LEC-18 (Материалы к лекциям), страница 6

Если результаты химического анализа не имеют систематических ошибок, то Ey_i = 0. Если же такие ошибки имеются, то в первом приближении их можно представить в виде: Ey_i = a + bt_i (a называется постоянной ошибкой, а bt_i — методической ошибкой) или, что то же самое,

где

  Для отыскания оценок a и b достаточно оценить коэффициенты

Условные уравнения в данном случае имеют вид:

поэтому a_i1 = 1, a_i2 = t_i - t (согласно предположению о равноточности наблюдений, все p_i = 1). Так как

то система нормальных уравнений записывается особенно просто:

[a₁a₁] X₁ = [Ya₁]; [a₂a₂] X₂ = [Ya₂],

где

  Дисперсии компонент решения этой системы суть

где k — неизвестная дисперсия на единицу веса (в данном случае k — дисперсия любой из величин Y_i). Так как в этом примере компоненты решения принимают значения X₁ = -0,35 и X₂ = -0,00524, то

  Dx₁ » s₁² = 0,00427,

  Dx₂ » s₂² = 0,0000272,

  s₁ = 0,065, s₂ = 0,00522.

  Если случайные ошибки наблюдений подчиняются нормальному распределению, то отношения |X_j – x_jl/s_j (j = 1, 2) распределены по закону Стьюдента. В частности, если результаты наблюдений лишены систематических ошибок, то x₁ = x₂ = 0 и, значит, закону Стьюдента должны подчиняться отношения |X₁|/s₁ и |X₂|/s₂. С помощью таблиц распределения Стьюдента с n – m = 8 степенями свободы можно убедиться, что если действительно x₁ = x₂ = 0, то с вероятностью 0,999 каждое из этих отношений не должно превосходить 5,04 и с вероятностью 0,95 не должно превосходить 2,31. В данном случае |X₁|/s₁ = 5,38 > 5,04, поэтому гипотезу отсутствия систематических ошибок целесообразно отвергнуть; в то же время следует признать, что гипотеза об отсутствии методической ошибки (x₂ = 0) не противоречит результатам наблюдений, так как |X₂|/s₂ = 1,004 < 2,31. Т. о., можно заключить, что для определения t по результату наблюдения Т целесообразно пользоваться приближённой формулой t = Т + 0,35.

  Во многих практически важных случаях (и в частности, при оценке сложных нелинейных связей) количество неизвестных параметров бывает весьма большим и поэтому реализация Н. к. м. оказывается эффективной лишь при использовании современной вычислительной техники.

Применение регрессионного анализа для обработки результатов наблюдений или вычислений позволяет получить оценку влияния переменных, рассматриваемых в качестве аргументов (независимых переменных) на переменную, которая считается зависимой от первых.

Одной из составляющих 1-ой части курсовой работы 8-го семестра является освоение методов регрессионного анализа в процессе разработки математического описания исследуемого процесса или явления. Курсовая работа предусматривает обработку экспериментальных данных и поиск наиболее удовлетворительной гипотезы взаимосвязи между функцией и аргументами.

В качестве таких гипотез рассматриваются линейная и нелинейная регрессионные модели, каждая из которых может быть парной (только две переменных (функция и аргумент) или множественной (одна функция и несколько аргументов).

Относительно закона изменения независимых переменных x не делается никаких ограничений

7.2.2 Линейная парная регрессия

Пусть, например, независимой {Y}. положим переменную {X}. Тогда го­во­рят, что переменная Y связана с {X} некоторой зависимостью, которую без ог­ра­ничения общности можно представить: Y = F(Х), где F - некоторый не­из­вест­ный оператор, связывающий множество Х со множеством Y. Для прос­то­ты можно считать преобразование взаимно однозначным, т.е. X = F(Y), хотя на практике это выполняется далеко не всегда.

Теперь математически задача сводится к построению явного вида опе­ра­то­ра F и затем его уточнению. Методов решения указанной задачи су­щес­тву­ет достаточно много. Рассмотрим методы линейного регрессионного анализа.

Одним из самых простых операторов F является линейный, определяющий линейную зависимость вида Y = АХ + В. Для начала положим В = 0 и определим связи между переменными Х и Y, вычислив параметр А.

метод выбранных точек

Проведем прямую как можно ближе к нанесенным точкам (рис. 1) и вы­бе­рем на этой прямой про­из­воль­ную точку М(Х, Y).

Рис. 1. Множество экспери­мен­таль­ных точек {X} и {Y}, нанесенных на плоскость.

М(X,Y) - выбранная точка для регрессии.

Тогда параметр А определится из отношения А=Y/X. Преимущество этого ме­тода перед всеми состоит в его наглядности. Но заметим, что значения А мо­гут колебаться довольно значительно, так как прямая строится про­из­воль­но и в выборе точек, через которые проводится прямая, нет однозначности.

метод средних

Этот метод дает лучшие результаты по сравнению с методом выбранных то­чек. Если предположим, что зависимость построена, тогда y_i = aх_i даст при­бли­женные значения y_i. Определим параметр a из условия минимума средней ошибки

.

Перепишем последнее выражение в виде

,

откуда получаем выражение для .

метод наименьших квадратов

Этот метод дает еще более точные результаты по сравнению с двумя рас­смот­ренными выше. В этом методе параметр а определяется из условия ми­ни­мальной суммы квадратов отклонений табличных значений у_i от полу­чен­ных у_i* : . Условие минимума F, как известно, да­ет равенство нулю ее первой про­из­вод­ной, т.е. . Продиф­ферен­ци­ро­вав F по а, получим , откуда находим .

Каждый из приведенных выше методов является более точным (по по­ряд­ку возрастания). Поэтому рекомендуется сначала воспользоваться методом вы­б­ранных точек, а затем - одним из двух оставшихся (для уточнения па­ра­мет­ра а).

Пусть теперь В 0.

Посмотрим, как изменятся методы. Общий вид за­ви­си­мости теперь Y_i = АХ_i + В.

Для уточнения параметров А и В воспользуемся тремя уже рас­смот­рен­ны­ми ранее методами.

метод выбранных точек. Выберем на построенном графике две про­из­воль­ные точки М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂). Из аналитической геометрии известно, что уравнение прямой будет

,

откуда получаем

.

Тогда выражения для параметров А и В можно определить явно как

.

метод средних. Согласно этому методу, А и В ищутся такими, чтобы ал­гебраическая сумма всех уклонений от вычисленных значений была бы равна нулю .

Для определения А и В разобьем все данные на две группы так, чтобы сум­ма алгебраических уклонений каждой группы от среднего была бы рав­на нулю. Иными словами среднее для одной группы точек было бы равным (или не очень сильно отличалось) среднему другой группы точек. Тогда для каж­дой группы запишем

где L - число элементов в I группе. Из последней системы найдем А и В :

.

Выполнив над последними выражениями элементарные алгебраические преобразования, получим окончательно выражения для коэффициентов А и В (стр. 6).

метод наименьших квадратов. Согласно этому методу, ищем минимум фун­кции . Используя условие экстремума функции F, найдем

От последней системы можно перейти к более простой, выполнив над ней эле­ментарные алгебраические преобразования:

Решая последнюю систему относительно А и В, получим

КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР

Для проверки и тестирования рассмотренных методов далее по данным экс­перимента (см. таблицу экспериментальных данных) строится линейная за­висимость для случаев 1) В=0; А  0; 2) А  0; В0. Затем уточняются най­ден­ные А и В.

Таблица экспериментальных данных

Результаты вычислений с использованием приведенных выше процедур даются ниже:

В=0.

МЕТОД СРЕДНИХ ПРИ В = 0: А= 0.78985.