LEC-18 (Материалы к лекциям)

32

Лекция 18.

7. Обработка результатов вычислительного эксперимента

Введение.

При создании технических систем могут использоваться теоретические и эмпирические методы познания. Каждое из этих направлений обладает относительной самостоятельностью, имеет свои достоинства и недостатки. В общем случае, теоретические методы в виде математических моделей позволяют описывать и объяснять взаимосвязи элементов изучаемой системы или объекта в относительно широких диапазонах изменения переменных величин. Однако при построении теоретических моделей неизбежно введение каких-либо ограничений, допущений, гипотез и т.п. Поэтому возникает задача оценки достоверности (адекватности) полученной модели реальному процессу или объекту. Для этого проводится экспериментальная проверка разработанных теоретических моделей. Практика является решающей основой научного познания. В ряде случаев именно результаты экспериментальных исследований дают толчок к теоретическому обобщению изучаемого явления. Но не надо забывать, что экспериментальное исследование справедливо только в пределах условий проведенного эксперимента. Иными словами, экспериментальное исследование – тоже модель и речь идёт, по сути, о сравнении результатов двух моделей, и поэтому не следует преувеличивать результаты экспериментальных исследований. Окончательную точку ставит натурный эксперимент, но это слишком дорогостоящее мероприятие, чтобы на нём основывать все разработки.

Таким образом, теоретические и экспериментальные модели дополняют друг друга и являются составными элементами процесса разработки. Мало того, исследование, проведенное численными методами на теоретической модели, есть, по сути, тоже эксперимент, только вычислительный. Такого рода эксперименты разработчик вынужден выполнять на всех этапах создания изделия и сложность вычислительных экспериментов возрастает с переходом на следующую стадию разработки. При этом, как и в случае чисто экспериментальных методов, приходится проводить множество однотипных вычислений, чтобы быть уверенным в правильности получаемых результатов.

По мере усложнения исследуемых систем и углубления их анализа значительно возрастает объем информации, выдаваемой компьютером в результате моделирования. Это обстоятельство лишает результаты моделирования наглядности, затрудняет, а в некоторых случаях практически исключает, восприятие и осмысливание их человеком. В связи с этим появляются специальные методы обработки результатов моделирования, имеющие целью представление их в более удобном для восприятия и осмысливания виде.

Графический метод обработки результатов обладает наглядностью, относительной простотой, однако его результаты содержат определенную субъективность и относительно низкую точность.

Аналитические методы лишены в какой-то степени указанных недостатков и позволяют получить результат для более широкого класса функций с большей точностью, чем графический метод.

Круг вопросов, решаемых при обработке результатов тех или иных экспериментов, не так уж велик. Это  вопросы подбора эмпирических формул и оценка их параметров, вопросы оценки истинных значений измеряемых величин и точности измерений, вопросы исследования корреляционных зависимостей и некоторые другие.

В настоящее время процедура обработки экспериментальных и вычислительных данных достаточно хорошо формализована и инженеру необходимо только ее правильно использовать. На основе обработки этих экспериментальных и вычислительных данных выводят некоторое заключение.

Что­бы обос­но­ван­но делать это заключение, а также уметь из экс­пе­ри­мен­таль­ных и вычислительных данных из­влечь необходимую информацию об объекте исследования, инженер должен владеть методами статистической, регрессионной и кор­ре­ля­ци­он­­ной обработки экспериментальных данных.

В дальнейшем рассматриваются преимущественно вопросы обработки результатов численного исследования, хотя их можно распространить и на чисто экспериментальные методы.

Цели и методы математической обработки результатов вычислительного эксперимента

Целью любого эксперимента является определение качественной и количественной связи между исследуемыми параметрами, либо оценка численного значения какого-либо параметра.

В некоторых случаях вид зависимости между переменными величинами известен по результатам теоретических исследований. Как правило, формулы, выражающие эти зависимости, содержат некоторые постоянные, значения которых и необходимо определить из опыта.

Другим типом задачи является определение неизвестной функциональной связи между переменными величинами на основе данных эксперимента. Такие зависимости называют эмпирическими.

Однозначно определить неизвестную функциональную зависимость между переменными невозможно даже в том случае, если бы результаты эксперимента не имели ошибок. Тем более не следует этого ожидать, имея результаты эксперимента, содержащие известные ошибки, возникающие в процессе вычислений.

Поэтому следует четко понимать, что целью математической обработки результатов вычислительного эксперимента далеко не всегда является нахождение истинного характера зависимости между переменными или абсолютной величины какой-либо неизвестной.

Целью математической обработки чаще всего является представление результатов наблюдений в виде наиболее простой формулы или значения неизвестной с оценкой возможной погрешности ее использования.

Для простоты дальнейшего изложения будем считать, что некоторое явление характеризуется только двумя ве­ли­чи­на­ми {Х} и {Y}, связанными между собой некоторой неизвестной функциональной зависимостью. Любую из этих величин с одинаковой сте­пенью можно считать независимой, тогда как другая будет считаться за­ви­си­мой.

Различают четыре типа зависимостей между переменными:

1)Зависимость между неслучайными переменными, не требующую для своего изучения применения статистических методов;

2) Зависимость случайной переменной y от неслучайных переменных, исследуемую методами регрессионного анализа;

3) Зависимость между случайными переменными y и x, изучаемую методами корреляционного анализа;

4) Зависимость между неслучайными переменными, когда все они содержат ошибки измерения, требующую для своего изучения применения конфлюэнтного анализа.

Вычислительный эксперимент проводится обычно при заданных исходных данных, которые в дальнейшем можно рассматривать в некотором приближении как неслучайные величины. Результаты же сложного расчета, выполненного с помощью, например, метода конечных элементов, в сильнейшей степени зависят от множества факторов, в частности, от ошибок дескретизации и ошибок округления. Поэтому такие результаты можно рассматривать как уже некие случайные величины.

Таким образом, при обработке результатов численного эксперимента приходится чаще всего обращаться к методам регрессионного анализа.

Основу большинства методов регрессионного анализа и прогноза составляют методы интерполирования и среднеквадратичной аппроксимации.

7.1 Интерполирование и экстраполирование функций.

Задачи интерполирования и экст­ра­по­лирования возникают в следующих случаях (список не полный):

1. если решаются прогнозные задачи (экстра­по­ли­ро­­ва­ние);

2. практически всегда при решении эко­но­ми­чес­ких за­дач (интерполирование и экстра­по­ли­ро­ва­ние);

3. при обработке данных, полученных в экспе­ри­мен­­тах (ин­терполирование);

4. всегда при решении задач на компьютерах (интер­по­ли­ро­ва­ние и экстра­по­ли­ро­ва­ние);

5. при задании функции графиком или таблицей (ин­тер­­­по­ли­ро­вание и экстра­по­ли­ро­ва­ние);

6. во всех остальных не описанных здесь случаях, ес­ли это необходимо.

Интерполяция

Ранее давались основные понятия интерполяции, связанные с построением интерполирующего полинома. Теперь покажем применение интерполяции для некоторых задач обработки результатов экспериментальных и вычислительных данных. Напомним, что если функ­ция определена и не­пре­рыв­на на [y₁, y₂], ее ин­­тер­по­ля­ци­­онные узлы рас­по­ложены на [х₁, х₂], а точка   [х₁, х₂] или f()  [y₁, y₂], то тогда говорят о задаче экст­ра­по­ли­ро­ва­ния функции.

Основная задача интерполяции состоит в отыскании значения функции в некоторой промежуточной точке.

Простейшим видом интерполяции является линейная интер­поляция, в основе которой лежит аппроксимация кривой на участке между точками (х_k, y_k) и (x_k+1, y_k+1) прямой, прохо­дящей через те же точки (см. рисунок). Уравнение прямой можно представить в виде

или в виде

Таким образом, зная два табличных значения y_k и y_k+1, соот­ветствующих х_k и x_k+1, с помощью указанных формул можно найти значение функции у при любом значении х в интервале (x_k, x_k+1). Обычно полагают, что, используя большее число соседних точек и аппроксимируя истинную кривую более сложной линией, можно уточнить полученный результат.

Д алее излагаются методы нахождения единственного многочлена n-й степени P_n(x) аппроксимирующего функцию f(x) кривой, проходящей

через все n+1 заданные в таблице точки (х_i, y_i), где i=0, 1, . . ., п. В этом случае говорят, что многочлен удовлетворяет условиям

P_n(x_i) при i=0, 1, ..., п.

Методы отыскания такого многочлена делятся на три группы: методы Лагранжа, разностные методы и итерационные методы.

Интерполяция по Лагранжу (1795г).

При этой интерполяции задается n+1 табличное значение (х_i, y_i), где i=0, 1, . . ., п. Предполагается, что точки (х_i, y_i) принадлежат кривой y=f(x) в интервале Интерполяционный многочлен для этого метода имеет вид

P_n(x)=y₀b₀(x)+y₁b₁(x)+…….+y_nb_n(x),

где все b_j(x)—многочлены степени п, коэффициенты которых можно найти с помощью n+1 уравнений

P_n(x_i)=y_i где I = 0, 1, . . ,, п.

В результате получим систему уравнений

y₀b₀(x₀)+y₁b₁(x₀)+…… +y_nb_n(x₀)=y₀,

y₀b₀(x₁)+y₁b₁(x₁)+…… +y_nb_n(x₁)=y₁,

--------------------------------------------

--------------------------------------------

y₀b₀(x_n)+y₁b₁(x_n)+…… +y_nb_n(x_n)=y_n,

Если значения b_j(x_i) выбраны так, что

то выписанные выше уравнения будут удовлетворены. Это ус­ловие означает, что любой многочлен b_j(x) равен нулю при каждом x_i, кроме x_j. Следовательно, в общем случае многочлен b_j(x) имеет вид: