045-1 Продолжение Главы 3 Дельта функция (Лекционный курс)

3.11. Бесконечно короткий импульс с единичной площадью
(дельта - функция)

При стремлении длительностей прямоугольного, гауссовского и импульса вида sinc к нулю, потребуем сохранения единичной площади. Для этого амплитуды импульсов следует выбрать обратно пропорциональными соответствующим образом определенной длительности, при этом амплитуды всех импульсов обратятся в бесконеч­ность.

-амплитуду прямоугольного импульса следует приравнять 1/x₁, где x₁ -длительность импульса;

Рис. 3.1. Прямоугольный импульс

-для гауссовского импульса амплитуда должна быть приравнена , так как

Рис. 3.2. Гауссовский импульс

Рис. 3.3. Импульс вида sinc(x)

-для , площадь которого равна единице, амплитуда равна 2f_m (при x=0). Длительность импульса (главного лепестка) обратно пропорциональна параметру f_m.

При стремлении параметров x₁ и a к нулю, а f_m - к бесконечности, все три изображенные на рисунке функции можно определить следующим образом:

(3.87)

при одновременном условии единичной площади:

(3.88)

Функция (х), обладающая указанными свойствами, называется дельта-функ­ци­ей, единичным импульсом, импульсной функцией или функцией Дирака.

Применительно к исходным функциям

Возможны и другие многочисленные определения (х).

При сдвиге импульса по оси х на величину х₀, определения Error: Reference source not found и Error: Reference source not found должны быть записаны в более общей форме:

(3.89)

(3.90)

(3.91)

(3.92)

Из определений Error: Reference source not found и Error: Reference source not found вытекает основное соотношение:

(3.93)

В математике это соотношение называют фильтрующим свойством дельта-функ­ции, хотя на языке техники больше подходит термин стробирующее свойство.

Поясним полученный результат. Так как по определению функция (х-х₀) равна нулю на всей оси х, кроме точки х=х₀, где она бесконечно велика, то интервал интегрирования можно сделать сколь угодно малым - -окрестностью точки х₀. В этой окрестности точки х₀ функция f(x) принимает постоянное значение f(x₀),
которое можно вынести за знак интеграла.

Таким образом умножение любой подынтегральной функции f(x) на (х-х₀) позволяет
приравнять интеграл произведения значению f(x) в точке х=х₀.

В теории сигналов приходиться иметь дело с дельта-функциями от аргументов t или , в зависимости от того, в какой области рассматривается функция - временной или частотной.

Рассмотрим сначала свойства (t). В этом случае основной интерес представляет спектральная характеристика. Для дельта-функции значение спектральной плотности постоянно по величине для всех частот -<< и равно S(0)=1. (Спектр постоянный, непрерывный и неограниченный). Из этого также следует, что ФЧХ спектра функции (t) равна нулю для всех частот.

Аналогично, функция (t-t₀), определяющая -импульс в момент t₀, имеет спектральную плотность .

Модуль этой функции по-прежнему равен единице, а аргумент, т. е. ФЧХ () = -t₀, следовательно, фаза линейно связана с частотой .

Спектральная плотность -функции может быть найдена с помощью преобразования
Фурье:

Используя стробирующее свойство -функции, находим:

(3.94)

При t₀=0, S(=0)=1.

Необходимо понимать, что правая часть равенства S()=1 является размерной единицей: это площадь импульса, численно равная единице. Если под (t) подразумевается импульс напряжения, то размерность S() есть [Вольт x Секунда].

Энергия -импульса бесконечно велика. При спектральном рассмотрении это вытекает из равенства Парсеваля (3.68), правая часть которого при S()=1 обращается в бесконечность. При временном рассмотрении это следует из того, что энергия импульса пропорциональна квадрату его ампли­туды (т.е. величине [¹/_и]²) и первой степени длительности _u, поэтому с укороче­нием импульса растет как 1/_u и при _u0 энергия импульса бесконечно велика.

Рассмотрим теперь свойства (). Все, что ранее было сказано относительно (t), можно распространить на (), при замене t на  и  на t.

Используя свойство взаимной заменяемости и упрощения для симметричных функций, можно записать:

(3.95)

(в данном случае перемена знака не влияет на значение интеграла).

Соответственно:

(3.96)

Замечание: понятие единичного импульса особенно широко используется при исследовании действия коротких импульсов на линейные цепи. При этом не обязательно, чтобы амплитуда реального импульса была бесконечно велика, а длительность бесконечно мала. Достаточно, чтобы длительность импульса была мала по сравнению с постоянной времени исследуемой цепи.

3.12.Спектры некоторых неинтегрируемых функций

Условие абсолютной интегрируемости
существенно ограничивает класс сигналов, для которых существует спектр Фурье, выражаемый обычными функциями. Например, такие важные для теории цепей и сигналов функции, как гармоническое колебание, заданное на бесконечности или включаемое в некоторый момент времени, единичный скачок, и некоторые другие функции не отвечают условию абсолютной интегрируемости. Рассмотренные свойства дельта-функции позволяют устранить это препятствие.

Рассмотрим гармонический сигнал s(t)=A_ocos(_ot+_o), который не является абсолютно интегрируемым. Запишем выражение для спектральной плотности:

На основании формулы Error: Reference source not found получим:

(3.97)

Эта функция равна нулю для всех частот, кроме =₀ и =-₀, при которых S() обращается в бесконечность. Как и следовало ожидать, гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бесконечно большая спектральная плотность при дискретных частотах ₀ и -₀. В частности, приравнивая ₀ нулю, получаем спектральную плотность постоянного сигнала A₀:

S() = A_o2() (3.98)

Распространив Error: Reference source not found на все гармоники любого периодического сигнала можно ввести понятие спектральной плотности периодического сигнала в виде суммы дельта-функций:

Такой подход оказывается полезным при рассмотрении смеси импульсного и гармонического сигналов.

3.13.Текущий спектр

При выполнении преобразования Фурье, в соответствии с (3.50), необходимо проводить интегрирование в бесконеч­ных пределах по времени. Сделать это в общем случае невозможно, т.к. для такого интегрирования нужно располагать информацией о сигнале s(t), начиная с бесконечно давних времен и кончая бесконечно далеким будущим. В принципе, можно предположить, что нам известен сигнал s(t) с давних времен t=- до некоторого текущего момента времени T.

Тогда формула для спектра примет вид:

Однако на практике мы обычно имеем описание сигнала начиная только с некоторого момента времени, который можно принять за нулевой (t=0), и завершая текущим моментом (t=T). Тогда:

Спектр, определенный по этой формуле, называется текущим спектром. Этот спектр может определяться в реальном времени, нет необходимости ожидать завершения процесса, в результате которого формируется сигнал s(t).

В общем случае, текущий спектр - это функция двух аргументов: частоты  и времени T.

Обратное преобразование Фурье, примененное к текущему спектру, воспроизводит функцию s_T(t), равную сигналу s(t) на промежутке от t=0 до t=T и равную нулю за пределами этого промежутка:

Функция s_T(t) может быть представлена в виде произведения сигнала s(t) и прямоугольного импульса:

поэтому спектр S_T() представляет собой свертку спектра сигнала s(t) и спектра прямоугольного импульса:

Подставляя сюда выражение спект­раль­ной плотности прямоугольного импульса, и учитывая его временной сдвиг, получим:

Этот результат показывает, почему реальные оценки спектров обладают пониженной разрешающей способностью, часто не позволяя различать близкие по частоте пики спектральной плотности сигнала. Также видна связь между длительностью наблюдения сигнала и разрешением спектрального анализа.

3.14.Требования к длительности сигнала

Рассмотрим, какова должна быть длительность сигнала для того, чтобы его текущий спектр S_T() мало отличался от спектра S(), соответствующего бесконеч­ному времени
наблюдения.

Сначала определим, что значит "мало отличался". При реализации свертки двух спектров (по последней формуле) нужно перемножить S(') и S_(-') а затем интегрировать это произведение.

Очевидно, что спектры S_T() и S() совпадали бы друг с другом, если бы спектр S_() имел бы вид -импульса в частотной области. Поскольку этого нет, то при переходе от S() к S_T() (т.е. в процессе свертки) происходит определенное сглаживание спектра S().

Пусть, предположим, для нас существенны пульсации кривой спектра S(), наименьший период которых равен .