Занятие 14. Исследование функций. Асимптоты графиков функций, интервалы возрастания, убывания, экстремумы (Семинары для ИБМ)

Занятие 14. Исследование функций. Асимптоты графиков функций, интервалы возрастания, убывания, экстремумы.

1°. Возрастание и убывание функций. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором интервале (отрезке), если для любых точек х₁ и x₂ принадлежащих данному интервалу (отрезку), из неравенства х₁ < x₂ следует неравенство f(х₁) < f(x₂) (f(х₁) > f(x₂)). Если функция f(х) непрерывна на отрезке [a, b] и ( ) при а < х < b, то f(х) возрастает (убывает) на отрезке [а, b].

В простейших случаях область существования функции f(x) можно разбить на конечное число промежутков возрастания и убывания функции (промежутки монотонности). Эти промежутки ограничены критическими точками x (где или же не существует).

2°. Если х₀ − точка экстремума функции f(x), то (стационарная точка), или же не существует (необходимое условие существования экстремума). Обратное предложение не верно: точки, в которых или же не существует (критические точки), не обя­зательно являются точками экстремума функции f(x). Достаточные признаки существования и отсутствия экстремума непрерывной функции f(x) даются следующими правилами:

1. Если существует такая окрестность (x₀ − δ, х₀ + δ) критической точки x₀, что при при , то х₀ − точка максимума функции f(х); если же при при , то х₀ − точка минимума функции f(х).

Если, наконец, найдется такое положительное число δ, что сохра­няет неизменный знак при , то точка х₀ не является точкой экстремума функции f(х).

2. Если и , то х₀ − точка максимума функции f(х); если и , то х₀ точка минимума функции f(x); если же и , а , то точка х₀ не является точкой экстремума функции f(х).

3°. Наименьшее и наибольшее значения. Наименьшее (наибольшее) значение непрерывной функции f(х) на данном отрезке [a, b] достигается или в критических точках функции, или на концах отрезка [a, b].

Вогнутость графика функции и вторая производная.

4°. Вогнутость графика функции. Говорят, что график дифференцируемой функции y = f(x) вогнут вниз на интервале (а, b) (вогнут вверх на интервале (c, d)), если при a < х < b дуга кривой расположена ниже (или соответственно при с < х < d выше) касательной, проведенной в любой точке интервала (а, b) (или интервала (c, d). Достаточным условием во­гнутости вниз (вверх) графика y = f(x) является выполнение на соответствующем интервале неравенства ( ).

5°. Точки перегиба. Точка (x₀, f(x₀)), в которой изменяется направление вогнутости графика функции, называется тонкой перегиба.

Асимптоты

1°. Определение. Если точка (х, у) непрерывно перемещается по кривой y = f(x) так, что хотя бы одна из координат точки стремится к бес­конечности, и при этом расстояние точки от некоторой прямой стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.

2°. Вертикальные асимптоты. Если существует а такое, что , то прямая х = а является асимптотой (вертикальная асимптота).

3°. Наклонные асимптоты. Если существуют пределы и , то прямая y = k₁x + b₁ будет асимптотой (правая наклонная или, в случае k₁ = 0, правая горизонтальная асимптота). Если существуют пределы и , то прямая y = k₂x + b₂ будет асимптотой (левая наклонная или, в случае k₂ = 0, левая горизонтальная асимптота)

Задачи:

Найти асимптоты кривых:

Определить промежутки убывания и возрастания функций:

Исследовать на экстремум следующие функции: 833. .

Домашнее задание:

Найти асимптоты кривых: 904. . 906. .

Определить промежутки убывания и возрастания функций: 815. . 819. . 821. .