Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ПРИ В=0: a=-0.08371.

Анализируя полученные значения коэффициентов для разных методов видим явно несовпадающие значения коэффициента А.

В0

МЕТОД ВЫБРАННЫХ ТОЧЕК: a= -2.91832; b= 3.88663.

МЕТОД СРЕДНИХ: a= -1.41004; b= 3.08540.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ: a= -2.98023; b= 3.95859.

Анализируя полученные значения коэффициентов для разных методов, видим, что метод средних дает для коэффициентов А и В выпадающие значения. Не принимая их во внимание получим: А=-2.95; В = 3.92.

7.2.3 Нелинейная парная регрессия

ВЫБОР ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ ДЛЯ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Выше была рассмотрена линейная зависимость вида у=Ах+В для слу­ча­ев, когда А0; В=0 и А0, В0. Но, к сожалению, построение этой за­ви­си­мос­ти не дает ответа на вопрос о том, какая аналитическая зависимость наилучшим об­разом подходит (описывает) имеющееся распределение. Наиболее по­пу­ляр­ные на практике эмпирические зависимости имеют вид:

1) линейная функция: у = Ах + В;

2) показательная функция: у = АВ^х ;

3) дробно-рациональная функция: у = (Ах + В)^-1;

4) логарифмическая функция: у = А ^. ln(х) + В;

5) смешанная функция: у = Ах^В.

В зависимости от параметра В она определяет параболическую зави­си­мость (В>0), гиперболическую зависимость (В < 0) и линейную зависимость (В= 0);

6) гиперболическая функция: у = А + В/х;

7) дробно-рациональная функция: у = х/(Ах + В).

Для того, чтобы выбрать теперь вид аналитической зависимости, которая на­илучшим образом соответствует исходным экспериментальным данным, по­ступим следующим образом. Выполним промежуточные вычисления. На об­­ласти определения независимой переменной (мы ранее условились, что это будет х_i ) выберем две точки, достаточно надежные и по возможности как можно дальше отстоящие друг от друга. Обозначим их Х₁ и Х₂. Этим точ­кам соответствуют значения Y₁ и Y₂. Найдем теперь среднее арифметическое, сред­нее геометрическое и среднее гармоническое для выбранных точек:

;

.

Построим график, который, по нашему мнению, наиучшим образом будет со­­ответствовать имеющимся экспериментальным данным. И, зная X_AP , X_ГЕОМ , и Х_ГАРМ , найдем из графика приближенные Y*_АР, Y*_ГЕОМ и Y*_ГАРМ . При построении графика можно использовать метод построения ин­тер­по­ля­ци­онной кривой по выбранным точкам (Дорот и др., 1977; Крылов и др., 1972; Троицкий, Иванова 1975) или методы п.1.

Теперь найдем погрешности результатов сравнений:

| Y*_АР- Y_АР| =₁; | Y*_АР - Y_ГЕОМ| = ₂ ; | Y*_АР - Y_ГАРМ| = ₃ ;

| Y*_ГEOM - Y_АР | = ₄ ; | Y*_ГЕОМ - Y_ГЕОМ | = ₅ ;

| Y*_ГАРМ - Y_АР | = ₆ ; | Y*_ГАРМ - Y_ГАРМ | = ₇

и выберем  = min { ₁, ₂, ..., ₇ }.

1. Если наименьшим среди всех абсолютных значений окажется ₁ , то в ка­честве аналитической зависимости для данных точек будет служить ли­ней­ная функция вида у = Ах + В.

2. Если наименьшей абсолютной ошибкой является ₂, то в качестве эм­пирической зависимости следует выбрать показательную функцию у = АВ^x.

3. В том случае, если наименьшая из абсолютных ошибок есть ₃, то ис­ко­мая эмпирическая зависимость определяется дробно - рациональной фун­к­ци­ей вида у = (Ах + В) ^-1 .

4. Если наименьшая из абсолютных ошибок есть ₄ , то хорошим при­бли­же­нием будет служить логарифмическая функция у=А ^. ln(х) + В.

5. Для случая, когда наименьшей абсолютной ошибкой окажется ₅ , то в ка­честве эмпирической зависимости рекомендуется выбрать смешанную фун­кцию у = Ах^B .

6. Если наименьшей из абсолютных ошибок окажется ₆ , то за искомую зависимость следует выбрать гиперболическую функцию у= А + В/х.

7. И, наконец, в том случае, если наименьшая из всех абсолютных оши­бок есть ₇, то в качестве зависимости следует выбрать дробно - рациональную фун­кцию вида у = х/(Ах + В).

Для уточнения коэффициентов выбранной аналитической зависимости у = f(х, А, В) воспользуемся, как и в п.1, тремя методами.

Метод выбранных точек

На кривой, которую предварительно построим по множеству экс­пе­ри­мен­таль­ных точек, выберем две произвольные S₁ (х₁*, у₁*) и S₂ (х₂*, у₂*). Зная вид зависимости f(х,А,В), составим систему

,

разрешая которую относительно параметров А и В, находим их числовые зна­че­ния.

Метод средних

В эмпирическую формулу у = f(х, А, В) подставляем последовательно х_i и по­лучаем у_i , которые будут отклоняться от табличных на e _i= у_i - f(х_i, А, В). Со­гласно методу средних, надо определить так А и В, чтобы e = 0. Для этого вся совокупность значений pазбивается на две группы так, чтобы ал­ге­бра­и­че­ская сумма уклонений в каждой группе равнялась нулю. Таким образом, для определения параметров А и В имеем

,

откуда получаем из совместного решения системы значение двух параметров А и В.

Метод наименьших квадратов

Согласно этому методу А и В должны быть определены так, чтобы вы­пол­ня­лось условие минимума функции

.

В силу необходимого условия экстремума функции находим частные про­из­водные функции F по неизвестным коэффициентам А и В и приравниваем их к нулю, откуда получаем систему

,

из решения которой находим А и В.

Ниже в таблице 1 приводятся явный вид коэффициентов А и В для всех рас­сматриваемых здесь видов зависимостей.

Таблица 1

Таблица 1

(продолжение)

Характеристики

Список файлов лекций