Нефедов В.И. - Электрорадиоизмерения, страница 37

Алгоритмы дискретного и быстрого преобразований Фурье. Если сигнал u(t), являющийся непрерывной функцией времени на интервале 0 - Т_и, представлен своими k-ми отсчетами амплитуды {u(kΔt)} = {u_k}, взятыми через временные отрезки At, то его можно представить в виде дискретного преобразования Фурье (ДПФ):

где N = T_и/Δt — число отсчетов; С_n — комплексные гармоники исследуемого спектра;

п = 0, 1, 2,..., (N/2 - 1) — номер спек­тральной составляющей.

Многократно сократить число операций позволяет быстрое преобразование Фурье (БПФ), обеспечивающее более скоростное цифровое вычисление ДПФ. В основу алгоритма положен прин­цип разбиения (прореживания во времени) заданной последова­тельности {u_k} из N=2^r элементов, где r — целое число (если это условие не выполняется, то последовательность искусственно дополняют нулями до требуемого значения N) отсчетов дискрет­ного сигнала на ряд промежуточных подпоследовательностей. При этом входную последовательность представляют в виде двух подпоследовательностей с четными и нечетными номерами и по­ловинным числом членов в каждой:

Коэффициенты ДПФ для подпоследовательностей с четными и нечетными номерами записывают отдельно как С_{п чт} и С_{п нч}. Оказывается, что коэффициенты С_п результирующего ДПФ входной последовательности в диапазоне номеров отсчетов от 0 до N/2 -1 определяются соотношением:

а коэффициенты С_п ДПФ входной последовательности для отсче­тов с номерами от N/2 до N - 1:

Формулы (9.8) и (9.9) представляют собой алгоритмы БПФ. В них экспоненциальные фазовые множители exp(-j2πnk / N) учи­тывают влияние сдвига нечетной подпоследовательности относи­тельно четной. Чтобы еще уменьшить число вычислений, четную и нечетную подпоследовательности также разбивают на две про­межуточные части. Разбиение продолжают вплоть до получения простейших двухэлементных последовательностей. При объеди­нении ДПФ четной и нечетной подпоследовательностей исполь­зуют алгоритмы (9.8) и (9.9), подставляя в них соответствующие значения номеров N и п.

Рис. 9.6. Структурная схема анализатора с реализацией БПФ.

Структурная схема цифрового анализатора спектра, реали­зующая один из алгоритмов БПФ, показана на рис. 9.6. В схеме используют: процессоры БПФ с каскадной структурой организа­ции параллельной работы; q = log ₂ N арифметических устройств АУ; q - 1 блоков памяти БП емкостью 2ⁱ комплексных слов каж­дый. В режиме реального времени все N отсчетов обрабатывае­мой группы через устройство ввода-вывода информации УВВ поступают в ОЗУ. Последним тактом ввода группы отсчетов к ОЗУ последовательно подключают блоки АУ, осуществляющие обработку информации в соответствии с заданным алгоритмом БПФ. Служебная информация о комплексных весовых коэффи­циентах

exp(-j2πnk / N) вводится в АУ из ПЗУ. Вывод результатов обработки осуществляют непосредственно из АУ. Синхронизация работы всех устройств цифрового анализатора спектра выполня­ют командами, вырабатываемыми устройством управления УУ.

Цифровые анализаторы спектра

Современный цифровой анализатор представляет собой ка­чественно новый тип аппаратуры, в которой специфические функции многочисленных приборов моделируют с помощью на­бора компьютерных программ: для изменения характера функ­ционирования достаточно вызвать соответствующую программу обработки без аппаратурной перестройки устройств. Комплекс программ цифрового анализатора спектра позволяет сочетать в одном приборе практически все функциональные возможности, необходимые для всестороннего исследования параметров раз­личных сигналов и процессов.

