билеты по матану 2 (Билеты, ответы и шпоры на экзамен (ИУ5)), страница 3

1) p=n+1, тогда - остаточный член в форме Лагранжа.

2) p=1 – в форме Коши: Число в формуле Лагранжа и формуле Коши разные, т. к. зависят от P. Остаточный член в форме Лагранжа и Коши представляют собой погрешность, которую мы получаем, заменяя функцию f(x) ее многочленом Тейлора. Если нас интересует порядок малости такой замены при , то он совпадает с порядком малости остаточного члена в форме Пеано.

Оценка остаточного члена в форме Лагранжа.

Пусть функция имеет производную любого порядка в и эти производные ограничены одной и той же константой M. ;

Билет №16-2.

Доказать непрерывность функций и

1)

Зададим приращение аргумента функции в точке X:

Здесь использовано неравенство . Итак, . Тогда , т.е. функция непрерывна в точке X, а т.к. точка X принадлежит R , т.е. произвольна, то можна сказать, что функция непрерывна на всей числовой оси.

2) ыв

Зададим приращение аргумента функции в точке X:

, - непрерывная функция.

Билет №17.

Доказать первое достаточное условие экстремума функции.

Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум.

Доказательство: Рассмотрим точку X из указанной окрестности, тогда:

1. на - непрерывна.

2. на - дифференцируема.

По т. Лагранжа , где , т.к. , то

на : где ,

Непрерывность сложной функции.

Пусть - непрерывна в точке x=a, а функция - непрерывна в точке b=f(a), тогда сложная функция z=g(f(x)) – непрерывна в точке x=a.

Доказательство: Т.к g(y) – непрерывна в точке y=b, то , т.к. y=f(x) – непрерывна в точке x=a, то

.

Замечание:

Билет №18.

Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности.

Для того чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она была непрерывной в этой точке.

Дано: - дифференцируема в точке.

Доказать: - непрерывна в точке.

, где - б.м.ф. при .

- непрерывна в заданной точке.

Доказать теорему о пределе промежуточной функции.

Пусть функции и имеет конечный предел А при и пусть тогда

Доказательство:

,

,

Рассмотрим , начиная с некоторого номера N и , будут одинакого выполняться . Значит,

Билет №19.

Доказать теорему Лагранжа.

Пусть функция .

1. Определена и непрерывна на отрезке .

2. Дифференцируема на интервале .

Тогда существует из интервала .

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию , где - константа.

1. Она непрерывна на

2. дифференцируема на .

Все условия теоремы Ролля выполняются существует из

Дифференциал функции – определение, геометрический смысл. Доказать инвариантность формы дифференциала первого порядка.

Дифференциалом функции y=f(x) в точке называют главную линейную, относительно приращения аргумента, часть полного приращения функции в данной точке.

Инвариантность формы первого дифференциала.

; , где Х - независимая переменная.

Билет №20.

Доказать теоремы Ролля и Ферма.

Пусть дана функция .

1. Определена и непрерывна на отрезке .

2. Дифференцируема на интервале .

3. И на концах отрезка принимает одинаковые значения.

Тогда существует точка , принадлежащая отрезку .

Доказательство: Т.к. функция непрерывна на отрезке , то согласно 2 теореме Вейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения.

, ,

, .

Случаи:

1. , - любое из интервала

2. в силу 3-го условия теоремы, одно из значений минимального или максимального достигается функцией во внутренней точке отрезка .

Согласно второму условию теоремы Ролля, функция дифференцируема на интервале в любой точке, то по теореме Ферма существует .

Т. Ферма:

Пусть y=f(x) определена на (a;b) и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке функция имеет производную, то эта производная равна нулю.

Доказательство: (Для наибольшего значения). Пусть . ; ; Т.к. .

Доказать теорему о связи функции, её предела и бесконечно малой.

Для того, чтобы функция , определённая в имела конечный предел при , необходимо и достаточно чтобы эту функцию можно было представить в виде суммы предела и б.м.ф. при ( , где - б.м.ф. при ).

Доказательство: I Необходимость:

Дано:

Доказать: , где - б.м.ф. при .

Пусть по определению б.м.ф - б.м.ф. при .

II Достаточность:

Дано: , где - б.м.ф. при .

Доказать:

Билет №21.

Формула Маклорена для с остаточным членом в форме Пеано.

