билеты по матану 2 (Билеты, ответы и шпоры на экзамен (ИУ5))

Билет №1.

Доказать теорему Ролля.

Пусть дана функция .

1. Определена и непрерывна на отрезке .

2. Дифференцируема на интервале .

3. И на концах отрезка принимает одинаковые значения. .

Тогда найдется, по крайней мере, 1 , принадлежащая интервалу .

Доказательство: Т.к. функция непрерывна на отрезке , то согласно 2 теореме Вейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения.

, ,

, .

Случаи:

1. , - любое из интервала

2. в силу 3-го условия теоремы, одно из значений минимального или максимального достигается функцией во внутренней точке интервала .

Согласно второму условию теоремы Ролля, функция дифференцируема на интервале в любой точке, то по теореме Ферма существует .

Доказать теорему о предельном переходе в неравенстве.

Пусть при имеет конечный предел А₁, при имеет конечный предел А₂, и существует : для , тогда .

Доказательство:

,

,

Пусть

Это неравенство выполняется для любого , отсюда

Билет №2.

Доказать теорему Лагранжа.

Пусть функция .

1. Определена и непрерывна на отрезке .

2. Дифференцируема на интервале .

Тогда существует из интервала .

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию , где - константа.

1. Она непрерывна на

2. дифференцируема на .

Все условия теоремы Ролля выполняются существует из

Формула Маклорена для с остаточным членом в форме Пеано.

, где

1) Пеано

2) где - Лагранж

3) - Коши

, , ,

, т.к. sin x - нечет., то вып. усл.:

Билет №3.

Формула Маклорена для с остаточным членом в форме Пеано.

, где

1) Пеано

2) где - Лагранж

3) - Коши

, , ;

Сравнение на бесконечности роста показательной, степенной и логарифмических функций.

1) , где s>0, x>0; .

2) ; ; = ; .

3) (по транзитивности)

Билет №4.

Доказать первое достаточное условие экстремума функции.

Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум.

Доказательство: Рассмотрим точку X из указанной окрестности, тогда:

1. на - непрерывна.

2. на - дифференцируема.

По т. Лагранжа , где , т.к. , то

на : где ,

Доказать теорему о связи функции, её предела и бесконечно малой.

Для того, чтобы функция , определённая в имела конечный предел при , необходимо и достаточно чтобы эту функцию можно было представить в виде суммы предела и б.м.ф. при ( , где - б.м.ф. при ).

Доказательство: I Необходимость:

Дано:

Доказать: , где - б.м.ф. при .

Пусть по определению б.м.ф - б.м.ф. при .

II Достаточность:

Дано: , где - б.м.ф. при .

Доказать:

Билет №5.

Доказать второе достаточное условие экстремума.

Пусть функция определена и имеет в окрестности точки с производную до n-го порядка включительно, причем в самой точке с все производные до (n-1)-го порядка включительно равны 0, а n-ая производная в точке С отлична от нуля. Если n – четное, тогда С – точка локального экстремума, в частности, если , то x=c – локальный минимум, если , то x=c – локальный максимум.

Доказательство: Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано с центром в точке С.

, где - б.м.ф. при . Пусть n – четное, тогда не меняет знак при переходе через С. в которой функция сохраняет знак своего предела. , . . , если - точка локального экстремума.

Вывести уравнение наклонной асимптоты.

Прямая - называется правосторонней наклонной асимптотой графика при , если , где -б.м.ф. при . Прямая - называется левосторонней наклонной асимптотой графика при , если , где -б.м.ф. при . Если , , то y=kx+b – двусторонняя наклонная асимптота.

Теорема. Для того, чтобы y=kx+b была правосторонней (левосторонней) наклонной асимптотой y= при (при ) необходимо существование двух пределов: ; И достаточно существование .

Необходимость Дано: y=kx+b – правосторонняя наклонная асимптота.

Доказать: ; .

Док-во: , где - б.м.ф. ; . . Т.к. И .

