Занятия 4-5. Пределы числовых последовательностей. Вычисление пределов алгебраических функций. Таблица эквивалентностей (Семинары для ИБМ)

Занятия 4-5. Пределы числовых последовательностей. Вычисление пределов алгебраических функций. Таблица эквивалентностей.

Понятие последовательности. Последовательностью действи­тельных чисел называется функция f: , определенная на множестве всех натуральных чисел. Число f(n) называется n-м членом последовательности и обозначается символом х_п, а формула x_n =f(n) называется формулой общего члена последовательности (x_n).

Предел последовательности. Число а называется пределом последовательности (x_n), т.е. , если для любого ε > 0 существует номер N(ε) такой, что при n > N(ε) выполняется неравенство |х_n − a| < ε. При этом сама последовательность называется сходящейся.

Последовательность (х_n) называется бесконечно малой, если .

Последовательность (х_n) называется бесконечно большой (сходящейся к бесконечности) что формально записывается в виде , если для любого числа E > 0 существует номер N(E) такой, что при n > N(E) выполняется неравенство |x_n| > Е. Если при этом, начиная с некоторого номера, вес члены последовательности положительны (отрицательны), то используем запись ( ).

Верхние и нижние грани. Пусть X  произвольное непустое множество действительных чисел. Число M = max X называется наибольшим (максимальным) элементом множества X, если M  X и для всякого x  X выполняется неравенство x  M. Аналогично определяется понятие наименьшего (минимального) элемента m = min X множества X.

Множество X называется ограниченным сверху, если существует действительное число a такое, что x  a для всех x  X. Всякое число, обладающее этим свойством, называется верхней гранью множества X. Для заданного ограниченного сверху множества X множество всех его верхних граней имеет наименьший элемент, который называется точной верхней гранью множества X и обозначается символом sup X. Очевидно, sup X = max X тогда и только тогда, когда sup X  X.

Аналогично определяются понятия ограниченного снизу множества, нижней грани и точной нижней грани множества X; последняя обозначается символом inf X. Множество X, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Предел функции. Пусть функция y = f(x) определена на множестве D. Число а называют пределом функции у = f(х) в точке х₀ и пишут , если для любого ε > 0 существует число δ(ε) > 0 такое, что для любого x  D из условия 0 < |x − x₀| < δ(ε) следует неравенство |f(x) − a| < ε.

Говорят, что число а есть предел функции y = f(x) при х, стремящемся к бесконечности, и пишут , если для любого ε > 0 существует число A(ε) > 0 такое, что |f(x) − a| < ε, для всех x, таких что |x| > A(ε).

В дальнейшем используются следующие замечательные пределы:

и

где е = 2,71828... − основание натуральных логарифмов.

Наряду с введенным выше понятием предела функции используют также следующее понятие одностороннего предела. Число а называют пределом функции у = f(х) в точке х₀ справа (слева) и пишут ( ), если для любого ε > 0 существует δ(ε) > 0 такое, что для любого x  D из условия 0 < x − x₀ < δ(ε) (−δ(ε) < x − x₀ < 0) следует |f(x) − a| < ε. Аналогично вводится понятие одностороннего предела на бесконечности ( и ).

Полезно помнить, что при

Задачи:

1.73. Пусть

а) Указать наименьший и наибольший элементы этого множества, если они существуют.

б) Каковы множества верхних и нижних граней для множества X? Найти sup X и inf X.

Для следующих множеств найти max X, min X, sup X и inf X, если они существуют: 1.76. .

1.343

Домашнее задание:

Ответы: