Методическое пособие по ОУММС (Воронов Е.М., Карпунин А.А., Репкин А.Л. Методическое пособие по ОУММС), страница 3

где – программное управление на при фиксированном значении .

7) Параметризованный ПКЗУ, который получается на основе комбинации 4 и 6, например, в виде (1.16), где

(1.17)

с разбиением на отрезке при фиксированном .

При параметризации управления и дискретизации временного интервала возникает вопрос о степени приближения исходной задачи, полученной задачей с аппроксимацией управляющих сил. Допустимость приближений опирается на ряд фундаментальных факторов и некоторых условий.

Во-первых, в точной задаче рассматривается, как правило, класс управлений с конечным числом точек разрыва первого рода, к которым принадлежат и аппроксимированные управления.

Во-вторых, существенным является свойство сжатия функциональной связи показателей с управляющими силами, когда ограниченным структурным изменениям управляющих сил соответствует малое изменение значений показателей. Данное свойство грубости часто имеет место в задачах управления.

В-третьих, очевидно, что при сведении исходной задачи к конечномерной задаче нелинейного программирования результат уточняется при определенном увеличении размерности вектора параметров. В этом случае контролируемые приближения для некоторых классов систем могут быть обеспечены, например, на основе спектральных методов развитых в работах В.В. Солодовникова, В.В. Семенова, А.Н. Дмитриева, Н.Д. Егупова и других [см., например, работу А.И. Трофимова, Н.Д. Егупова, А.Н. Дмитриева. Методы теории автоматического управления. – М.: Энергоатомиздат, 1997. – 654 с.]. Следует также отметить, что параметризация управляющих сил позволяет на основе параметрических сетей преодолевать возрастающие трудности глобальной оптимизации в многокритериальных задачах, приближенно оценивать существование и единственность решения и назначать начальное приближение для локального поиска точного решения. В этом случае методы и алгоритмы приобретают, по меньшей мере, двухэтапную структуру. На первом этапе на основе сетевых подходов оценивается множество решений и выбирается начальное приближение в «выгодной» локальной области. На втором этапе на основе начального приближения решается точная задача определения параметризованного оптимального управления или управления в форме 2, 3.

1.3.2. Векторный целевой показатель

Целевые свойства ММС характеризуются вектором

, (1.18)

который представляет собой сложную функциональную связь с указанными величинами. Типичным видом i-й функции выигрыша (потерь) является функционал на

. (1.19)

Кроме непрерывности (1.19) по (x, u) и дифференцируемости по управлению, желаемыми свойствами являются вогнутость-квазивогнутость (выпуклость-квазивыпуклость) функционала (1.19) на множестве управлений. При общих свойствах целевого вектора проблема глобальной оптимизации может быть преодолена, как отмечалось в п. 1.3.1, на основе двухэтапной структуры методов оптимизации с сетевым глобальным анализом и приближенным решением на первом этапе и точным локальным решением на втором.

Несовпадение размерности J с числом объектов означает, что некоторые объекты имеют векторную цель. Размерность показателя будет совпадать с числом объектов в ММС, если показатель каждого объекта скаляризуется.

1.3.3. Коалиционная структура действий и интересов ММС

Пусть – коалиционная структура действий и интересов с размерностью множества индексов коалиций в каждой, где .

Тогда

, (1.20)

где r есть, например, размерность множества индексов вектора параметров (после параметризации управлений) или множества индексов управлений (без параметризации);

, (1.21)

где m – размерность множества индексов вектора показателей.

В свою очередь, каждой соответствует, например, при полной параметризации вектор параметров (или вектор без параметризации). Каждой соответствует целевой вектор .

Далее ограничиваемся .

Тогда разбиение

, (1.22)

где R – множество индексов, например, управлений, М – множество индексов вектора показателей.

Показатель каждой коалиции принимает, как правило, один из двух видов:

; (1.23а)

, , , (1.23б)

причем сумма индексов равна m.

Коалиционные управления без параметризации принимают вид

, , (1.24)

выражения (1.11а) преобразуются к виду

 (1.25)

Показатель в варианте (1.23б)

, (1.26)

где ; .

В рамках введенной модели конфликта обозначения в определении 1.1 имеют следующие соответствия:

• множество стратегий множество ;

• множество исходов-состояний множество траекторий на множестве ситуаций , или отображение Х, U на множество показателей ;

• множество возможных исходов-состояний множество возможных траекторий вектора на множестве ситуаций при фиксированном управлении , где , или множество значений на множестве U;

• предпочтения коалиции представлены максимизацией функции выигрыша (минимизацией потерь) на множестве

1.3.4. Принципы конфликтного взаимодействия. Понятия стабильности и эффективности

В общем случае имеют место пять принципов конфликтного взаимодействия:

• антагонизм ;

• бескоалиционное взаимодействие;

• коалиционное взаимодействие;

• кооперативное взаимодействие;

• иерархическое взаимодействие (с правом первого хода).

Так как ММС, по определению, является системой равнозначных объектов (горизонтальный набор на рис. 1.1), то задачи с правом первого хода в данной работе не рассматриваются.

Уже данное перечисление показывает, что свойства конфликтных взаимодействий робастны, так как позволяют делать здравые оценки эффективности в условиях неопределенности среды, неопределенности «активного партнера» и неопределенности цели с учетом характера неопределенности и конфликтности.

Как известно, в данных принципах конфликтного взаимодействия заложены три фундаментальных понятия теории игр: стабильность, эффективность и стабильно-эффективный компромисс.

Стабильность ММС – это обеспечение устойчивых (уравновешенных по целям) процессов функционирования и проектирования многообъектных структур в условиях конфликтности (несогласованности) и/или неопределенности.

Эффективность ММС – это достижение максимального целевого качества объектов, коалиций и ММС в целом на основе устойчивого и рационального коалицианирования.

Рис. 1.2. Частная классификация дифференциальных игр
(с выделением учитываемых признаков)

Cтабильно-эффективный компромисс в ММС (СТЭК ММС) – это объединение стабильности и эффективности в рамках множества решений – от полного совпадения данных свойств в одной точке пространства J (или U) до обеспечения возможной степени сближения в условиях информационно-тактических расширений соглашений. СТЭК ММС дополняют СТЭК в иерархических системах (СТЭК ИС), где реализуется право первого хода на основе субъективной информации, что составляет тему отдельного исследования. Частная классификация дифференциальных игр с выделением учитываемых в работе свойств, которая обобщает модель конфликтной ситуации, дана на рис. 1.2, где АДИ, БДИ и т.д. – вид дифференциальной игры (ДИ).

1.4. Анализ основных принципов оптимальности, форм компромиссов и методов решения на основе понятий стабильности и эффективности

В соответствии с понятиями стабильности и эффективности многие из существующих принципов оптимальности связаны с тремя базовыми: оптимальность на основе гарантированных подходов, коалиционного равновесия и кооперативных соглашений.

Принцип оптимальности на основе гарантированных решений базируется на исследовании максиминных и минимаксных задач и равновесных (седловых) решений.

Принцип оптимальности на основе коалиционного равновесия связан с игровыми подходами в виде скалярного Нэш-равновесия, векторных равновесий (в частности, «сильного» равновесия, векторного Нэш-равновесия, -равновесия и др.), коалиционного равновесия на основе V-решений («угроз и контругроз») и др.

Принцип оптимальности на основе кооперативных соглашений содержит два основных взаимосвязанных направления: векторная оптимизация для определения множества Парето-решений (без структурных свойств ММС) (скаляризация, лексикографическая оптимизация, пороговая оптимизация и принцип сложности, оптимизация на основе конусов доминирования, среднеквадратическая оптимизация и др.) и исследование кооперативной игры в форме характеристической функции (с элементами учета структуры ММС: коллективной и индивидуальной рациональности и т.д.) (С-ядро, Н-ядро, решение Нэймана–Моргенштерна (Н-М-решение), решение на основе вектора дележа Шепли, с учетом и без учета платежей и др.). Причем решаются задачи получения множества Парето и выбора кооперативного (эффективного) компромисса (принцип сложности, -оптимизация, дележ по Шепли, среднеквадратическая стратегия, арбитражная схема и др.).