Исследование собственных частот колебаний балок и их форм на основе метода конечных элементов (1051218), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

, (17)

где - плотность материала.

Продольные колебания балки

Рис. 2

Согласно закона Гука, продольную силу S можно выразить как

, (18)

где - продольное напряжение;

Е – модуль Юнга;

- осевая деформация.

Тогда

. (19)

Подставляем выражение 19 в 17:

После приведения подобных имеем:

.

В левой части возьмем производную и разделим обе части на dx. После некоторых преобразований получим

, (20)

где - скорость распространения звука в материале.

Уравнение (20) является одномерным волновым, подчеркивая то обстоятельство, что при продольных колебаниях контур перемещений распространяется в осевом направлении со скоростью а, т.е. со скоростью распространения звука в материале. Волновое решение этой задачи имеет вид:

и представляет некоторую произвольную функцию от х, перемещающуюся со скоростью а. Можно показать, что это уравнение удовлетворяет уравнению (20), для чего найдем соответствующие производные этой функции:

Подставив эти выражения в уравнение (19):

,

получаем тождество, следовательно, это уравнение удовлетворяется. Более общая форма волнового решения имеет вид:

, (21)

где первое слагаемое представляет собой функцию f₁(x), перемещающуюся в положительном направлении оси х, а второе слагаемое состоит из функции f₂(x), перемещающейся в отрицательном направлении оси х.

При решении задач о продольных колебаниях балки вместо общего решения (21) принимается решение в форме:

, (22)

где А и В – произвольные постоянные;

р - круговая частота.

В зависимости (22) содержится время t, для того, чтобы перейти к координате х, проделаем следующие операции: разрешим уравнение (20) относительно функции Х, описывающей форму собственных колебаний, для чего осуществим подстановку уравнения (22) в уравнение (20). Для этого найдем соответствующие производные:

Выполним подстановку в (20):

.

Решением данного уравнения относительно функции Х будет:

.

Для рассматриваемого случая (рис. 2,а) стержень имеет незакрепленные концы, на которых продольная сила, пропорциональная , равна нулю на каждом конце. Таким образом, концевые условия будут иметь вид:

Для того, чтобы удовлетворить первому условию, возьмем производную

.

Так как при х=0 в ноль обращается первое слагаемое, а во втором слагаемом cos0=1, то следует принять, что D=0.

В таком случае

Для удовлетворения второго условия возьмем производную при . Если считать, что , тогда

получим ,

т.е. существует нетривиальное решение только при

. (23)

Это соотношение представляет частотное уравнение для рассматриваемого случая, откуда можно найти частоты собственных форм продольных колебаний стержня с незакрепленными концами. Уравнение будет удовлетворяться, если положить

, (24)

где i-целое число. Принимая i=0,1,2,3,..., можно получить частоты различных форм продольных колебаний. Значение i=0 соответствует частоте, равной нулю, что означает перемещение стержня как абсолютно жесткого тела в направлении оси х. Частоту основной формы колебаний можно найти, положив в равенстве (24) i=1, что дает

. (25)

Соответствующий период колебаний

.

Форма колебаний будет иметь вид:

. (26)

Найдем форму колебаний для второй частоты:

(27)

На рис. 3.3 показаны формы колебаний при i=1,2.

Формы продольных колебаний стрежня

Рис 3

При действии продольных сил продольные элементы будут иметь продольно изгибные колебания. А поперечные балки будут при этом подвергаться изгибу в двух плоскостях и кручению. Поэтому рассмотрим поперечные колебания стержня в плоскости xy. Возьмем стержень длиной , выделим бесконечно малый элемент длиной dx на расстоянии х от левого конца стержня и обозначим через у поперечное перемещение малого элемента (рис. 4,а). Рассмотрим силы, действующие на бесконечно малый элемент при поперечных колебаниях (рис. 4,б).

Поперечные колебания стержня

Рис. 4

Слева на элемент действуют - поперечная сила V и изгибающий момент М, а с правой стороны – сила и момент , где вторые слагаемые являются приращениями поперечной силы и изгибающего момента по длине элемента dx. Составим уравнение равновесия сил, действующих в направлении оси у, при этом учтем силу инерции, и получим:

(28)

и уравнение равновесия моментов:

,

отсюда

. (29)

Из теории изгиба стержней момент равняется:

. (30)

Подставляя (30) в (29) и далее в (28), получаем:

. (31)

Данное уравнение является уравнением поперечных свободных колебаний стержня. Так как жесткость стержня EI не зависит от х, то уравнение (31) примет следующий вид:

;

проведем преобразования и получим

, (32)

где - скорость распространения поперечных волн в продольном направлении.

Аналогично продольным колебаниям примем форму колебаний в виде:

.

Подставим данное уравнение в (32), для этого найдем соответствующие производные:

Выполним подстановку в (32):

. (33)

Так как дифференциальное уравнение (33) четвертого порядка, то для его решения нужно провести следующее преобразования:

и . (34)

Тогда уравнение (33) примет вид:

.

Из данного уравнения видно, что величина n может принимать следующие значения: где . Тогда его общее решение примет следующий вид:

.

Полученное выражение можно записать в следующей эквивалентной форме:

.

Для удобства решения данного уравнения возьмем вариант записи общего решения в виде, предложенном академиком Крыловым А.М. /10/:

, (35)

где - функции Крылова.

Для функций Крылова справедливы следующие правила дифференцирования:

Постоянные С_i, входящие в выражение (35), являются произвольными и определяются в каждом конкретном случае в соответствии с условиями закрепления на концах стержня:

- для шарнирно закрепленного конца прогиб и изгибающий момент равны нулю, что означает ;

- для защемленного конца равны нулю прогиб и угол наклона, что означает ;

- для свободного конца обращаются в нуль изгибающий момент и поперечная сила; в результате получаем

Так как у стержня два конца, то, записывая концевые условия для них, можно всегда найти постоянные величины , а найдя их, определить частоты и формы колебаний.

В данном разделе показано точное решение свободных колебаний балки. В следующем разделе для оценки точности решения задач на собственные колебания методом конечных элементов был решен тестовый пример.

Решение тестовой задачи о собственных колебаниях балки

Для доказательства правильности выбранного численного метода решения задачи на собственные колебания балки автором было произведено решение тестовой задачи. В качестве образца была взята балка длиной 1 метр, высота и ширина поперечного сечения по 0.02 метра, материал с модулем Юнга 2.1·10¹¹ Па, плотностью 7850 кг/м³. Решение производилось тремя способами: аналитически по зависимостям метода конечных элементов для одного элемента (рис. 1) и по зависимостям МКЭ с помощью программного комплекса ANSYS. В качестве выходной информации сравнивались частоты собственных колебаний и их форма.

Аналитическое решение. Для определения собственных частот продольных колебаний была взята незакрепленная балка (рис. 3,а). Линейная частота определялась из зависимости (25), для чего была сделана следующая операция: делилось выражение (25) на 2 и получили линейную частоту:

. (36)

Найдем две первых частоты

,

.

Форма колебаний описана уравнениями (26) и (27):

.

.

Найдем значения Х на концах стержня:

при х=0 ,

при х= .

Формы колебаний показаны на рис 3.

При определении собственных частот изгибных колебаний была взята свободно опирающаяся на краях балка (рис. 5).

Балка, свободно опирающаяся на краях

Рис 5

Концевые условия для данного случая будут иметь следующий вид:

при х=0 и х=

Решим при х=0:

Так как и , то, чтобы Х=0, принимаем .

Решим при х= , учитывая что :

Проведем преобразования и получим

(37)

Чтобы не были равны нулю, необходимо, чтобы был равен нулю определитель системы (37), т.е.:

Так как , то решение примет следующий вид:

, (38)

где i-целое число.

Это соотношение представляет частотное уравнение для рассматриваемого случая, откуда можно найти частоты собственных изгибных колебаний стержня. Принимая i=0,1,2,3,..., можно получить частоты различных форм изгибных колебаний. Учитывая выражение (34), получим:

.

Для того, чтобы получить линейную частоту, поделим данное выражение на и получим:

. (39)

Найдем первые две частоты колебаний:

,

.

Для определения формы колебаний произведем следующие вычисления. Из первого уравнения системы (37) получим:

; т.к. , то

Характеристики

Список файлов учебной работы