Глава 16 Истечение газов и паров (Головинцов А.Г., Юдаев Б.Н., Федотов Е.И. - Техническая термодинамика и теплопередача 1970)

Глава XVI, ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗОВ И ПАРОВ

§ 74. Схема задачи и основные термины

Имеется резервуар, в одной из стенок которого установлен насадок (рис. 123). Этим насадком резервуар сообщается с окру­жающей средой ¹. В дальнейшем резервуар будем называть сосу­дом, а насадок — соплом.

Если рабочее тело в сосуде имеет параметры p_l; v₁, а давление в окружающей среде р₂, причем

то рабочее тело будет вытекать из сосуда в окружающую среду.

Этот процесс называется истечением. Истечение — широко распространен­ный процесс. В частности истечение яв­ляется основным процессом в паровых и газовых турбинах и в реактивных двига­телях.

Если при истечении давление в сосуде остается постоянным (р₂ = const), то та­кой сосуд называют сосудом неограничен­ной емкости. Если же р₁ при истечении падает, то говорят об истечении из сосуда ограниченной емкости. Скорость, которую рабочее тело приобретает в устье сопла, т. е. при выходе из него, называют скоростью истечения. Важной характеристикой процесса истечения, помимо скорости, является секундный расход рабочего тела, т. е. массовое количество его, выходящее из сопла за секунду.

Если в процессе истечения в устье сопла или в любом его сечении скорость не изменяется с течением времени, то такой про­цесс истечения называется установившимся. Противоположностью ему является так называемое неустановившееся истечение, при ко­тором скорость в устье сопла (и в любом другом его сечении)

¹ В общем случае резервуар при помощи насадка может сообщаться с другим резервуаром.

195

с течением времени изменяется. При установившемся истечении в любом сечении должны оставаться постоянными не только скорость, но и параметры рабочего тела.

В зависимости от назначения сопла делят на суживающиеся, цилиндрические и расширяющиеся.

В общих курсах технической термодинамики рассматривается только установившийся процесс, т. е. истечение при р₂ = const. Предполагается, что истечение происходит в окружающую среду, в которой давление р₂ остается постоянным.

Рассмотрим случай истечения, когда давления р₁ и р₂ остаются постоянными.

§ 75. Вывод основного уравнения истечения (уравнения скорости истечения)

Основное уравнение истечения проще всего вывести, рассматри­вая установившееся истечение из сосуда неограниченной емкости через суживающееся сопло, при условии, когда давление в устье сопла р_y = р₂ (газ полностью расширяется в сопле).

Из потока выделим бесконечно малый элемент массы вещества dm, сделаем это с помощью двух параллельных плоскостей f, расположенных бесконечно близко одна от дру­гой на расстоянии dh (рис. 124). Разность этих площадей — бесконечно малая величина выс­шего порядка и потому не учитывается. На сечение, располагаемое дальше от устья сопла, действует давление р, а на сечение, которое ближе к устью, — давление р — dp.

Таким образом, разность давлений, обуслов­ливающих перемещение сечения на бесконечно малую величину,

р — dp — р = — dp,

а определяемая этой разностью давлений сила --jdp.

где dw/d ускорение ( скорость потока,  — время).

Очевидно, элементарная масса

По законам механики сила, действующая на тело, равна мас­се, умноженной на ускорение, т. е.

тогда

или

но

так как h — путь, т — время. Тогда

— vdp = wdw,

где — vdp представляет собой положительный элемент распола­гаемой работы, поэтому

dl' = wdw.

Последнее выражение можно записать следующим образом:

Эта формула справедлива в пределах сделанных допущений для всех рабочих тел, т. е. как для реального, так и для идеального газа.

Применение этого уравнения упрощает расчеты, если для ра­бочего тела имеется диаграмма i — s. В этом случае i₁ — i₂ берут непосредственно из диаграммы как адиабатный теплоперепад между точ­кой, соответствующей начальному состоянию (в сосуде), и конечной изобарой (рис. 125).

