35

нач. отд.САПР ЗАО “Уралоргтехника“ к.т.н. Долматов В.М

Исследование собственных частот колебаний балок и их форм на основе метода конечных элементов

Как упругое тело балка при нагружении испытывает три основных вида деформации – изгибные, продольные и поперечные. При определенных геометрических характеристиках балки и условий нагружения эти деформации могут быть независимыми или существовать совместно (изгибно-поперечные, продольно-изгибные и т.д.). С математической точки зрения колебания континуальных систем описываются дифференциальными уравнениями в частных производных и представляют собой смешанные краевые задачи. Для систем, обладающих большим числом степеней свободы (а это конструкции кузовов и рам вагонов), аналитические методы решения задач о колебаниях малоэффективны, а часто и невозможны. Поэтому для решения таких задач применяются численные методы решения.

Так как при расчете собственных частот и форм колебаний внешние динамические нагрузки не рассматриваются, то решение сводится к системе однородных алгебраических уравнений /1/.

Матричные операции при исследовании собственных колебаний

методом конечных элементов

Движение системы описывается уравнением Лагранжа 2 рода

, (1)

где Т- кинетическая энергия;

П- потенциальная энергия системы;

- обобщенные перемещения;

- обобщенные скорости;

- обобщенные силы.

Трансформация этого уравнения в метод конечных элементов является следующей:

, (2)

где - матрицы масс, демпфирования и жесткости

системы;

- векторы перемещений узлов и их производные;

- обобщенные силы.

Уравнения (2) описывают равновесие системы и понимаются как уравнения динамического равновесия в момент времени t . При отсутствии движения, когда векторы сил инерции и демпфирования равны нулю, выражение (2) получает известный вид метода конечных элементов .

При определении частот и форм собственных колебаний рассматриваются два случая: собственные колебания без затухания и с затуханием. Учет затухания производится в соответствии с гипотезой Фойгта.

Собственные колебания кузова без затухания описываются следующей системой однородных дифференциальных уравнений:

. (3)

Примем решение (3) в виде . Произведя ряд преобразований и подстановку в (3), получим систему уравнений вида:

. (4)

В развернутом виде зависимость (4) представляет собой характеристический полином n-го порядка, имеющий n корней ( ), где n -порядок матриц , или число степеней свободы. Корнями полинома (собственными частотами системы) являются действительные положительные числа, так как матрицы масс и жесткости - это положительно определенные матрицы. Каждому значению частоты соответствует один собственный вектор , представляющий собой собственную форму колебаний.

Системы с распределенной массой обладают бесконечным числом степеней свободы, бесконечно и число форм и частот собственных их колебаний.

Схематизация реальной схемы к системе с конечным числом степеней свободы достигается применением метода Релея-Ритца или метода прямой дискретизации. В последнем случае расчетная схема разбивается на однотипные элементы, числом которых достигается приближение к исходной системе. Вопрос точности обсуждается автором далее при проведении тестовых задач.

Исходя из критерия наибольшего вклада в образование всей кинетической энергии системы, в качестве конечного элемента принимался балочный элемент, работающий на изгиб (рис. 1).

Данный элемент имеет по три степени свободы в каждом узле, то есть шесть степеней свободы, что соответствует такому же количеству координатных функций, учитывающих в задании формы колебаний метода Релея-Ритца и имеющий матрицы жесткости и масс размерностью 6´6. Такой балочный элемент использовался при изучении процессов соударения цистерн /2/.

Балочный элемент и его компоненты

Рис. 1

Матрица жесткости элемента имеет вид:

Матрица масс:

. (6)

По периметру матриц показаны степени свободы конечного элемента.

Рассмотрим матричные операции определения собственных частот и форм колебаний данного конечного элемента.

Собственные значения (частоты) и собственные вектора ( ) определяются решением задачи на собственные значения вида:

. (7)

В нашем случае - матрица распределенных масс, поэтому переход от выражения (4) к уравнению (7) производится обращением матрицы жесткости (матрица масс не диагональная), для чего выражение (4) умножим слева на матрицу и, выполнив преобразования, получим:

, (8)

где = = - квадратная симметричная матрица;

- единичная матрица n-порядка;

.

Решением системы уравнений (8) определяются собственные частоты и собственные вектора. Собственные частоты определяются из условия, что:

. (9)

Вычислив собственные частоты ( ) и подставив их значения в уравнение (8), определяются соответствующие им собственные вектора ( ).

