Майков В.П. - Введение в системный анализ, страница 4

Э н е р г е т и ч е с к и е затраты на управление обычно очень малы по сравнению с количеством энергии, потребляемой или производимой самой системой. Это обычные системы. Но встречаются и исключения, когда энергетические затраты на управление сравнимы с общими затратами; например, поддержание космического аппарата на орбите (управление) требует энергетических затрат, сравнимых с другими затратами. Согласно разбираемой классификации такие системы называются энергокритичными.

Под м а т е р и а л ь н ы м и ресурсами управления в случае использования ЭВМ, подразумевается объем памяти и машинное время. Такие ресурсы лимитируют возможности решения некоторых задач в масштабе реального времени. Имеется в виду, что время расчета параметров управления лимитировано, а результаты расчета должны быть получены «к нужному моменту времени». Если свойства системы таковы, что эти условия выполнить затруднительно, то такие системы предлагается относить к большим.

Наконец, третий тип ресурсов – и н ф о р м а ц и я, дает нам повод еще для одного способа деления систем. Если у нас нет надежного математического описания системы, и, следовательно, соответствующего программного продукта (информации) для управления системой, то такую систему будем называть большой.

Рассмотренная классификация систем отражена в табл.2.1.

Табл.2.1

Классификация систем

по ресурсной обеспеченности управления системой.

Согласно этой классификации возможны четыре комбинации, подчеркивающие различие между большими и сложными системами. Существуют системы:

– «малые простые»; например, исправные бытовые приборы – для пользователя; неисправные – для мастера; замок с шифром – для хозяина.

– «малые сложные»; неисправные бытовые приборы – для большинства пользователей.

– «большие простые»; шифр для злоумышленника – система простая, поскольку требуется лишь перебор вариантов и одновременно большая, так как имеющегося времени может не хватить на вскрытие шифра.

– «большие сложные» системы; мозг, экономика, живой организм.

Другие возможные подходы к понятию сложности можно найти в работе [1].

2.6. Устойчивость химико-технологических систем [6]. Рассмотрим сравнительно несложную химико-технологическую систему, состоящую из реактора и теплообменника (рис.2.2). В реакторе протекает экзотермическая реакция. Тепло, выделяемое в реакторе, используется затем для нагрева, поступающего в систему исходного продукта.

Рис.2.2. Схема реактор – теплообменник:

1 – реактор; 2 - теплообменник

Пусть температурная зависимость притока тепла в реакторе, которая определяется типом химической реакции, описывается s–образной кривой Q₁ = f(T), а аналогичная зависимость для отвода тепла в теплообменнике выражается обычной, линейной функцией Q₂ = f(T) (рис.2.3).

Рис.2.3. а) – направление возмущения;

б) – направление реакции на возмущение

Рассмотрим состояние системы, характеризующееся температурой Т₃. Предположим, что произошло случайное малое возмущение системы, и температура Т₃ отклонилась на величину DТ₃>0. Теперь система перейдет в новое состояние с температурой Т₃ +DТ₃. Из рис.2.3 следует, что в новом состоянии Q₁< Q₂. Это означает, что из системы отводится тепла больше, чем его выделяется в системе. Следовательно, система начнет охлаждаться, возвращаясь в режим, отмеченный на рис.2.3 точкой 3.

Если рассмотреть случайное возмущение другого знака Т₃<0, то в этом случае Q₁ >Q₂ . Это означает, что в систему притекает тепла больше, чем его отводится из системы. Следовательно, система начнет нагреваться, возвращаясь в прежний режим 3.Таким образом, приходим к выводу, что режим в точке 3 является устойчивым к случайным возмущениям.

Перейдем к рассмотрению особенности режима при температуре Т₂ (точка 2). Пусть, как и в первом случае, возмущение направлено в сторону повышения температуры, Т₂0. Поскольку при этом Q₁ >Q₂, то система будет разогреваться, т.е. отклик системы по действию совпадает с возмущением. Система уже не возвращается в исходное состояние 2, а постепенно «сползает» в новое устойчивое состояние 3.

Если же в состоянии 2 начальное возмущение направлено в сторону понижения температуры, DТ₂< 0, то и в этом случае легко убедиться, что система не возвратится к состоянию 2, а перейдет в другое устойчивое состояние1.

Таким образом, устойчивыми режимами мы можем назвать такие состояния химико-технологических систем, при которых малые возмущения параметров практически не оказывают влияние на состояние системы. Для работы системы в состоянии 2 требуется специальная система стабилизации, в то время как для режимов 1 и 2 такие системы не обязательны.

3.СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ

3.1. Моделирование. Моделированием называется косвенный метод исследования, в котором исследуется не сам объект, а некоторая вспомогательная система, называемая моделью. При этом к модели предъявляется единственное требование: будучи исследована, модель должна предоставлять некоторую информацию об объекте. Обычно различают физическое и математическое моделирование.

Физическое моделирование. В определении моделирования отсутствует указание на природу самой модели. Если модель предметная (макет, экспериментальная установка), то обычно имеют в виду физическое моделирование.