В частном случае, для идеального газа, при условии, что теплоемкость его постоянна, уравнение (277) мож­но представить в виде

тогда

Из уравнения Майера с_р — c_v = R следует, что

откуда после интегрирования получаем

тогда

или

если принять w₁ =0, то

отсюда

§ 76, Уравнения для адиабатного истечения паро-газообразных тел

В общих курсах термодинамики обычно изучают истечение паро-газообразных тел; при этом оно рассматривается как адиабат­ное, которое основывается на следующих соображениях: скорости истечения паро-газообразных тел настолько велики, что за время пребывания вещества в сопле теплообмен между ними и окружа­ющей средой ничтожен, т. е. практически равен нулю.

Для адиабатного истечения уравнение работы запишется так:

Используя соотношение в адиабатном процессе между темпе­ратурами и давлениями

получим окончательное выражение для определения скорости истечения идеального газа

Подставляя l' из этого уравнения в уравнение (275), получим

Выведем уравнение для определения секундного расхода т кг/сек.

В общем случае для установившегося движения

где F в м²;  в м/сек,  в кг/м³ — некоторое сечение и взятые в нем скорость потока и плотность рабочего тела.

Подставляя в это выражение значение скорости и внося v₂ под знак радикала, получаем

Удобнее всего уравнение (281) относить к устью сопла, сече­ние которого F. При полном расширении газа в сопле (р₂ = р_у) скорость в его устье определяется уравнением (280), а плотности ру = р2- Тогда

Н о из уравнения адиабаты

поэтому

§ 77. Исследование уравнений истечения

Используя обозначение p₂/p₁ = , запишем уравнение (283) сле­дующим образом:

Исследуем закон изменения секундного расхода т при изме­нениях отношения давлений (5. Вообще это отношение может изме­няться как вследствие изменения давления р₁ в сосуде, так и при изменении давления р₂ в окружающей среде. Рассмотрим уравне­ние (284) при изменении (3 только из-за изменения р₂. Давление в сосуде р₁ считается постоянным.

На рис. 126 показан график зависимости т = f (), получен­ный по уравнению (284). Это уравнение дает два нулевых значе­ния расхода т: при  = 1 и при  = 0; при некотором значении _k, называемом критическим, секундный расход достигает макси­мального значения. При уменьшении  в области от  = 1 до  = _k секундный расход увеличивается. Эта область значений  называется подкритической. В области значений  от  =  _к до  = 0 уменьшение отношения давлений приводит к уменьше­нию секундного расхода (надкритическая область).

Если характер зависимости т = f () в додкритической области не вызывает никаких возражений и находится в полном соответ­ствии с практикой, то в надкритической области вид графика,

полученного по уравнению (284), противоречит не только практи­ческим данным, но и здравому смыслу. В саком деле, нет никаких оснований для уменьшения т при уменьшении отношения давле­ний. И уж совершенно нельзя представить себе, что при  = О (в окружающей среде абсолютный вакуум) истечение может пре­кратиться и расход может стать равным нулю. Напротив, при  = 0 следует ожидать максимального расхода.

График изменения скорости истечения, полученный по урав­нению (280), показывает, что при уменьшении  = p₂/p₁ скорость возрастает на всем диапазоне значений  от  = 1 до =0 (рис. 126).

Особенностью этого графика является то, что при  =  _K кривая имеет точку перегиба и в подкритической области характер изменения скорости совсем другой, чем в над­критической. При  = 0, т. е. при истечении в абсо­лютный вакуум, скорость истечения максимальна и имеет конечное значение

Однако опыт показывает, что для надкритической об­ласти значения расхода и скорости, вычисленные по уравнениям (284) и (280), несправедливы. Опытом установлено, что в этой области расход, и скорость остаются постоянными и равными значениям этих величин при р_к. Таким образом, в над­критической области графики т = f() и  = () представ­ляются прямыми, параллельными оси абсцисс.