билеты по матану 2 (Билеты, ответы и шпоры на экзамен (ИУ5)), страница 2

Пусть . Предельное положение секущей при называют касательной к кривой Г в точке . . Тогда при касательная в точке параллельна вектору . Уравнение касательной: .

- каноническое уравнение касательной.

Теорема: Пусть векторная функция скалярного аргумента , - является непрерывно-дифференцируемой функцией на , которой соответствует некоторая кривая Г: . Тогда длина дуги Г удовлетворяет: (при этом Г имеет конечную длину).

Доказательство: , где , по условию теоремы, функция непрерывно-дифференцируема, значит на отрезке - непрерывная функция. , (по 1 теореме Вейерштрасса). при .

Билет №9-1.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Лагранджа.

Теорема. Пусть ф-ция F(x) определена в и имеет в производные до (n+1)-го порядка включительно. Пусть x – произвольное значение аргумента ф-ции из , тогда для произвольного значения P, p>0 , расположенная между a и x, такие что справедлива следующая формула: . . Формула называется формулой Тейлора с центром в точке a; - остаточный член в формуле Тейлора в общем виде.

эта функция – многочлен степени n – многочлен Тейлора с центром в точке а.

Обозначим . Рассмотрим вспомогательную функцию .

, где Покажем, что на [a;x] удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1. непрерывность на [a;x];

2. дифференцируема на (a;x);

; ; ;

Теорема. Остаточный член в форме Тейлора представляет собой б. м. более высокого порядка малости, чем при . , .

Доказать:

; =0; ; n раз применяем пр. Б-Л.=

Такую запись остаточного члена называют ост. Чл. В форме Пеано: .

Рассмотрим другие формы записи остаточного члена. ,

1) p=n+1, тогда - остаточный член в форме Лагранжа.

2) p=1 – в форме Коши: Число в формуле Лагранжа и формуле Коши разные, т. К. зависят от P. Остаточный член в форме Лагранжа и Коши представляют собой погрешность, которую мы получаем, заменяя функцию f(x) ее многочленом Тейлора. Если нас интересует порядок малости такой замены при , то он совпадает с порядком малости остаточного члена в форме Пеано.

Оценка остаточного члена в форме Лагранжа.

Пусть функция имеет производную любого порядка в и эти производные ограничены одной и той же константой M. ;

Билет №9-2.

Свойства б.м. функций.

1. Сумма конечного числа б.м.ф. при представляет собой б.м. функцию при .

- б.м.ф.

1. Произведение конечного числа б.м.ф. при представляет собой б.м. функцию при .

- б.м.ф.

1. Пусть - б.м.ф. при , а - ограничена в , тогда - б.м.ф. при .

. Пусть , тогда , для , тогда - б.м.ф. при .

Билет №10.

Доказать первое достаточное условие экстремума функции.

Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум.

Доказательство: Рассмотрим точку х из указанной окрестности, тогда на :

1. - непрерывна.

2. на - дифференцируема.

По т. Лагранжа , где , т.к. , то

на : где ,

Дифференциал функции – определение, геометрический смысл. Доказать инвариантность формы дифференциала первого порядка.

Дифференциалом функции y=f(x) в точке называют главную линейную, относительно приращения аргумента, часть полного приращения функции в данной точке.

Инвариантность формы первого дифференциала.

; , где Х – независимая переменная.

Билет №11.

Доказать второе достаточное условие экстремума.

Пусть ф-ция определена и имеет в окрестности точки с производную до n-го порядка включительно, причем в самой точке с все производные до (n-1)-го порядка включительно равны 0, а n-ная производная в точке С отлична от нуля. Если n – четное, тогда С – точка локального экстремума, в частности, если , то x=c –локальный минимум, если , то x=c –локальный максимум.

Доказательство: Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано с центром в точке С. , где -б.м.ф. при . Пусть n – четное, тогда не меняет знак при переходе через С. в которой функция сохраняет знак своего предела. , . . , если - точка локального экстремума.

Доказать теорему о пределе произведения функций.

Пусть и при имеют конечные пределы равные A и B соответственно, тогда

Дано:

Доказательство: , ,

Билет №12.

