Шпаргалки по анализу биосигналов, страница 14

Тогда в первом случае для t>0 (дуга в левой полуплоскости), контур интегрирования охватывает все полюсы подынтегральной функции (лежащие левее прямой (₁-j, ₁+j)), и в соответствии с теорией вычетов, интеграл Error: Reference source not found определяется как сумма вычетов в
полюсах подынтегральной функции:

(3.101)

При проведении же дуги в правой полуплоскости, то есть при t<0, полюсы функции оказываются вне контура интегрирования и, в соответствии с теоремой Коши, интеграл по замкнутому контуру равен нулю.

Таким образом, в зависимости от способа замыкания контура интегрирования получим:

- при t>0 (контур по Рис. 3.45) определяется выражением Error: Reference source not found;

- при t<0 (контур по Рис. 3.46.):

(3.102)

Напомним важное свойство контурного интеграла: он не зависит от формы замкнутого контура, по которому проводится интегрирование, если только полюсы подынтегральной функции остаются внутри контура. На этом основании контур ABСA, образованный добавлением дуги ABC бесконечно большого радиуса к прямой (₁-j, ₁+j), можно произвольно деформировать при соблюдении условия, что все полюсы, расположенные левее прямой (₁-j, ₁+j), остаются внутри контура. Итак, вычисление интеграла Error: Reference source not found сводится к определению вычетов в полюсах подынтегральной функции. На Рис.3.45. показано расположение полюсов для следующих функций времени: (3.103)

Аналогично предыдущим рассуждениям, можно рассмотреть преобразование для функции s_-(t), умножая её на при ₂<0 так, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции в пределах -<t<0:

(3.104)

(3.105)

Интеграл равен сумме вычетов, расположенных в правой полуплоскости p. Эту сумму следует взять со знаком "минус" так как контур обходится по часовой стрелке. Выражения Error: Reference source not found и Error: Reference source not found объединяются
следующим образом: (3.106)

(3.107)

Соотношение Error: Reference source not found называется двусторонним преобразованием Лапласа. Одностороннее преобразование Лапласа получило особенно широкое распространение, когда начало отсчета времени совмещают с началом воздействия. Двустороннее преобразование Лапласа находит все большее применение при анализе процессов и функций времени, двусторонних по своей сути (например, корреляционных функций, которые мы рассмотрим позднее).Большинство свойств преобразования
Лапласа совпадает с аналогичными свойствами преобразования Фурье. Спектральные плотности и изображения сигналов по Лапласу сведены в таблицу.

Е сли сигналу s(t) соответствует изображение по Лапласу L_s(p), то имеются следующие соот­ветствия:

В заключение рассмотрим правила перехода от изображения Лапласа к преобразованию Фурье (имеется в виду одностороннее преобразование Лапласа). Если на оси j функция L_s(p) не имеет полюсов, то для такого перехода достаточно в Error: Reference source not found положить ₁=0, то есть прейти от переменной p к переменной j.

В противном случае необходимо определить вклад этих полюсов в спектральную плотность сигнала.

Дело в том, что интегрирование функции по полуокружности бесконечно малого радиуса с центром в полюсе p₁=j₁ приводит к гармоническому колебанию с частотой ₁ и амплитудой 1/2.

С пектральная плотность такого колебания, равная (-₁), должна быть прибавлена к сплошному спектру, обусловленному интегрированием по оси j.

Например, для единичного скачка s(t)=1, t0, L_S(p) с одним полюсом в точке p₁=0
можно получить:

Для функции L_S(p) c двумя комлексно-сопряженными полюсами p_1,2=j₀ s(t)=cos(₀t), t0 спектральная плотность
будет:

50. ТЕОРЕМА ОТСЧЁТОВ (ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА), ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВЫВОД ОСНОВНЫХ СООТНОШЕНИЙ.

При измерениях физических величин часто фиксируют результаты измерения через одинаковые промежутки времени T. Если считать, что измерительный прибор отображает мгновенные значения исследуемого процесса, то оказывается, что вместо реального непрерывного сигнала мы получаем ряд его мгновенных значений равноотстоящих по времени, т.е. дискретный сигнал.

