Майков В.П. - Введение в системный анализ, страница 5

y₁ = a_o + a₁x₁ + a₂z₁ + a₃x₁² + a₄z₁²

Аналогично для второго эксперимента

y₂ = a_o + a₁x₂ + a₂z₂ + a₃x₂² + a₄z₂² и т.д.

Очевидно, что пять экспериментов дадут пять подобных линейных уравнений для определения неизвестных коэффициентов а_i. В принципе математическая модель объекта составлена.

На практике метод несколько сложнее, так как для повышения его надежности требуется правильно выбрать экспериментальные режимы, дублировать их и т. д. [11].

Метод «черного ящика» удобен для применения в системах управления химико-технологическими установками с помощью ЭВМ. При этом управляющая ЭВМ, помимо режима управления, периодически работает в режиме опроса датчиков и уточнения эмпирических коэффициентов математической модели типа а_i в приведённом примере.

3.3. Прямые и обратные задачи. По способу использования математических моделей в инженерной практике следует различать прямые и обратные задачи. Прямые задачи в свою очередь делятся на проектные, ориентированные на расчет конструктивных параметров, и поверочные. В последнем случае подразумевается подбор оборудования из стандартного ряда, так что конструктивные параметры фиксированы, а расчетом проверяются возможности оборудования для конкретного случая.

В связи с широким распространением методов математического моделирования появилась потребность в так называемых обратных задачах. В этих задачах на основе математической модели и фактических значений входных и выходных параметров системы определяются плохо поддающиеся теоретическому прогнозированию некоторые коэффициенты, обычно кинетического характера (скорости химических реакций, коэффициенты массообмена и др.).

Следует обратить внимание на правильное толкование результатов обратных задач. Например, из обратной задачи по теплообмену можно получить выражение для коэффициента теплообмена в следующем виде  = Q/FDT. Это не значит, что коэффициент теплообмена как ф и з и ч е с к и й
п а р а м е т р зависит от поверхности теплообмена (F). Связь коэффициента теплообмена, как меры интенсивности процесса теплообмена, с другими физическими параметрами следует устанавливать на основе известных критериальных соотношений. Что же касается выражения =Q/FT, то эта запись «по определению», отвечающая на вопрос, что такое коэффициент теплообмена.

3.4. Теория и математическая модель. Рассмотрим, какие существуют различия между терминами «теория» и «математическая модель». Любая теория процесса или объекта может выполнять роль математической модели, но не наоборот – далеко не всякая математической модель cможет претендовать на статус теории. Требования к теории и математической модели различны. К последней, как уже было сказано, предъявляется единственное требование: будучи исследована модель должна предоставлять некоторую информацию о предмете исследования. Это и подразумевается под термином адекватности модели реальному объекту.

К теории предъявляются более жесткие требования. Теория, по мнению А.Эйнштейна, должна удовлетворять требованиям двух критериев: критерию «внешнего оправдания» и критерию «внутреннего совершенства». Первый критерий аналогичен по смыслу упомянутой адекватности математической модели.

Если с учётом математического моделирования не имеет значения способ, каким достигнута а д е к в а т- н о с т ь, то для оценки теории последнее имеет принципиальное значение. В этом сущность второго критерия – «теория по возможности не должна содержать допущения, сделанного специально для объяснения данного факта». Сказанное означает, что при оценке теории подвергается обсуждению вопрос о том, каким образом достигается свойство адекватности математического описания. В одном случае для этого могут использоваться фундаментальные физические положения – первопринципы, в другом обычная или несколько завуалированная форма математической аппроксимации (см. метод «черного ящика»).

Далее изложены некоторые современные представления о физической теории.

3.5. Дискретность и непрерывность. В связи с существованием критерия «внутреннего совершенства» теории кратко рассмотрим проблему дискретности и непрерывности в физической теории. Проблема носит методологический характер.

Проблема дискретизации (квантованности) физических параметров появилась вместе с рождением квантовой механики. По-видимому, первым, кто обратил на нее серьезное внимание, был выдающийся французский математик Пуанкаре, который писал в начале прошлого века: "Хорошо известно, к какой гипотезе пришел Планк, исследуя законы излучения <...> Едва ли нужно подчеркивать насколько эти идеи отличаются от традиционных концепций: физические явления, по-видимому, перестают подчиняться законам, которые можно выразить с помощью дифференциальных уравнений, и это, вероятно, самое большое и самое глубокое потрясение в философии естествознания со времени Ньютона."[12].

Известно также, что А.Эйнштейн в своей пострелятивистской научной программе предполагал переход к нелокальной (дискретной) концепции. В письме Гансу Мюзаму (1944г.) он так писал о своих планах: «Целью служит релятивистская характеристика физического пространства, но без
д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений. Последнее не приводит к разумному пониманию квантов и вещества» [13]. (Подчеркнуто В.М.).

Позднее, главным образом благодаря работам в области сверхпроводимости, появилось понятие макроквантования. Оказалось, что некоторые явления можно описать, только признав, что «электроны шагают в ногу», т.е. допустив существование коллективных эффектов макроквантового характера [14]. Таким образом, появились основания обсуждать проблему шире, не сводя ее только к особенностям описания процессов микроуровня. Вот что по этому поводу писал известный французский физик Л.Бриллюэн: «Математик определяет бесконечно малые, но физик абсолютно не в состоянии измерить их, и они представляют собой чистую абстракцию, лишенную физического смысла. Если мы примем операционную точку зрения, мы должны исключить бесконечно малые из физической теории, но, к сожалению, мы не имеем представления о том, как выполнить такую программу»[15].