Доказать достаточное условие выпуклости графика функции.

Пусть определена и дважды дифференцируема на . Для того, чтобы график функции имел направление выпуклости вниз (вверх) достаточно, чтобы была неотрицательная (неположительная) на .

Доказательство:

Дано:

Доказать: - выпуклость вниз на .

Пусть .

Уравнение касательной:

, где , если , , если ,

, т.к.

график функции на лежит не ниже касательной выпуклость вниз на .

Доказать теорему о знакопостоянстве функции, имеющей отличный от нуля предел.

Если , то существует окрестность точки а, в которой и знак совпадает со знаком значения b.

Доказательство: по условию , т.е. , или справедливы неравенства .

Возьмём за число . Тогда , , являются числами одного знака. Следовательно, в силу неравенства , и имеет знак числа b в указанной -окрестности точки а.

Билет №13.

Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба графика функции. Доказать необходимое условие.

Пусть функция определена и дважды непрерывно-дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы (с, ), была точкой перегиба графика функции , необходимо чтобы .

Доказательство:

Дано: (с, ) – точка перегиба.

Доказать: .

- это значит, согласно свойству непрерывности, что функция обладает знакопостоянством.

, т.е. в этой окрестности график функции имеет одинаковые направления выпуклости слева и справа от точки С, что противоречит определению точки перегиба в точке С .

Доказать теоремы об эквивалентных бесконечно малых.

Теорема. Для того, чтобы б.м.ф. и при были эквивалентными, при необходимо и достаточно, чтобы , .

Доказательство. Необходимость. Дано. Доказать, что ( .

Достаточность. Дано. Доказательство. .

Рассмотрим сумму конечного числа б.м.ф. , где - б.м.ф. при .

Пусть , k=2,3,….n тогда - главная часть б.м.ф.

Билет №14.

Доказать теорему Коши.

Пусть функции f(x) и g(x): 1) определены и непрерывна на [a,b]; 2) дифференцируемы на интервале (a,b); 3) тогда .

Доказательство: Вводим вспомогательную функцию . Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: 1) непрерывна на [a,b]; 2) дифференцируема на (a,b); 3) .

(по теор. Ролля). . .

Вывести формулу для производной сложной функции.

Пусть функция , дифф. В точке t=t0, а функция - дифференцируема в точке , тогда функция дифференцируема в точке t=t0, причем .

Док-во (должны доказать, что ). Имеем, что . . .

Билет №15.

Доказать достаточное условие возрастания дифференцируемой функции.

Для того, чтобы функция , определённая и дифференцируемая на , возрастала на , достаточно, чтобы на .

Доказательство:

Дано:

Доказать: - возрастает на

1. - определена

2. - дифференцируемая.

Согласно т. Лагранжа , т.к. , - возрастает на .

Длина дуги плоской кривой. Производная и дифференциал длины дуги плоской кривой.

Рассмотрим в XOY плоскую кривую Г.

; - Средняя кривизна кривой Г. Кривизной кривой Г в точке называют предел (если он существует) средней коивизны при . ; ; Если , то полагают

Билет №16-1.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Лагранджа.

Теорема. Пусть ф-ция F(x) определена в и имеет в производные до (n+1)-го порядка включительно. Пусть x – произвольное значение аргумента ф-ции из , тогда для произвольного значения P, p>0 , расположенная между a и x, такие что справедлива следующая формула: . . Формула называется формулой Тейлора с центром в точке a; - остаточный член в формуле Тейлора в общем виде.

эта функция – многочлен степени n – многочлен Тейлора с центром в точке а.

Обозначим . Рассмотрим вспомогательную функцию .

, где Покажем, что на [a;x] удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1. непрерывность на [a;x];

2. дифференцируема на (a;x);

; ; ;

Теорема. Остаточный член в форме Тейлора представляет собой б. м. более высокого порядка малости, чем при . , .

Доказать:

; =0; ; n раз применяем пр. Б-Л.=

Такую запись остаточного члена называют ост. чл. в форме Пеано: .

Рассмотрим другие формы записи остаточного члена. ,