Теорией физического моделирования является теория подобия, подробно рассматриваемая в курсе «Процессы и аппараты химической технологии». Теория подобия устанавливает безразмерные числа подобия, которые должны соблюдаться при переходе от модели к объекту и наоборот. При этом предполагается, что известны дифференциальные уравнения, описывающие моделируемый процесс. Именно на их основе формулируются числа подобия. Если же не известны и дифференциальные уравнения, то можно воспользоваться так называемой p - теоремой, которая позволяет при некоторых дополнительных условиях получить безразмерные комплексы на основе анализа размерности первичных размерных параметров, участвующих в описании процесса, см.[10].

Математическое моделирование. Однако применение физического моделирования не всегда возможно, поскольку далеко не для всех объектов существуют непротиворечивые условия подобия. Тогда приходится отказываться от процедуры моделирования и прибегать к непосредственному исследованию объекта. В некоторых случаях физическое моделирование, связанное с созданием экспериментальной установки, не выгодно из экономических соображений.

Возможен другой, достаточно очевидный, косвенный способ воспроизведения свойств объекта, используя для этой цели его математическое описание. Такое описание принято в настоящее время называть математической моделью объекта (системы), а операции с моделью – математическим моделированием или численным экспериментом. Таким образом, математическая модель системы – это совокупность математических выражений, связывающих входные и выходные параметры системы.

В описании таких связей участвуют и другие параметры. В общей записи имеем

Y= F(X, Z, K, U),

где Y – множество выходных параметров;

X, Z – множество неуправляющих и управляющих

входных параметров;

K – множество конструктивных параметров;

U – множество других параметров;

F – множество функций.

Терминология математического моделирования стала общеупотребительной в связи с развитием современной вычислительной техники. Этому способствовал ряд обстоятельств. Широкие возможности вычислительной техники позволили разрабатывать достаточно подробные, уточненные математические описания, которые раньше были бы просто невостребованными при ручной практике расчета. Стало возможным просчитывать очень большое число вариантов, выбирая оптимальное решение. Работа с такими программными пакетами очень похожа на процедуру обычного эксперимента с той лишь разницей, что вместо экспериментальной установки, с которой снимаются обычно интересующиеся нас данные, используется компьютер.

По способу построения математические модели можно условно разделить на три группы.

· Т е о р е т и ч е с к и е модели. В основе таких моделей лежат естественно-научные законы. Такие математические описания наиболее часто используются при проектировании и разработке технических систем. Терминология в области математического моделирования не устоялась, и иногда математическое моделирование с использованием теоретических моделей из области физики называют также физическим моделированием.

· Э к с п е р и м е н т а л ь н о-с т а т и с т и ч е с к и е модели. В их основе заложен эксперимент (см.п.3.2).

· С м е ш а н н ы е математические модели содержат как теоретические, так и экспериментальные приемы. Например, хорошим примером смешанной модели могут служить критериальные уравнения, в которых безразмерные комплексы выводятся на основе теоретических положений, а степенная форма связи и значения самих степенных коэффициентов устанавливаются экспериментально. Вообще чисто теоретические модели встречаются редко. Например, в химической технике входящие в описания кинетические и некоторые другие коэффициенты устанавливаются как правило экспериментально.

Процедура математического моделирования в общем случае включает в себя следующие основные этапы: построение модели либо выбор ее по литературным данным; экспериментальная проверка модели или ее фрагментов на адекватность ее свойств реальному объекту (оригиналу); корректировка модели в случае необходимости; собственно применение модели для моделирования интересующих свойств объекта, например, определение оптимальных вариантов (см. разд.5)

Конкретных рекомендаций рецептурного характера для построения теоретических моделей, по-видимому, не существует – это, как правило, творческий процесс. Тем не менее, один класс теоретических моделей мы рассмотрим отдельно (см. п.4.6).

Проще обстоит дело с построением экспериментально-статистических моделей, о которых пойдет речь в следующем разделе.

3.2. Кибернетический метод «черного ящика». Наиболее распространенный метод получения экспериментально-статистических моделей известен как кибернетический метод «черного ящика». Это название образно подчеркивает полное отсутствие сведений о внутреннем устройстве моделируемого объекта, известны только его входные и выходные параметры как параметры связи объекта с окружающей средой. Обязательным условием применимости метода является наличие функционирующего объекта, для которого составляется математическая модель.

Рассмотрим принципиальную сторону метода «черного ящика». Метод основан на формальной аппроксимации связи между входными и выходными параметрами системы. Вид аппроксимирующей функции обычно постулируется и при необходимости может быть уточнен.

Пусть это будет полином второй степени, который используется для установления связи между качеством продукта реактора (y – выходной параметр) и режимными входными параметрами (x, z – объемная подача питания в реактор и температура реактора соответственно), т.е.

y = a_o + a₁x + a₂z + a₃x² + a₄z²,

где а_i – экспериментально определяемые коэффициенты.

Проделав первый эксперимент и сняв показания с объекта, получим значения y =y₁, x = x₁, z = z₁. Теперь можно записать