4 (Конспект лекций), страница 3

Зная величины , Кв, можно дать характеристику качества изме­рения.

Пример: Допустим, испытано 53 образца бетона, Определено, что средняя прочность при сжатии R=201 кгс/см² 27 кес/см²

Задаваясь величиной t, можно определить доверительный интер­вал и доверительную вероятность Ф(t) измерения по табл. 4.1. Так, при t =1 = ±27 кгс/см², т. е. R = 201 ±27 кгс/см². Из табл. 4.1 определим доверительную вероятность Ф(t) = 0,683. Зна­чит, из 1000 измерений 683 попадает в данный доверительный интер­вал, а 317 результатов выходят за его пределы. При t = 3 = 27 = 81 кгс/см² , т. е. R == 201 ±81 кгс/см². По табл. 4.1 Ф(t) = 0,997, следовательно, из 1000 измерений 993 попадают в дан­ный доверительный интервал и только 3 измерения выходит за его пределы. Для строительства обычно принимают, что гарантийный коэффициент t изменяется от 2 до 3.

При выполнении измерений необходимо знать их точность m, которую обычно характеризуют величиной - среднеарифметическое значение среднеквадратичного отклонения о:

(4.8)

Величину часто называют средней ошибкой. Доверительный интервал ошибки, точности измерения m определятся аналогично, как и для величин измерений: По величине t легко опреде­лить доверительную вероятность (надежность) точности (ошибки)измерения из табл.4.1

В исследованиях часто по заданной точности m и доверительной вероятности (надежности) измерения определяют минимальное количество измерений, гарантирующих требуемые величины m и Ф(t). Для этой цели в большинстве случаев используют прибли­женную зависимость:

(4.9)

В относительных величинах (4.9) принимает вид (4.10)

Здесь Кв - коэффициент вариации (изменчивости), %; точность измерений, %.

Для вычисления Nmin может быть принята следующая последо­вательность.

1. Проводят предварительный эксперимент с количеством изме­рений л, которое составляет в зависимости от трудоемкости опыта от 20 до 50.

2. Вычисляют среднеквадратичное отклонение о (4.4).

3. В соответствии с поставленными задачами эксперимента устанавливают требуемую точность измерений, которая должна быть не менее точности прибора.

4. Устанавливают нормированное отклонение , величину кото­рого обычно задают; она зависит также от точности метода. Например, при большой точности измерений и трудоемком эксперименте можно принять t = 2,0; при малой - t = 3. Так, измеряя влажность грунта и материалов, можно принять t = 2; плотность, прочность, размеры тел - t = 2,5.

Из (4.9) определяют Nmin.

В дальнейшем в процессе эксперимента число измерений не должно быть меньше Nmin

Оценки измерений с помощью величины и по приведенным методам справедливы при больших n> 30. Для нахождения границ доверительного интервала при малых значениях n применяют метод, предложенный в 1908 г. английским математиком В. С. Госсетом (псевдоним Стьюдент).

Уравнение распределения Стьюдента имеет вид:

(4.11)

где Г (n) - гамма-функция

Рис.4.1 Кривые распределения Стьюдента для

различных значений n: ;2-n=10;3-n=2

Как видно из рис.4.1, кривые распределения Стьюдента при n (практически при n>20) переходят в кривые нормального распределения. Для малой выборки доверительный интервал

(4.12)

Здесь - коэффициент Стьюдента, принимаемый по табл. 4.2 в зависимости от значения доверительной вероятности Фcт

Зная , можно вычислить действительное значение изучаемой величины для малой выборки: (4.13)

Возможна иная постановка задачи. По n известных измерений малой выборки необходимо определить доверительную вероятность

Таблица 4.2

Фcт при условии, что погрешность среднего значения не выйдет за пределы

Задачу решают в такой последовательности. Вычисляют среднее значение и

По величине , известному n и табл. 4.2 определяют довери­тельную вероятность.

