Нефедов В.И. - Электрорадиоизмерения, страница 42

Математическое ожидание (среднее значение) случайного процесса вычисляют путем усреднения (эта операция обозначена чертой над функцией) значений заданной реализации (жирная ли­ния, представлена как т на рис. 11.1)

Дисперсия случайного процесса

определяет мощность его флюктуации.

Параметр называют средним квадратическим от­клонением (СКО).

На практике вместо среднего значения, дисперсии и СКО ре­зультата измерений случайного процесса находят их оценки, обо­значая соответственно как

Различают две группы статистических характеристик, содер­жащих информацию о случайном процессе: распределение его значений во времени (математическое ожидание, дисперсия, функ­ция распределения, функция корреляции); распределение энергии процесса по частоте (спектральная плотность).

11.2. Измерение математического ожидания и дисперсии

Оценка математического ожидания. Усредняющее устрой­ство, выполняющее функции согласно формуле (11.5), является идеальным интегратором. Если функция X(t) представляет ток или напряжение, то в роли аналогового интегратора могут выступать ин­тегрирующие RС-цепочки или ин­тегрирующее устройство, постро­енное на основе операционного усилителя ОУ, охваченного глубо­кой отрицательной обратной свя­зью (рис. 11.2).

С помощью ключа Кл задают время интегрирования (опроса) входного сигнала T_оп = Т_х. При t = 0 ключ размыкается и находится в этом положении до мо­мента t = T_оп, после чего замыкается. За время Т_оп осуществ­ляют усреднение входного сигнала u_вх (t). Через замкнутый ключ и ОУ конденсатор разряжается практически мгновенно. Для получения оценки среднего значения исследуемого на­пряжения u(t) необходимо измерить выходное напряжение U_вых(T_оп) на интервале времени Т_оп. Среднее значение входного напряжения (формула приведена без вывода)

где К— коэффициент усиления усилителя, входящего в схему.

Оценка дисперсии. Для оценки дисперсии в соответствии с (11.6) можно использовать вольтметр, имеющий квадратичный преобразователь, т.е. определять среднее квадратическое значе­ние. Вольтметр должен иметь «закрытый вход», т.е. не пропус­кать постоянную составляющую для получения центрированной величины.

Цифровые измерители математического ожидания и дисперсии

При измерении оценок математического ожидания и диспер­сии цифровыми приборами интегралы в формулах (11.5) и (11.6) заменяют суммами:

Здесь T_изм — заданный интервал времени измерения; п = T_изм/T_on — общее количество выборок за время измерения.

Структурная схема цифрового измерителя математического ожидания и временные диаграммы, поясняющие его работу, пред­ставлены на рис. 11.3.

Режим функционирования прибора задается тактовым гене­ратором ТГ, который управляет работой генератора линейно-изменяющегося напряжения ГЛИН (рис. 11.3, а). Генератор вхо­дит в состав схемы время импульсного АЦП. На временных диаграммах (рис. 11.3, б) показаны сигналы, действующие в схеме из­мерителя. Отметим, что здесь и далее в качестве исследуемой ве­личины х(t) рассматривается напряжение U(t). Управление схемой осуществляет генератор счетных импульсов ГСИ. Напряжение U_гси (импульсы, следуют с частотой f= 1/T₀) одновременно поступает на один из входов схемы И и делитель частоты ДЧ. Коэффициент деления k_д выбирают кратным десяти: k_д = 10^β, где β — целое чис­ло. Полученный в результате интервал опроса T_оп = k_д*T₀ = 10^βT₀.

Импульсы управления U_TГ (опорные импульсы), поступаю­щие с периодом повторения T_оп с тактового генератора, командой Пуск запускают генератор линейно изменяющегося напряжения, сигнал u_л(t) которого сравнивают с исследуемым входным сигна­лом u(t) в компараторе К1. Одновременно с началом работы ГЛИН другой компаратор К2 подает разрешающий сигнал на вход триггера Т, и на обоих входах схемы И появляются сигналы, в результате чего от начала команды Пуск импульсы ГСИ попа­дают на счетчик С. Процесс подсчета импульсов ГСИ прекратит­ся, когда с компаратора К1 поступит сигнал, опрокидывающий триггер Т. Это произойдет в момент сравнения напряжения u_л(t), вырабатываемого ГЛИН, с входным напряжением u_i. После окон­чания времени цикла T_оп, с приходом следующего опорного им­пульса u_тг, снова произойдет запуск ГЛИН и в счетчик будут за­писываться данные следующего цикла и т.д.

Если количество циклов измерений n, то с учетом, что q_i = С*u_i (q_i — число импульсов за время опроса, С — константа, коэффи­циент пропорциональности; u_i — значение входного напряжения в момент сравнения), общее количество импульсов, записанное счетчиком за время измерения T_изм, будет

Среднее значение (оценка) исследуемого напряжения

Подсчитанное значение оценки среднего значения отражают на дисплее ЦОУ.

При вычислении дисперсии необходимо провести центриро­вание среднего значения ů (t) = u (t)-m*_x, а затем возвести в квад­рат полученную величину. Структурная схема цифрового измери­теля дисперсии представлена на рис. 11.4. С помощью центри­рующего устройства ЦУ из исследуемого сигнала выделяют его переменную составляющую ů(t), которая поступает на двухполупериодный выпрямитель В.