Принцип действия цифрового анализатора спектра основан на вычислительных процедурах определения параметров и харак­теристик различных сигналов и процессов. В функциональные возможности современного цифрового анализатора (рис. 9.7) за­ложены следующие алгоритмы:

• восстановление сигнала по его спектру, т.е. вычисление об­ратного преобразования Фурье;

• анализ и синтез характеристик электрических цепей: опреде­ление импульсных, передаточных и фазовых характеристик цепей с сосредоточенными постоянными; анализ известных диаграмм Вольперта-Смитта (характеристики и параметры цепей с распре­деленными постоянными); устойчивость цепей со звеньями об­ратных связей — анализ критерия устойчивости Найквиста;

• корреляционный анализ сигналов: вычисление корреляцион­ных и взаимокорреляционных функций; определение фазовых со­отношений сигналов (идентификация сигналов);

• спектральный анализ периодических, импульсных и случай­ных сигналов: анализ квадратурных составляющих — модуля спектра, фазового спектра, комплексного спектра; определение спектра мощности случайного процесса и его функции когерент­ности; вычисление взаимного спектра; усреднение спектра по по­лосе частот; определение кепстра мультипликативных сигналов;

• цифровая обработка и фильтрация сигналов и вычисление произведения спектров (операция, обратная свертке);

• измерение параметров сигналов (амплитуды, частоты, фазы, индекса модуляции, девиации частоты сигналов; определение параметров импульсных сигналов — амплитуды, длительности, длительностей фронтов, периода следования и т.д.);

• анализ статистических характеристик случайных процессов; построение гистограмм мгновенных значений сигналов; опреде­ление одномерной плотности вероятности и интегральной функ­ции распределения случайных процессов.

Структурная схема современного цифрового анализатора спектра приведена на рис. 9.8: Исследуемые сигналы по одному (А) или двум (А, Б) каналам подают на соответствующие усили­тели с переменным коэффициентом усиления, которые приводят различные уровни входных сигналов (от 0,01 до 10 В) к значению, необходимому для нормальной работы последующих трактов. Затем сигналы поступают на ФНЧ, которые выделяют подлежа­щую анализу полосу частот.

Рис. 9.8. Структурная схема современного цифрового анализатора.

Исследователь может выключить фильтры. С выхода фильтров сигналы поступают на АЦП, где их преобразуют в параллельный 10-разрядный двоичный код. Может работать как один, так и оба канала. В последнем случае выборки сигнала проходят одновременно по обоим каналам, что позволяет сохранить в цифровом коде информацию о фазовых соотношени­ях сигналов, необходимую для измерения взаимных характери­стик. Частота выборки определяется кварцевым генератором и может изменяться исследователем в пределах 0,2... 100 кГц. Эта частота определяет отсчетный масштаб прибора во временной и частотной областях.

Тракт прохождения исследуемого сигнала от входа усилите­лей до выхода АЦП имеет калиброванные значения коэффициен­та передачи во всем диапазоне частот и уровней напряжений. Информация о значении коэффициента передачи и частота вы­борки вводятся в цифровое вычислительное устройство (микро­процессор) и учитывают при формировании конечного результа­та. Микропроцессор работает в соответствии с заложенной в него программой. Программа состоит из ряда подпрограмм, органи­зующих ту или иную вычислительную операцию (вычисление спектра, корреляционной функции, построение гистограммы и т.д.). Вызов необходимой подпрограммы осуществляют устройст­вом управления. Результаты вычислений выводят на индикатор­ное или регистрирующее устройство, в качестве которого может быть использован цифровой графопостроитель, принтер, цифро­вой магнитофон, дисковый накопитель, осциллограф или самопи­сец. Последние два подключают через ЦАП. Все результаты со­провождают масштабным коэффициентом для перевода их в фи­зические единицы.

При анализе сигналов, представленных в цифровом виде (в виде числового ряда), данные вводятся непосредственно в цифро­вое вычислительное устройство с помощью устройства ввода цифровых данных с наборного табло пульта управления в десятичном коде. Основные режимы работы цифрового анализатора спектра: спектральный, статистический и корреляционный ана­лиз; измерение амплитудного и фазового спектров; измерение спектра мощности, взаимного спектра; измерение корреляцион­ных функций.

