билеты по матану 2 (Билеты, ответы и шпоры на экзамен (ИУ5)), страница 4

Док-во:

Билет №25.

Доказать первое достаточное условие экстремума функции.

Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум.

Доказательство: Рассмотрим точку х из указанной окрестности, тогда на :

1. - непрерывна.

2. на - дифференцируема.

По т. Лагранжа , где , т.к. , то

на : где ,

Сформулировать определение функции, непрерывной на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функцию f(x) называют непрерывной на [a,b], если она непрерывна на (a,b) и непрерывна справа в точке x=a и непрерывна слева в точке x=b.

Первая теорема Вейерштрасса.

Если f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом отрезке. .

Вторая теорема Вейерштрасса.

Если f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего (наибольшего) значения.

Первая теорема Больцано-Коши.

Функция , тогда

Доказательство: [a,b] разделим пополам и получим отрезки [a,a+b/2] и [a+b/2,b]. Из них выберем тот, на концах которого ф-ция принимает значения, разные по знаку и обозначим [a1,b1], f(a1)*f(b1)<0. С этим отрезком поступим так же. [a1,a1+b1/2] и [a1+b1/2,b1]. Выберем отрезок с разными по знаку концами. Когда-нибудь получим отрезок . . При , . Получим систему вложенных отрезков . Если при делении отрезка пополам значение функции в середине отрезка равно нулю, то теорему можно считать доказанной. Система вложенных отрезков, длина которых стремится к нулю, имеет одну общую точку => существует точка С. Докажем, что f(с)=0. Предположим, что . Для определенности f(c)>0. Т.к. ф-ция непрерывна на отрезке [a,b], то она непрерывна в точке С. Раз f(c)>0, то ; - притиворечие, что и треб. доказ.

Вторая теорема Больцано-Коши.

Пусть непрерывна на [a,b] и на концах отрезка принимает значения B и A, ( , тогда для любого числа С: .

Доказательство. Рассмотрим F(x)=f(x)-C.

1. F(x) непрерывна на отрезке, как разность двух непрерывных функций.

2. F(a)*F(b)<0

По первой теореме Б-К .

Билет №26.

Доказать теоремы Ролля и Ферма.

Пусть дана функция .

1. Определена и непрерывна на отрезке .

2. Дифференцируема на интервале .

3. И на концах отрезка принимает одинаковые значения.

Тогда существует точка , принадлежащая отрезку .

Доказательство: Т.к. функция непрерывна на отрезке , то согласно 2 теореме Вейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения.

, ,

, .

Случаи:

1. , - любое из интервала

2. в силу 3-го условия теоремы, одно из значений минимального или максимального достигается функцией во внутренней точке отрезка .

Согласно второму условию теоремы Ролля, функция дифференцируема на интервале в любой точке, то по теореме Ферма существует .

Т. Ферма:

Пусть y=f(x) определена на (a;b) и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке функция имеет производную, то эта производная равна нулю.

Доказательство: (Для наибольшего значения). Пусть . ; ; Т.к. .

Вывести формулу для производной обратной функции.

Пусть функция y=f(x) строго монотонна (возрастает или убывает) в некоторой окрестности точки , и дифференцируема в точке , тогда - дифференцируемая в точке .

Доказательство: Рассмотрим , пусть - приращение аргумента обратной функции в точке , тогда функция получит приращение , в силу строгой монотонности функции.

Билет №27.

Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба графика функции. Доказать достаточное условие.

Первое достаточное условие существования точки перегиба.

Пусть определена в , дважды дифференцируема в проколотой окрестности точки С и непрерывна в самой точке С. Для того, чтобы в точке (С, ) , была точка перегиба, достаточно, чтобы при переходе значения аргумента через точку С меняла знак.

Дано: меняет знак. Доказать: точка (c, )- точка перегиба.

Док-во: Т.к. меняет знак, то в левой и правой полуокрестностях график функций имеет различные направления выпуклости, согласно достаточным условиям выпуклости графика функции. По условию теоремы, функция непрерывна в точке С. По определению точка (c, )- точка перегиба.>

Второе достаточное условие существования точки перегиба.

Пусть ф-ция определена в и имеет производные до n-го порядка включительно в самой точке С, причем , а . Для того, чтобы точка (c, ) была точкой перегиба графики функции достаточно, чтобы n было нечетно.

Док-во: Рассмотрим в окрестности точки С, она как функция имеет производные до (n-2) – го порядка. Разложим ее по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. , где -б.м.ф. при . . . . Существует , (сохраняется знак предела). Если n-нечетное, существует такая, в пределах которой при переходе значения аргумента через С, вторая производная меняет знак. Согласно первому достаточному условию, точка (c, ) – точка перегиба.

Определение б.б. функций. Теорема об их связи с б.м. функциями.

Функция определённая в называется б.б. функцией при , если , т.е.

Теорема:

I. Пусть функция является б.б.ф. при , тогда - представляет собой б.м.ф. при .

, тогда - б.м.ф. при .

II. Пусть функция - б.м.ф. при отличная от нуля в некоторой , тогда - б.б.ф. при .

, тогда - б.б.ф. при .

Билет №28.

Доказать достаточное условие выпуклости графика функции.

Пусть определена и дважды дифференцируема на . Для того, чтобы график функции имел направление выпуклости вниз (вверх) достаточно, чтобы была неотрицательная (неположительная) на .

Доказательство:

Дано:

Доказать: - выпуклость вниз на .

Пусть .

Уравнение касательной:

, где , если , , если ,

, т.к.

график функции на лежит не ниже касательной выпуклость вниз на .

Доказать теорему о пределе промежуточной функции.

Пусть функции и имеет конечный предел А при и пусть тогда

Доказательство:

,

,

Рассмотрим , начиная с некоторого номера N и , будут одинакого выполняться . Значит,

Билет №29.

Доказать теорему Лагранжа.

Пусть функция .

1. Определена и непрерывна на отрезке .

2. Дифференцируема на интервале .

Тогда существует из интервала .

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию , где - константа.

1. Она непрерывна на

2. дифференцируема на .

Все условия теоремы Ролля выполняются существует из

Вывести формулу для производной сложной функции.

Пусть функция , дифф. В точке t=t0, а функция - дифференцируема в точке , тогда функция дифференцируема в точке t=t0, причем .

Док-во (должны доказать, что ). Имеем, что . . .

Билет №30.

Кривизна плоской кривой, формула кривизны.

Рассмотрим в XOY плоскую кривую Г.

- средняя кривизна кривой Г. Кривизной Г в точке S₀ называют предел (если он существует) средней кривизны при стремлении к нулю. .

. Если , то полагают , прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания называется нормалью к кривой Г. Точка нормали, отстоящая от точки касания на величину, равную радиусу кривизны, называют центром кривизны. Совокупность всех центров кривизны данной кривой называют эволютой и обозначат . Сама кривая Г по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.

Некоторые свойства эволюты и эвольвенты:

1. Нормаль к кривой Г является касательной для эволюты в соответствующем центре кривизны.

2. При монотонном возрастании радиуса кривизны, приращение радиуса кривизны равно, по абсолютной величине, длине эволюты между соответствующими центрами кривизны.

Рассмотрим в XOY плоскую кривую Г.