Достаточность Дано:

Доказать: y=kx+b – правосторонняя наклонная асимптота.

Док-во. Т.к. существует предел , то . - правосторонняя наклонная асимптота (из определения).

Билет №6.

Доказать необходимое условие возрастания дифференцируемой функции.

Для того, чтобы , определённая и дифференцируемая на интервале (а;b) была возраст. на этом интервале, необходимо, чтобы , .

Дано:f(x)-возраст.

Док-ть: .

Доказательство: из опред. возраст. ф-ции ;

;

если , то . Т.к. f(x) – диф-ма, то .

По св-ву сохранения знака нестрогого нер-ва при предельном переходе : .

(2 дост.- по т. Лагранжа).

Предел числовой последовательности. Сформулировать признак сходимости монотонной последовательности. Доказать теорему о единственности предела.

Число а называется пределом числовой последовательности при если для любого Е>0 существует натуральное число N(E), такое, что для любых n>N(E) выполняется условие , записывают .

Числовая последовательность монотонно не убывает (не возрастает) при , если для выполнено .

Признак: если числовая последовательность при , монотонно не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу) числом A (B), тогда она сходится и её предел не больше, чем A (не меньше, чем B)

Если последовательность , при имеет конечный предел, то он единственный .

Доказательство: Пусть имеет 2 предела a и b при . Пусть для определённости a>b .

;

.

N=max(N₁;N₂) эти неравенства выполняются одновременно, чего быть не может, т.к. по определению E окрестность точки а содержит все члены последовательности, и E окрестность точки b содержит все члены последовательности все члены не могут быть одновременно в 2 окрестностях, т.к. они не пересекаются.

Билет №7.

Доказать необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.

Для того, чтобы функция, дифференцируемая в точке , имела локальный экстремум необходимо, чтобы производная в этой точке была равна 0.

Доказательство: следует из теоремы Ферма.

Дано: точка – точка локального экстремума.

Доказать: .

Согласно определению локального экстремума, функция принимает в либо максимальное, либо минимальное значение по теореме Ферма производная в точке равна 0.

Т. Ферма:

Пусть y=f(x) определена на (a;b) и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке функция имеет производную, то эта производная равна нулю.

Доказательство: (Для наибольшего значения). Пусть так как функция дифференцируема в . ; ; Т.к. .

Вывести 1 замечательный предел:

П усть , .

Ясно, что , но

, т.е.

, т.к. .

Билет №8-1.

Доказать теорему Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций.

Теорема. Пусть ф-ции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в , представляют собой б.м.ф. при , причем в . Если .

Доказательство: Рассмотрим { . Доопределим по непрерывности данные функции нулем в точке a (f(a)=0, g(a)=0). Тогда на [a, ] функции f(x) и g(x) непрерывны, на (a; ) f(x) и g(x) дифференцируемы. По теореме Коши при по условию теоремы >

Замечание 1: точка а может быть бесконечной, тогда или Формулировка: пусть f(x) b g(x) определены и дифференцируемы на и представл. Б.м.ф. при , причем Если

Замечание 2: если и удовлетворяют всем условиям Б-Л и , то и т. д.

Билет №8-2.

Векторная функция скалярного аргумента: и её производная. Касательная к пространственной кривой. Теорема о производной вектор-функции постоянной длины.

Рассмотрим [a,b]. Пусть любому поставлен в соответствии некоторый вектор , тогда говорят, что на [a,b] задана векторная функция скалярного аргумента.

Пусть задана ортонормированная система координат с базисом , тогда

Функции x(t), y(t), z(t)- скалярные функции действительного аргумента – координатные функции для вектор-функции .

Геометрический смысл векторной функции:

Ф ункции соответствует некоторая кривая

Такое представление кривой называют годографом. называется пределом функции скалярного аргумента при если:

.

Рассмотрим приращение векторной функции, придадим t приращение , тогда

.

Производной в точке называется предел разностного отношения при

, .

, .

=

=