходах неопределённость опыта составляет

, (4.4)

где p – вероятность исхода опыта.

Если учесть, что для равновероятных исходов

,

то, умножая (4.4) на единицу в виде суммы вероятностей , получаем

. (4.5)

Каждый член правой части этого выражения можно рассматривать как вклад отдельного исхода в общую неопределённость опыта. В случае равновероятных исходов вклад каждого из них в общую неопределенность опыта одинаков и формула (4.5) сворачивается в (4.4).

Выражение (4.5) легко обобщается на случай, когда вероятности исходов различны. В этом случае (4.5) можно рассматривать как среднюю энтропию опыта, а вероятности перед log приобретают смысл весовых коэффициентов. Теперь предполагается, что вклад каждого исхода в общую неопределенность опыта не обязательно одинаков. В качестве примера ситуации с неравновероятными исходами может служить опыт извлечения наугад шара из урны, в которой находится большое количество шаров нескольких цветов. Оговорка относительно большого количества шаров сделана специально, чтобы подчеркнуть вероятностный характер меры неопределенности.

Выражение (4.5) можно записать в компактной форме

. (4.6)

Здесь и далее подразумевается, что суммирование проводится по всем индексам.

Если число опытов N, то с учётом аддитивности энтропии

. (4.7)

Энтропия как мера неопределенности была введена американским математиком Клодом Шенноном в 1949 году при разработке математической теории связи [20]. Функцию типа (4.6), или энтропию выбора часто называют также шенноновской энтропией. Поскольку понятие энтропии сегодня становится общенаучным, то указание на ее информационное происхождение, как правило, используется лишь в случаях, если по тексту следует различать информационную и термодинамическую (физическую) энтропию.

Р
ис. 4.1. Зависимость энтропии для двух исходов опыта

Рассмотрим некоторые свойства энтропии. Отметим прежде всего, что энтропия не может принимать отрицательных значений: так как , то всегда положительно. Если , то (для доказательства следует раскрыть неопределенность типа ). Если , то также .

Так как только при p=0 или p=1, то энтропия опыта равна нулю только в случае, когда одна из вероятностей равна единице и, следовательно, все остальные равны нулю. Это обстоятельство хорошо согласуется со смыслом величины H как меры неопределенности: в этом случае опыт вообще не содержит никакой неопределенности, так как результат опыта можно предвидеть заранее.