, где

1) Пеано

2) где - Лагранж

3) - Коши

, , ,

(Пеано) , т.к. sin x - нечет., то вып. усл.:

, (Лагранж)

Сформулировать определение функции, непрерывной на отрезке. Основные теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.

Функцию f(x) называют непрерывной на [a,b], если она непрерывна на (a,b) и непрерывна справа в точке x=a и непрерывна слева в точке x=b.

Первая теорема Вейерштрасса.

Если f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом отрезке. .

Вторая теорема Вейерштрасса.

Если f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего (наибольшего) значения.

Первая теорема Больцано-Коши.

Функция , тогда

Доказательство: [a,b] разделим пополам и получим отрезки [a,a+b/2] и [a+b/2,b]. Из них выберем тот, на концах которого ф-ция принимает значения, разные по знаку и обозначим [a1,b1], f(a1)*f(b1)<0. С этим отрезком поступим так же. [a1,a1+b1/2] и [a1+b1/2,b1]. Выберем отрезок с разными по знаку концами. Когда-нибудь получим отрезок . . При , . Получим систему вложенных отрезков . Если при делении отрезка пополам значение функции в середине отрезка равно нулю, то теорему можно считать доказанной. Система вложенных отрезков, длина которых стремится к нулю, имеет одну общую точку => существует точка С. Докажем, что f(с)=0. Предположим, что . Для определенности f(c)>0. Т.к. ф-ция непрерывна на отрезке [a,b], то она непрерывна в точке С. Раз f(c)>0, то ; - притиворечие, что и треб. доказ.

Вторая теорема Больцано-Коши.

Пусть непрерывна на [a,b] и на концах отрезка принимает значения B и A, ( , тогда для любого числа С: .

Доказательство. Рассмотрим F(x)=f(x)-C.

1. F(x) непрерывна на отрезке, как разность двух непрерывных функций.

2. F(a)*F(b)<0

По первой теореме Б-К .

Билет №22.

Доказать первое достаточное условие экстремума функции.

Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум.

Доказательство: Рассмотрим точку х из указанной окрестности, тогда на :

1. - непрерывна.

2. на - дифференцируема.

По т. Лагранжа , где , т.к. , то

на : где ,

Вывести 1 замечательный предел:

П усть , .

Ясно, что , но

, т.е.

, т.к. .

Билет №23.

Доказать второе достаточное условие экстремума.

Пусть функция определена и имеет в окрестности точки с производную до n-го порядка включительно, причем в самой точке с все производные до (n-1)-го порядка включительно равны 0, а n-ая производная в точке С отлична от нуля. Если n – четное, тогда С – точка локального экстремума, в частности, если , то x=c – локальный минимум, если , то x=c – локальный максимум.

Доказательство: Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано с центром в точке С.

, где - б.м.ф. при . Пусть n – четное, тогда не меняет знак при переходе через С. в которой функция сохраняет знак своего предела. , . . , если - точка локального экстремума.

Вывести уравнение касательной и нормали к плоской кривой.

С геометрической точки зрения значении производной в данной точке x=a равно угловому коэффициенту касательной к графику ф-ции в точке М(a,f(a)). Из аналит. геометрии известно, что уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k и проходящей через точку M(a,f(a)) имеет вид: .

Прямую, проходящую через точку М, перпендикулярно касательной называют нормалью к графику функции в точке М. Если , то уравнение нормали имеет вид: .

Предельное положение секущей при называют касательной к графику функции в точке М. .

Билет №24.

Доказать теорему Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций.

Теорема. Пусть ф-ции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в , представляют собой б.м.ф. при , причем в . Если .

Доказательство: Рассмотрим { . Доопределим по непрерывности данные функции нулем в точке a (f(a)=0, g(a)=0). Тогда на [a, ] функции f(x) и g(x) непрерывны, на (a; ) f(x) и g(x) дифференцируемы. По теореме Коши при по условию теоремы >

Замечание 1: точка а может быть бесконечной, тогда или Формулировка: пусть f(x) b g(x) определены и дифференцируемы на и представл. б.м.ф. при , причем Если

Замечание 2: если и удовлетворяют всем условиям Б-Л и , то и т. д.

Вывести формулу для производной частного от деления двух функций.

Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке, тогда дифференцируемыми в этой точке будут u(x)/v(x), причем , .