Оценка результатов измерений, содержащих грубые ошибки. Появление этих ошибок вполне вероятно, а наличие их ощутимо вли­яет на результат измерений. Так, уже одна грубая ошибка в 25 изме­рениях значительно искажает экспериментальные данные. При ана­лизе эксперимента необходимо прежде всего исключить грубые ошибки. Однако прежде чем исключить то или иное измерение, не­обходимо убедиться, что это действительно грубая ошибка, а не отклонение вследствие статистического разброса.

Известно несколько методов определения грубых ошибок ста­тистического ряда. Пусть имеется статистический ряд малой выбор­ки, подчиняющийся закону нормального распределения. При нали­чии грубых ошибок критерии их появления

; (4.14)

где -наибольшее и наименьшее значение из n измерений.

В табл.4.3 приведены в зависимости от доверительной вероятности максимальные значения , возникающие вследствие статистического разброса. Если , то значение необходимо исключить из статистического ряда как грубую погрешность. При исключается величина После исключения значений грубых ошибок определяют новые значения и из n-1 или n-2 измерений.

Таблица 4.3

Второй метод установления грубых ошибок основан на исполь­зовании критерия В. И. Романовского и также применим для малой выборки. Методика выявления грубых ошибок сводится к следую­щему. Задаются доверительной вероятностью Ф(t) и по табл. 4.4 в за­висимости от л находят коэффи­циент q

Таблица 4.4

Вычисляют предельно допу­стимую абсолютную ошибку от­дельного измерения

(4.15)

Если , to измерение исключают из ряда наблюдений.

Этот метод более требователен к очистке ряда.

При анализе измерений мож­но применять для приближенной оценки следующую методику: вычисляют по (4.4) среднеквадратичное измерение ; определя­ют по (4.8) ; принимают дове­рительную вероятность Фcт и находят доверительные интервалы по (4.12); окончательно устанавливают действительное зна­чение измеряемой величины по формуле (4.13). Приведенная методика целесообразна лишь для второстепенных экспериментов.

При более глубоком анализе экспериментальных данных реко­мендуется следующая методика.

1. После получения экспериментальных данных в виде статисти­ческого ряда его анализируют. Проведя повторные измерения в од­них и тех же условиях, предварительно исключают систематиче­ские ошибки (см. выше).

2. Анализируют ряд в целях обнаружения грубых ошибок и промахов:

(a) устанавливают подозрительные значения или ;

(b) определяют среднеквадратичное отклонение ;

(c) вычисляют по (4.14) критерии и сопоставляют с или ;

(d) исключают при необходимости из статистического ряда или и получают новый очищенный статистический ряд из новых л членов.

3. Вычисляют среднеарифметическое , погрешности отдельных измерений и среднеквадратичное очищенного ряда .

4. Находят среднеквадратичное серии измерений, коэффициент вариации Кв.

5. При большой выборке задаются доверительной вероятностью Ф(t) или уравнением значимости 1 - Ф(t) и по табл. 4.1 определяют t. При малой выборке ( ) в зависимости от принятой доверительной вероятности Фcт и числа членов ряда n принимают коэффициент Студента ; по формуле (4.5) для большой выборки или по (4.12) для малой выборки определяют доверительный интервал.

7. Устанавливают по (4.13) действительное значение исследуемой величины.

8. Оценивают относительную погрешность результатов серии измерений при заданной доверительной вероятности

,% (4.16)

Если величина погрешности серии измерений соизмерима с величиной погрешности прибора ,то границы доверительного интервала можно вычислить так:

(4.17)

Формулой (4.17) следует пользоваться при ,если же ,то доверительный интервал вычисляют с помощью (4.4 или 4.12).

Пример. Имеется 18 измерений (табл.4.5). Необходимо их проанализировать. Анализ средств и результатов показал, что систематических ошибок в эксперименте не обнаружено.

Таблица 4.5

Выясним, не содержат ли измерения грубых ошибок. Восполь­зуемся первым методом (критерий Ртах). Вычислим среднеарифмети­ческое х и среднеквадратичное отклонение а. При вычислении удобно пользоваться следующей формулой