Тема 4.7. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Производная и дифференциал.

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точки x. Из этого следует, что в этой точке бесконечно малому прира­щению аргу­мента x соответствует беско­нечно малое приращение функции f.

О. Производной функции y=f(x) по аргументу х называется конечный предел отношения приращения функции f =f(x+x) – f(x). к приращению аргумента x , при стремлении x  к 0:

Отношение f /x, как видно из рисунка 1, равно тангенсу угла , который составляет секущая MN кривой y = f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.

Пусть x стремится к нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривой y = f(x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет приближаться к касательной к графику функции, при этом её угол наклона  будет стремиться к углу  наклона касательной к кривой в точке x. Таким образом, геометрический смысл производной заключается в том, что произ­водная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Физический смысл производной: производная есть скорость изменения функции в точке х.

Нахождение производной функции y = f(x) называется дифференцированием.

Производная функции f(x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x₀, но не иметь в этой точке производной.

Так функция y = x  не имеет производной в точке x = 0, хотя является непрерывной в этой точке.

Таблица производных основных элементарных функций.

Таблица производных.

1. (xⁿ)'=nx^n-1 2. (a^x)'=a^xlna 3. (e^x)'=e^x

4. (log_ax)'= 5. (lnx)'= 6. (sinx)'=cosx

7. (cosx)'=-sinx 8. (tgx)'= 9.(ctgx)'=-

10. (arcsinx)'= 11. (arccosx)'=-

12. (arctgx)'= 13. (arcctgx)'=- 14. (х) '=1

Свойства операции дифференцирования.

1. (с)'=0, c-const 2. (f(x)+g(x)-r(x))'=f '(x)+g '(x)-r '(x)

3. (f(x)g(x))'=f '(x)g(x)+g '(x)f(x), 4. (cf(x))'=c(f '(x))

5. .

Пример. Найти производную функции y=x³.

Воспользуемся первой формулой в таблице, где n=3, и получим

y=3x^3-1=3x².

Пример. Найти производную функции y= y=

Для того чтобы воспользоваться формулой преобразуем функцию к табличному виду:

. Тогда ; ;

Пример. Найти производную функции y=sinx+e^x.

Применим правила дифференцирования к сумме двух табличных функций:

у =(sinx)+(e^x)=cosx+e^x.

Пример. y=5^x-x⁵

y=5^xlnx-5x⁴

Пример. Найти производную функции y=lnxtgx.

По правилу дифференцирования произведения функции получим:

у =( lnx)tgx+ lnx(tgx)=

Пример. Найти производную функции y= .

Теорема о производной сложной функции.

Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) имеет в точке x производную F (x) = f (z) g (x).

Приведем примеры вычисления производной сложной функции.

Пример. Найти производную функции y=(3x⁵+2)⁶.

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Обозначим 3x⁵+2=t, тогда у=t⁶. Получаем

у =(t⁶)_t(3x⁵+2)_x=6t⁵(35x⁴+0)=6(3x⁵+2)⁵15x⁴=90x⁴(3x⁵+2)⁵.

Пример. Найти производную функции y=sin⁵x.

Рассуждая аналогично предыдущему примеру, обозначим sinx=t. Тогда получим степенную функцию y=t⁴. Берем производную сначала от степени функции, затем от основной функции:

у =5t⁴(sinx)= 5t⁴cosx=5sin⁴xcosx.

В дальнейшем для упрощения решения примеров, особые обозначения промежуточных результатов будем опускать.

Пример. Найти производную функции y=cosx⁴.

у =-sinx⁴4x³=-4x³ sinx⁴.

Пример. Найти производную функции y=arcsin .

Нужно обратить внимание на то, что в производной функции y=arcsinx в качестве аргумента используется . Поэтому производная имеет выше указанный вид. Типичной ошибкой студентов является следующий вид решения:

Пример. Найти производную функции y=ln³tg(e^-x).