В технике и теории сигналов широко используется теорема Котельникова (называемая также теоремой отсчетов или теоремой Найквиста):

- если наивысшая частота в спектре сигнала s(t) меньше f_m, то сигнал s(t) полностью определяется последовательностью своих отсчетов в моменты времени, отстоящие друг от друга не более чем на 1/(2f_m) секунд.

В соответствии с этим, сигнал s(t), ограниченный по спектру наивысшей частотой _m=2f_m, можно представить рядом:

(3.109)

где T=1/(2f_m) - интервал между отсчетами по оси времени, а s(nT) - выборки функции s(t) в дискретные моменты времени t=nT. Представление заданной функции s(t) рядом Error: Reference source not found иллюстрируется на Error: Reference source not found.

Рис. 3.47. Восстановление сигналов рядом Котельникова

В общем случае, для дискретизации сигналов без потерь информации, теорема отсчетов выглядит следующим образом:

- сигнал должен быть дискретизирован с частотой, большей чем его удвоенная ширина полосы частот.

Например, АМ-сигнал с полосой частот 200 Гц при несущей частоте 100 кГц, что близко к реальности биоимпедансных измерений, формально может быть дискретизирован с низкой частотой более 400 Гц, а не на высокой частоте более 200 кГц, которая требуется неинформативной несущей частотой.

Удачного термина для этого приема нет, а в англ. литературе используется undersampling. При этом спектр сигнала из зоны C или из других нечетных зон отображается в основной интервал A (Error: Reference source not found).

Однако прямое применение теоремы может привести к неожиданным эффектам, что связано с различными формами алайзинга – наложения дублирующих спектров дискретного сигнала в основную полосу частот. Для четных зон, например, зоны B, перенос спектра также происходит в зону A, но в результате спектр оказывается «перевернутым». Это может быть легко скомпенсировано простым изменением индексов при дальней цифровой обработке спектров.

Рис. 3.48 Перенос спектров

Во всяком случае, следует соблюдать правило, согласно которому исходный спектр сигнала должен занимать полосу частот в пределах одной зоны.

Ф ункция, уже встречавшаяся ранее, вида:

(3.110)

обладает следующими двумя свойствами:

1) в точке t=nT _n(nT)=1, а в точках t=kT, где k - любое целое число, отличное от n, _n(nT)=0;

2) спектральная плотность функции ₀(t) равномерна в полосе частот ||<_m и равна T=1/2f_m=/_m. Так как функция _n(t) отличается от ₀(t) только сдвигом по оси времени на nT, то спектральная плотность функции _n(t):

(3.111)

То, что ряд Error: Reference source not found точно определяет заданный сигнал s(t) в точках отсчета, не требует дополнительных доказательств, поскольку коэффициентами ряда являются сами выборки из функции, то есть величины s(nT).

Можно доказать, что ряд Error: Reference source not found определяет функцию s(t) в любой момент t, а не только в точках отсчета t=nT.

Воспользуемся для этого общими правилами разложения функции по ортогональной системе. В данном случае разложение производится по функциям _n вида Error: Reference source not found, для которых интервал ортогональности равен бесконечности, а норма, в соответствии с Error: Reference source not found:

Не предрешая заранее значения коэффициентов ряда Error: Reference source not found, применим для их определения общую формулу Error: Reference source not found, справедливую для обобщенного ряда Фурье:

(3.112)

При этом исходим из условия, что s(t) -квадратично-интегрируемая функция (то есть энергия сигнала конечна). Для вычисления интеграла в выражении Error: Reference source not found воспользуемся формулой о спектре произведения сигналов Error: Reference source not found:

(3.112')

Пределы интегрирования здесь приведены в соответствии с граничной частотой _m спектра сигнала, а также спектра функции _n(t).

Интеграл в правой части с коэффициентом 1/2 есть ни что иное, как значение s(t) в моменты t=nT. Таким образом,

Подставляя этот результат в Error: Reference source not found окончательно получаем:

Следовательно, коэффициентами ряда Error: Reference source not found являются выборки функции s(t) в точках t=nT.

Поскольку ограничение спектра конечной наивысшей частотой обеспечивает непрерывность функции s(t), ряд Error: Reference source not found сходится к функции s(t) при любом значении t.

Соотношение между спектром S() сигнала s(t) и спектром Ф_n() базисной функции _n(t) при T=/_m иллюстрируется Рис. 3.49. а и б.