Исследование собственных частот колебаний балок и их форм на основе метода конечных элементов (1051218), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Напишем уравнение колебаний (35), подставив все найденные постоянные:

Примем , из (3.44) , тогда:

,

т.е. получается, что i-я форма собственных колебаний представляет собой синусоиду с i полуволнами; на рис. 6 показаны первые две формы колебаний.

Формы колебаний опертого стержня

Рис. 6

Численное решение проводилось раздельно для продольных, изгибных и поперечных колебаний балочного элемента, имеющего матрицы жесткости и масс размерностью 6´6 и описанные формулами (5) и (6) (рис. 7,а).

Продольные колебания. При решении задачи о продольных колебаниях конечного элемента (степени свободы и ) выражение (4) примет вид:

. (40)

Балочный конечный элемент его частоты и формы колебаний

Рис. 7

В данном случае . Для того, чтобы матрица стала не сингулярной, прибавим и вычтем произведение , где . При первом значении детерминант уже не равен нулю. После выполнения данной процедуры выражение (40) примет вид:

, (41)

или запись в сокращенном виде:

.

Для приведения выражения (41) к виду (7) вычисляется обратная матрица (промежуточные преобразования опущены):

. (42)

Далее умножением слева на матрицу (42) выражение (41) приводится к виду (7), то есть:

, (3.43)

Из условия, что определитель системы равен нулю, и учитывая, что , определяются частоты собственных колебаний:

и .

Отсюда линейная частота будет равна:

Для каждой частоты решением (43) определяются формы колебаний: для и для .

Так как и - действительные значения, то существует множество решений вида: и , где - произвольное число. При имеем ; .

В первом случае для вектор имеет физический смысл - перемещение стержня как жесткого тела в положительном направлении осей координат. Во втором случае для физический смысл вектора - это перемещения узлов конечного элемента (сжатие). На рисунке 7,б,в показаны формы колебаний.

Поперечные колебания. При решении задачи о поперечных колебаниях конечного элемента (степени свободы и ) выражение (4) примет вид:

.

Здесь также матрица сингулярная, поэтому, проделав операции, аналогичные рассмотренным ранее, и учитывая, что в данном случае (при ), получим: и .

Для собственных значений векторов имеет место множество решений, вытекающих из тождеств: для и для . А отсюда следует, что: и .

При имеем ; .

Здесь также при стержень перемещается как жесткое тело в положительном направлении осей координат. Физический смысл вектора - перемещения узлов стержня (рис. 7,г,д).

Изгибные колебания (степени свободы и ). В данном случае выражение (4) имеет вид:

. (44)

Здесь матрица не сингулярная. В таком случае обратная матрица имеет вид:

.

Умножим выражение (44) слева на матрицу , получим:

. (45)

где

Найдем из уравнения (45). Оно определяется только тогда, когда детерминант этой системы равен нулю:

.

Решая это уравнение, получаем:

.

Обозначим за и получим:

; (46)

соответственно в развернутой форме:

Найдем круговую частоту из (45):

Отсюда линейная частота будут равна,

,

.

Определим формы колебаний для полученных частот (т.е. вектор перемещений). Для этого в уравнение (45) подставим уравнение (46) при .

При

.

Так как и - действительные значения, то существует множество решений вида , где - произвольное число. При вектор перемещений имеет следующий вид .

При

,

.

Аналогично предыдущему решению вектор перемещений имеет следующий вид: , физический смысл которых – углы поворота. Собственные формы показаны на рисунке 7,е,ж.

Таким образом, в разделе показаны процедуры и определены частоты и вектора собственных колебаний балки как аналитическим, так и численным методами. Результаты исследований приведены в табл. 1.

Таблица 1

Частоты собственных колебаний балки

Как видно из полученных результатов, частота продольных и изгибных собственных колебаний не совпадает на 10% с аналитическим расчетом и расчетом по МКЭ (2586.09 Гц и 2851.58 Гц и 46.316 Гц и 51.3 Гц). При этом формы колебаний абсолютно идентичны. Причиной этого расхождения является то, что матрица масс элемента распределяет массу в узлы, а не равномерно по всему элементу, как при аналитическом решении. Чтобы добиться более точных результатов, необходимо разбивать балку на несколько конечных элементов, что сделает матрицу масс системы более распределенной по длине. На основании вышесказанного были проведены численные исследования (на ПК ANSYS) для определения оптимального количества элементов при разбиении балки.