Тема 4.8. Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическое дифференцирование применяют в случае, если функция является показательно- степенной y=u^v (u и v являются функциями от х) или содержит логарифмические операции, т.е. умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. Пусть функция имеет вид y=u^v. Прологарифмируем обе части, получим lny=ln u^v. По свойствам логарифма степень аргумента логарифма стоящего справа можно вынести перед знаком логарифма, тогда lny=vlnu. Продифференцируем обе части, получим (lny)=(vlnu) . Пример. Найти производную функции y=(lnx)^cosx. Прологарифмируем обе части: lny=ln(lnx)^cosx  lny=cosxln(lnx). Продифференцируем обе части равенства, получим

(lny) =(cosxln(lnx))  ;

Тема 4.9. Дифференциал функции

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a,b]. Производная этой функции в некоторой точке х этого отрезка определяется равенством

Отношение при х0 стремится к определенному числу f (x) и, следовательно отличается от производной f (x) на величину бесконечно малую, где 0 при х0 (стр 107 Пискунов).

Умножая члены последнего равенства на х, получим:

y=f (x)x+x. (4.3)

Так как в общем случае f (x)0, то при постоянном х и переменном х0 произведение f (x)x есть величина бесконечно малая одного порядка малости с x, второе слагаемое есть величина высшего порядка малости относительно x. Таким образом, произведение f (x)x является главной частью приращения (4.3), линейной относительно x. Это означает, что если приращение аргумента x уменьшить в k раз, то и главная часть приращения функции уменьшится в k раз.

О. Дифференциалом функции y=f(x) называется главная часть приращения (4.3), линейная относительно x. Обозначается

dy= f (x)dx. (4.4)

Отсюда следует, что

,

то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.

Свойства дифференциала.

1. dC = 0 ( здесь и в следующей формуле C  постоянная );

2. d(Cf(x)) = Cdf(x);

3. d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x),

4. d(f(x)g(x)) = g(x)df(x) + f(x)dg(x).

5. , если g(x) 0

Пусть y = f(x) ‑ функция, имеющая производную в точке x, тогда dy = df(x) = f (x)dx. Если аргумент x является функцией x(t) некоторой независимой переменной t, то y = F(t) = f(x(t)) сложная функция от t, и её дифференциал вычисляется по формуле dy = F(t)dt = f (x)x (t)dt. Однако по определению дифференциала x (t)dt = dx и последняя формула преобразуется к виду: dy = f (x)dx.

Таким образом если аргумент функции y=f(x) рассматривать как функцию другого аргумента так, что равенство x = dx не выполняется, формула дифференциала функции f(x) остается неизменной. Это свойство принято называть свойством инвариантности дифференциала.

Тема 4.10 Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a,b]. Значения производной f (x) зависят от х, т.е. производная f (x) тоже представляет собой некоторую функция от х. Дифференцируя эту функцию, мы получаем производную от производной.

О. Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной. Обозначается

y =(f (x))=f (x). (4.5)

Если f есть координата движущейся точки и является функцией времени, то мгновенная скорость точки в момент времени t равна v=f (t), а ускорение равно a= f (t).

Вторая производная также может быть функцией, определенной на некотором множестве. Если эта функция имеет производную, то эта производная называется третьей производной функции f(x) и обозначается f(x).

О. Если определена n-я производная f ⁽ⁿ⁾(x) и существует её произ­водная, то она называется (n+1)-й производной функции f(x):

f ^(n + 1)(x) = (f⁽ⁿ⁾(x)). (4.6)

Все производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.

Дифференциал функции y=f(x) выражается в виде dy= f (x)dx. Тогда, если он является некоторой функцией от х, то справедливо следущее:

О. Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом:

d²y= f (x)dx². (4.7)

О. Дифференциал от дифференциала n-го порядка называется дифференциалом (n+1)-го порядка.

Пример. Найти дифференциал функции y=cosx.

Найдем f (x)=-sinx. Тогда по формуле (4.4): dy=-sinxdx.

Пример. Найти дифференциал второго порядка функции y=ln⁴x².

Найдем вторую производную от функции:

f (x)= f (x)= , тогда

d²y= dx².

Пример. Найти дифференциал функции y=x^tgx.