9.4. Анализаторы спектра на цифровых фильтрах

Внедрение цифровых методов обработки сигналов в измери­тельной технике привело к созданию эффективных и высокоскоро­стных анализаторов спектра на цифровых фильтрах. Цифровой фильтр имеет стабильную частотную характеристику, не нуждается в подстройке, компенсирующей неточности из-за старения элементов и его универсальность намного выше аналогового фильтра. При пе­рестройке цифрового фильтра нет необходимости менять элементы, а достаточно его перепрограммировать. Однако главным преимуще­ством цифровой фильтрации в измерительной технике является при­менение высокоточных цифровых детекторов и устройств усредне­ния (цифровых интеграторов). Цифровой детектор измеряет практи­чески истинное среднее квадратическое значение анализируемого сигнала без ограничений, связанных с его амплитудным значением.

Цифровое устройство усреднения, обеспечивающее усредне­ние анализируемого сигнала по линейному и экспоненциальному (или показательному) законам, отличается универсальностью и эффективностью, которые недостижимы для аналоговых усред­няющих устройств.

Цифровая обработка сигналов в анализаторах спектров. Одним из важнейших методов цифровой обработки сигналов в со­временной измерительной технике и, в частности, в анализаторах спектров, является цифровая фильтрация. Она заключается в циф­ровом преобразовании последовательности числовых отсчетов входного сигнала {u{kΔt)} = {u_k} в последовательность числовых отсчетов {y(kΔt)} = {y_k} выходного сигнала.

Структурные схемы цифровых фильтров. Цифровые фильтры делят на два больших класса: нерекурсивные и рекурсивные. Тер­мин «рекурсивный» связан с известным математическим приемом «рекурсией» циклическим обращением к вычисленным данным, полученным на предыдущих этапах математических операций.

В нерекурсивных фильтрах отклик зависит только от значе­ний входной последовательности, и для формирования k-го вы­ходного отсчета используют лишь предыдущие значения входных отсчетов. Такие фильтры обрабатывают входной дискретный сиг­нал {u_k} в соответствии с алгоритмом

где у_k — выходной сигнал; а₀, а₁, а₂, ..., а_т — действительные по­стоянные (весовые) коэффициенты; т — порядок нерекурсивного фильтра, т.е. максимальное число запоминаемых чисел.

Аналитическую сторону алгоритма обработки (9.10) нагляд­но характеризует структурная схема цифрового фильтра, пред­ставленная на рис. 9.9.

Рис. 9.9. Структурная схема нерекурсивного цифрового фильтра.

Основой любого цифрового фильтра являются элементы за­держки входной цифровой последовательности {u_k} на интервал дискретизации Z^-1 ((задержка сигнала на интервал дискретизации Δt), а также масштабные (весовые) блоки а_т, выполняющие в цифровой форме операции умножения на соответствующие ко­эффициенты. Часто, и по существу, элементы задержки называют ячейками памяти. Сигналы с масштабных блоков поступают в сумматор (+), на выходе которого образуется последовательность отсчетов выходного сигнала {у_к}.

Не проводя подробного анализа, отметим, что коэффициенты а₀, а₁, а₂, ..., а_т совпадают с соответствующими отсчетами им­пульсной характеристики цифрового фильтра h₀, h₁, h₂, ... , h_m.

Рекурсивные цифровые фильтры. Возможности нерекур­сивного цифрового фильтра существенно расширяются при введении в его схему обратных связей, которые позволяют формировать k-й выходной отсчет путем использования пре­дыдущих значений как входного, так и выходного дискретных (выраженных в цифровой форме) сигналов.

Здесь постоянные коэффициенты а₀, а₁, а₂, ..., а_т, как и в алгоритме об­работки (9.9), характеризуют нерекурсивную часть, а коэффициенты b₁ ,b₂, ... , b_п — рекурсивную часть алгоритма цифровой фильтрации, причем последние не равны нулю одновременно. Порядок такого циф­рового фильтра определяется коэффициентом т нерекурсивной части алгоритма обработки. Структурная схема цифрового рекурсивного фильтра показана на рис. 9.10.

Рис. 9.10. Структурная схема рекурсивного цифрового фильтра.