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

1. При решении задач о собственных колебаниях балок на программном комплексе ANSYS следует каждую балку разбивать не менее чем на 10 элементов. Это условие обеспечивает достаточно высокую точность результатов (расхождение с точным решением менее 1%).

2. Как видно из полученных результатов (табл. 1), алгоритм решения собственных колебаний и их форм, реализованный в программном комплексе ANSYS, дает фактически точное решение и может быть использован для решения задач о собственных колебаниях балочных элементов.

Автором при решении практических задач о собственных колебаниях был получен большой опыт. На основании этого опыта и технического руководства ПК ANSYS /11…13/ далее показаны особенности образования расчетной схемы:

1. При расчете вагонных конструкций сама конструкция должна аппроксимироваться следующими балочными элементами. Если сечение тонкостенное (хребтовая балка, состоящая из двух зетов; шкворневая балка коробчатого сечения и т.д.), то должен применяться элемент BEAM24, если сечение прямоугольное, то элемент BEAM4, если сечение типа трубы, то элемент PIPE16. Нельзя применять элемент BEAM44 переменного сечения, т.к. при его задании геометрические размеры характеризуются максимальной толщиной и высотой, и на основании полученного прямоугольного сечения и его длины подсчитывается масса элемента. А так как матрица масс является составляющей уравнения собственных колебаний (4), то это приводит к значительно ошибке.

2. При составлении расчетной схемы конечно-элементная модель хребтовой балки, шкворневой и т.д. должна аппроксимироваться не менее чем 10-ю конечными элементами.

3. Условия закрепления модели должны отражать реальные связи объекта или соответствовать условиям закрепления проведения динамических расчетов (соударение в подпор, в свободно стоящий вагон т.п.).

4. Для обеспечения устойчивости при расчете вагонных конструкций желательно хотя бы в одном узле подавить все поворотные степени свободы. Это является одним из ограничений ANSYS, так как в случае их не подавления при проведении динамических расчетов возможно возникновение нарушения условий устойчивости конструкции.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вершинский С.В., Данилов В.Н., Хусидов В.Д. Динамика вагона. – М.: Транспорт, 1991. –360 с.

2. Смольянинов А.В. Моделирование ударного воздействия цистерн //Актуальные научные решения транспортных задач: Межвузовский сборник научных трудов /МИИТ. –М. - 1989. –Вып. 826. – С. 74-81.*

3. Cox H.L. Vibration of Missiles, Aircraft Eng., 33, 2-7, 48-55. - 1961.*

4. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов /Пер. с англ. Алексеева А.С. и др.; Под ред. Смирнова А.Ф. –М.: Стройиздат, 1982 – 448с.

5. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1988.- 552 с.

6. Рублев А.Н. Линейная алгебра. –М.: Высшая школа, 1968.- 387 с.

7. Дж. Х. Улкинсон Алгебраическая проблема собственных значений /Пер. с англ. В.В. Воеводина, В.Н. Фадеева – М.: Изд-во Наука. - 1970. –564с.

8. А.В. Смольянинов, В.М. Долматов, М.Г. Буткин. Матричные операции при исследовании колебаний вагонов методом конечных элементов// Перспективы и состояние автотормозов подвижного состава: Научно. - практ. сб./ УрГАПС. – Екатеринбург. - 1998.- Вып. 9(91). – С. 140-149

9. Смольянинов А.В., Долматов В.М., Буткин М.Г. Собственные частоты и вектора балочного конечного элемента// Перспективы и состояние автотормозов подвижного состава: Научн. - практ. сб./УрГАПС. – Екатеринбург. -1998. – Вып. 9(91) – С. 149-153.

10. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. – М.: Наука, 1978. –352 с.

11. 11ANSYS Element Reference Release 5.3. 000655. Seventh Edition. – Houston.: SAS IP, Inc. , 1996. – 958 pp.

12. ANSYS Theory Reference Release 5.3. 000656. Seventh Edition. – Houston.: SAS IP, Inc. , 1996. – 962 pp.

13. ANSYS Structural Analysis Guide Release 5.3. 000646. First Edition. – Houston.: SAS IP, Inc. , 1996. – 381 pp.

ЗАО “Уралоргтехника”, 622036, Нижний Тагил, ул. Октябрьской революции, 66

Тел (3435) 410014 факс (3435) 22270 visapr@mail.ru

Представительство CADFEM GmbH в СНГ, офис 1703, 77, Щелковское шоссе, Москва, 107497, Россия

Тел/Факс: (095) 913-23-00, 468-8175, 460-4722 E-mail: info@cadfem.ru http://www.cadfem.ru

Характеристики

Список файлов учебной работы