Под операционной точкой зрения здесь подразумевается возможность экспериментального определения тех параметров, которые вводятся в теорию. О более глубокой сущности проблемы нелокальности можно найти в [16].

Далее будет показано, что НВТ существенно расширила возможности термодинамического метода при описании систем [17].

3.6. Единство синтеза и анализа. Аналитический метод, изначально органически привязанный к особенностям человеческого мышления, сводится к расчленению целого на части (анализ) и соединению их для образования целого (синтез). Успехи аналитического метода (редукционизма) привели к тому, что сами понятия «анализ» и «научные исследования» стали восприниматься как синонимы. С другой стороны появились даже предложения отказаться от термина «системный анализ», поскольку термин «анализ» противоречит целостности, заложенной в понятии «система».

Однако единство синтеза и анализа, понимаемое как единство «расчленения» объекта и «соединения» целого из деталей, далеко не полностью отражает современный взгляд на эту проблему. Появились дополнительные аргументы для развития сопутствующего, синтетического метода (экспансионизм). Авторы первого учебного пособия по системному анализу [1] приводят следующие высказывания на этот счет.

Конечной целью аналитического метода является установление причинно-следственных отношений между рассматриваемыми системами. Однако это далеко не всегда достижимо, а главное недостаточно.

Для п р и ч и н н о - с л е д с т в е н н ы х отношений не существует понятия о к р у ж а ю щ е й среды, так как для следствия ничего кроме причины не требуется. Примером может служить закон всемирного тяготения тел, который справедлив, если отсутствуют все другие силы, кроме тяготения (отсутствует окружение). Тем не менее, в некоторых ситуациях исключить «ненужные», «неинтересные» связи невозможно из-за необходимости сохранить адекватность модели реальному объекту. Один из способов описать такую ситуацию вытекает из синтетического, или экспансионистского, метода и состоит из признания того, что связь «причина - следствие» является не единственно возможным объяснением взаимодействия.

Более адекватной моделью взаимодействия оказывается отношение (связь) «п р о д у ц е н т - п р о д у к т». Такая связь характерна тем, что продуцент является необходимым, но не достаточным условием для получения продукта. Например, желудь для дуба является продуцентом, а не причиной, поскольку кроме желудя для произрастания дуба необходимы почва, влага, воздух, свет, тепло, сила тяготения и т.д. Таким образом, для продукта необходимы и другие условия, которые и образуют окружающую среду. Причинное, свободное от среды, описание является лишь идеальным, частным случаем продуцентного.

На рис.3.1 показана схема, иллюстрирующая единство синтеза и анализа, как единство редукционистского и экспансионистского подходов. Подведем итог.

Рис.3.1. Единство синтеза и анализа

А н а л и т и ч е с к о е мышление,
редукционизм.

Характерное отношение (тип связи): «причина-следствие».

Основные шаги аналитического мышления:

1. Разделение целого на части.

2. Объяснение содержания частей.

3. Синтез объекта из элементов.

С и н т е т и ч е с к о е мышление,
экспансионизм (холизм)

Характерное отношение: «продуцент - продукт».

Основные шаги синтетического мышления:

1. Объект рассматривается как часть целого.

2. Объяснение целого, содержащего изучаемый объект.

3. Декомпозиция (анализ) для объяснения частей целого.

Интересно проследить реализацию этих методологических установок на примере нелокальной версии термодинамики. НВТ исходит из дискретности не только вещества и энергии, но и энтропии. Это приводит к выводу о дискретности всех макроскопических параметров, включая пространственные и временные масштабы (см.предыдущий раздел). Основным объектом исследования НВТ является макроячейка – минимальный макроскопический объем с характерными свойствами короткоживущего кластерного образования вещества и поля. В первом приближении макроячейка находится в динамическом равновесии с окружением. В классической термодинамике размер окружения ни чем не ограничен и может приниматься бесконечно большим. В НВТ это не так, поскольку, в отличие от классической термодинамики, здесь учитывается наличие гравитации. Правда в обычных условиях и в НВТ термодинамическая система (макроячейка плюс окружение) оказывается очень большой, размером почти с наблюдаемую Вселенную!

Может возникнуть недоуменный вопрос, каким образом за весьма короткое время жизни макроячейки оказывается вовлеченной в гравитационное взаимодействие вся Вселенная, ведь в физически корректной теории скорость любого сигнала не может превысить скорости света? Ответ столь же прост, сколь и неожиданный: взаимодействие в системе макроячейка – окружение не осуществляется по классической схеме: причина – следствие. В физической интерпретации это выглядит следующим образом. Согласно НВТ время дискретно; это означает, что существуют такие интервалы времени, внутри которых еще не сформировались классические понятия прошлого, настоящего и будущего, что необходимо для образования причинно-следственной связи. Обычно «безвременные» интервалы очень малы, если речь идет о веществе, но им могут быть эквивалентны миллиарды лет для вакуумной среды (!).

Запишем выражение для пройденного пути светом - cDt и проследим за эффектом дальнодействия. В классической, причинно-следственной интерпретации дальнодействие возможно только за счет сверхсветовой скорости, что противоречит основам современной физики. В НВТ дальнодействие возможно за счет нарушения причинно-следственной связи, т.е. за счет разного интервала Dt во взаимодействующих объектах.

В этом смысле в НВТ оправдываются прогнозы Ландау о будущей теории, которая «покажет, что в этих процессах не существует точно определяемых характеристик (даже в пределах обычной квантовомеханической точности), так что описание процесса во времени окажется столь же иллюзорным, каким оказались классические траектории в нерелятивистской квантовой механике"[18].