Компаратором К выпрямленный сигнал |ů(t)| преобразуют во временной интервал ∆t_i, путем сравнения его с линейно изме­няющимся напряжением u_л(t) = k₁t (k₁— коэффициент преобразо­вания ГЛИН), которое вырабатывается ГЛИН. В результате этого преобразования получим временной интервал, описываемый уравнением:

где k₂- коэффициент преобразования компаратора.

Напряжение ГЛИН u_л(t) управляет и частотой генератора счетных импульсов ГСИ, определяемой как f₀ = 1/T₀ = k₃*u_л(t) (здесь k₃ — коэффициент преобразования ГСИ). Счетные импуль­сы поступают на вход схемы совпадения И, на другой вход кото­рой через триггер Т подают импульс длительностью ∆t_i. Триггер открывается напряжением u_on, действующим на интервале Т_on. Итак, на вход счетчика импульсов СЧ за длительность очередного импульса ∆t_i с ГСИ через схему И пройдет некоторое число импульсов:

Итак, за время измерения Т_изм = пТ_оп в счетчике регистрируют число

Разделив число N импульсов на k₀n, получим значение оценки дисперсии:

Цифровой измеритель дисперсии случайного процесса также управляется импульсами тактового генератора, для упрощения на рис. 11 .4 не показанного. Поэтому напряжение u_оп представляет собой импульсный сигнал тактового генератора. Полученные ре­зультаты измерения отображают на табло ЦОУ.

11.3. Измерение распределения вероятностей

В приборах для измерения интегральной функции распреде­ления F(x) и плотности вероятности р(х) используют методы, ос­нованные на связи между функциями вероятностей и временем пребывания случайного процесса в интервале заданных значений х.

Измерение интегральной функции распределения. Оценка интегральной функции распределения иллюстрирует рис. 11.5, где показаны структурная схема измерителя и графики, пояс­няющие ее работу. Структурная схема измерителя (рис. 11.5, а) содержит входное устройство ВУ, компаратор К, источник регули­руемого напряжения ИРН, усредняющее устройство УУ и цифро­вое отсчетиое устройство ЦОУ Анализируемая реализация u_bx(t) (рис. 11.5, b) через входное устройство, обеспечивающее необхо­димую интенсивность исследуемого процесса на входе основных блоков, подают на компаратор. Компаратор выполняет роль ам­плитудного селектора с определенным порогом срабатывания U₀, устанавливаемого источником регулируемого напряжения.

При срабатываниях компаратора на его выходе возникает по­следовательность импульсов u(t) постоянной амплитуды U₁ и слу­чайной длительности τ_i, которая в любой момент времени пропор­циональна интервалу пребывания анализируемой функции выше установленного значения порогового напряжения U₀ (рис. 11.5, в). Выходные импульсы компаратора поступают на усредняющее уст­ройство, которое осуществляет усреднение за время измерения (обо­значим его Т_изм = Т_оп). Это устройство выполняют в виде интегратора или фильтра низких частот.

Среднее значение напряжения на выходе усредняющего уст­ройства, отнесенное к амплитуде напряжения импульсов U₁ со­ответствует алгоритмам (11.1), (11.4), определяющим характер изменения интегральной функции распределения. Вычислив вспомогательную функцию на выходе УУ

можно подсчитать и оценку интегральной функции распределения

Сигнал с выхода УУ поступает на ЦОУ. Если при измерениях менять порог U₀, то получим график функции распределения.

Измерение плотности вероятности. Плотность распределе­ния вероятности анализируют с помощью устройства (рис. 11,6,а), содержащего два одинаковых канала, подобных каналу схемы рис. 11.5, а. В обоих каналах измерителя устанавливают уровни селекции по напряжению U₀ и U₀+∆U . В этой схеме: ВУ — вход­ное устройство; К1, К2 — компараторы; ИРН — источник регули­руемого напряжения, вырабатывающий фиксированные уровни напряжений U₀ и (U₀+∆U); ФУ1, ФУ2 — формирующие устройства; СВ — схема вычитания; УУ — усредняющее устройство; ЦОУ — цифровое отсчетное устройство.

Графики, поясняющие определение плотности вероятности случайного процесса с помощью временных интервалов, показаны на рис. 11.6, б - д. Исследуемая реализация u(t) (рис. 11.6,b) через входное устройство поступает на компараторы К1 и К2. На выходе компаратора К1 формируют импульсы напряжения, длительность τ_i, которых соответствует интервалам времени, когда u(t) > U₀. Для компаратора К2 длительность τ`_i импульсов соответствует интерва­лам времени, когда u(t) > U₀+∆U. Далее импульсы обоих каналов поступают на формирующие устройства ФУ1 и ФУ2, на выходе которых появляются стабильные импульсные напряжения u₁ и u₂ (рис. 1 1.6, е, г).

Схема вычитания измерителя вырабатывает разностное им­пульсное напряжение, имеющее место между двумя каналами: u₃ = u₁ – и₂. Длительность импульсов выходного напряжения u₃ схемы вычитания (рис. 11.6, д) соответствует интервалам вре­мени, когда U₀<u(t)<(U₀+∆U). Усреднение этих импульсов за время накопления определяет некоторый уровень напряжения, соответствующий оценке плотности вероятности процесса. Итак, напряжение на выходе усредняющего устройства дает оценку значения плотности вероятности p_Ton(U₀). Индекс «T_оп » в записи указывает на то, что оценка получена при конечном времени ус­реднения и примерно равна значению плотности вероятности. Меняя порог U₀, можно получить зависимость плотности вероят­ности p_Ton(u).

В соответствии с определением плотности вероятности (11.2), (11.3) для интервала наблюдения Т_оп