При решении задач о продольных (степени свободы и ) и поперечных ( и ) колебаниях, матрицы - сингулярные т.е. . Для того, чтобы матрица стала не сингулярной, необходимо привести её к виду:

, (10)

где - положительное число.

Этот простой, но эффективный путь преодоления существенных трудностей предложен впервые Коксом /3/.

Уравнение (10) соответствует уравнению вида (4), при обозначении , т.е.:

. (11)

Для приведения уравнения (11) к виду (7) умножим (11) слева на матрицу , получим:

(12)

где = = - квадратная симметричная матрица;

.

Решение уравнения (11) аналогично решению (8): вычисляют собственные частоты и собственные векторы.

Рассмотренный способ преобразования уравнения колебаний (4) к виду (7) не является единственным. В общем случае, когда возможно отсутствие симметрии в формулировке задачи, и применительно к вычислительной технике (для уменьшения объема используемой памяти) применяется способ декомпозиции матрицы жесткости или матрицы масс на две треугольные матрицы:

, (13)

где и - нижняя и верхняя треугольная матрицы.

Для получения этих матриц применяются различные методы: прямой метод, метод Гаусса, Холецкого и т. п. /4, 5…7/.

Для получения уравнения вида (8) произведём обращение матрицы вида (11), т.е.

.

Полученное выражение подставим в уравнение (8) и, умножив слева на , получим:

.

Так как , получим:

. (14)

Для получения стандартного вида (7) выражение (14) умножим справа на , получим:

.

Или , (15)

где ,

.

Решением (15) определяются из и собственные вектора как .

При декомпозиции матрицы масс , сделав преобразования, аналогичные рассмотренному, получим стандартное выражение задачи на собственные значения вида (15).

, (16)

где ,

.

Решением уравнения (3.16) определяются из и собственные вектора как .

Полученные зависимости полностью описывают все матричные операции собственных колебаний /8/.

Таким образом, в данном разделе автором приведены матричные операции, выполняемые при решении задач исследования колебаний вагонов. Рассмотрена матрица для балочного конечного элемента с шестью степенями свободы /9/.

Для проверки достоверности решения задач на собственные колебания в следующем разделе было проведено решение задачи о собственных колебаниях аналитическим методом.

Аналитическое решение задачи о собственных колебаниях балки

Когда тело рассматривается как упругая среда, подразумевается, что оно состоит из бесконечного числа частиц. Для того, чтобы указать положение каждой точки тела, требуется ввести бесконечное число координат перемещений, поэтому говорят, что система обладает бесконечным числом степеней свободы. Эти координаты рассматриваются как непрерывные функции, первая и вторая производные, по времени которых представляют соответственно скорость и ускорение характерной точки. Благодаря распределению массы упругое тело имеет бесконечное число собственных форм колебаний, поэтому его динамические перемещения можно рассматривать как сумму перемещений по каждой из нормальных форм колебаний.

Рассматривая колебания упругих тел, будем предполагать, что материал тел однороден, изотропен и подчиняется закону Гука. Кроме того, перемещения малы, чтобы рассматривать поведение при динамических возмущениях как линейно упругое.

При исследовании продольных колебаний предполагаем, что поперечные сечения балки остаются плоскими и что каждая точка поперечного сечения совершает только осевые перемещения. Продольные растяжения и сжатия, имеющие место при таких колебаниях стержня, сопровождаются возникновением той или иной величины поперечных деформаций. Однако рассматриваются только те случаи, для которых величина продольных волн колебаний велика по сравнению с размерами поперечных сечений стержня. В этих случаях, не совершая существенной ошибки, можно пренебречь влиянием поперечных перемещений на характер продольных движений.

Рассмотрим свободную от нагрузок призматическую балку длиной и площадью поперечного сечения F (рис 2,а). Возьмем бесконечно малый элемент длиной dx, расположенный на расстоянии x от левого конца. Обозначим через u продольное перемещение точки поперечного сечения с координатой x.

Рассмотрим силы, действующие на бесконечно малый элемент балки при продольных колебаниях (рис. 2,б). Слева на элемент действует продольная сила S, справа - продольная сила плюс приращение этой силы по длине элемента, учтем силу инерции и запишем уравнение равновесия: