LEC-18 (Материалы к лекциям), страница 5

Пусть для оценки значения неизвестной величины m произведено n независимых наблюдений, давших результаты Y₁, Y₂,..., Y_n, т. е. Y₁ = m + d₁, Y₂ = m + d₂,..., Y_n = m + d_n, где d₁, d₂,..., d_n — случайные ошибки (по определению, принятому в классической теории ошибок, случайные ошибки — независимые случайные величины с нулевым математическим ожиданием: Еd_i = 0; если же Ed_i ¹ 0, то Еd_i, называются систематическими ошибками). Согласно методу наименьших квадратов в качестве оценки величины m принимают такое X, для которого будет наименьшей сумма квадратов (отсюда и само название метода):

( 1 )

  где p_i = k/s_i² и s_i² = Dd_i = Ed_i² (коэффициент k > 0 можно выбирать произвольно). Величину p_i называют весом, a s_i — квадратичным отклонением измерения с номером i. В частности, если все измерения равноточны, то s₁ = s₂ =... = s_n, и в этом случае можно положить p₁ = p₂ =... = p_n = 1; если же каждое Y_i, — арифметическое среднее из n_i, равноточных измерений, то полагают p_i = n_i.

  Сумма S (X) будет наименьшей, если в качестве Х выбрать взвешенное среднее:

Оценка  величины m лишена систематической ошибки, имеет вес Р и дисперсию

В частности, если все измерения равноточны, то Y — арифметическое среднее результатов измерений:

  При некоторых общих предположениях можно показать, что если количество наблюдений n достаточно велико, то распределение оценки  мало отличается от нормального с математическим ожиданием m и дисперсией k/P. В этом случае абсолютная погрешность приближённого равенства

меньше

с вероятностью, близкой к значению интеграла

[напр., I (1,96) = 0,950; I (2,58) = 0,990; I (3,00) = 0,997].

  Если веса измерений p_i заданы, а множитель k до наблюдений остаётся неопределённым, то этот множитель и дисперсия оценки  могут быть приближённо оценены по формулам:

и

(обе оценки лишены систематических ошибок).

  В том практически важном случае, когда ошибки d_i подчиняются нормальному распределению, можно найти точное значение вероятности, с которой абсолютная погрешность приближённого равенства

окажется меньше ts (t — произвольное положительное число). Эту вероятность, как функцию от t, называют функцией распределения Стьюдента с n - 1 степенями свободы и вычисляют по формуле

где постоянная C_n-1 выбрана таким образом, чтобы выполнялось условие: I_n-1(¥) = 1. При больших n формулу (2) можно заменить формулой (1). Однако применение формулы (1) при небольших n привело бы к грубым ошибкам. Так, например, согласно (1), значению I = 0,99 соответствует t = 2,58; истинные значения t, определяемые при малых n как решения соответствующих уравнений l_n-1(t) = 0,99, приведены в таблице:

Пример. Для определения массы некоторого тела произведено 10 независимых равноточных взвешиваний, давших результаты Y_i (в г):

(здесь n_i — число случаев, в которых наблюдался вес Y_i, причём n = Sn_i, = 10). Так как все взвешивания равноточные, то следует положить p_i = n_i и в качестве оценки для неизвестного веса m, выбрать величину

Задавая, например, I₉ = 0,95, по таблицам распределения Стьюдента с девятью степенями свободы можно найти, что t = 2,262, и поэтому в качестве предельной абсолютной погрешности приближённого равенства m » 18,431 следует принять величину

  Т. о. 18,420 < m < 18,442.

  Случай нескольких неизвестных (линейные связи). Пусть n результатов измерений Y₁, Y₂,..., Y_n связаны с m неизвестными величинами x₁, x₂,..., х_m (m < n) независимыми линейными отношениями

где a_ij — известные коэффициенты, а d_i — независимые случайные ошибки измерений. Требуется оценить неизвестные величины x_j (эту задачу можно рассматривать как обобщение предыдущей, в которой m = x₁ и m = a_i1 = 1; i = 1,2,..., n).

  Так как Еd_i = 0, то средние значения результатов измерений y_i, = Ey_i. связаны с неизвестными величинами x₁, x₂,..., х_m линейными уравнениями (линейные связи):

  Следовательно, искомые величины x_j представляют собой решение системы (4), уравнения которой предполагаются совместными. Точные значения измеряемых величин y_i и случайные ошибки d_i обычно неизвестны, поэтому вместо систем (3) и (4) принято записывать так называемые условные уравнения

  Согласно Н. к. м., качестве оценок для неизвестных x_j применяют такие величины X_j, для которых сумма квадратов отклонений

будет наименьшей (как и в предыдущем случае, p_i — вес измерения Y_i, — величина, обратно пропорциональная дисперсии случайной ошибки d_i). Условные уравнения, как правило, несовместны, т. е. при любых значениях X_j разности

не могут, вообще говоря, все обратиться в нуль, и в этом случае

также не может обратиться в нуль. Н. к. м. предписывает в качестве оценок выбрать такие значения X_j, которые минимизируют сумму S. В тех исключительных случаях, когда условные уравнения совместны и, значит, обладают решением, это решение совпадает с оценками, полученными согласно Н. к. м.

  Сумма квадратов S представляет собой квадратичный многочлен относительно переменных X_j; этот многочлен достигает минимума при таких значениях X₁, X₂,..., Х_m, при которых обращаются в нуль все первые частные производные:

Отсюда следует, что оценки X_j, полученные согласно Н. к. м., должны удовлетворять системе так называемых нормальных уравнений, которая в обозначениях, предложенных Гауссом, имеет вид:

где

  Оценки X_j, получающиеся в результате решения системы нормальных уравнений, лишены систематических ошибок (Ex_j = x_j); дисперсии Dx_j; величин X_j равны kd_jj/d, где d — определитель системы (5), а d_jj — минор, соответствующий диагональному элементу [ра_ja_j] (иными словами, d_jj/d — вес оценки X_j). Если множитель пропорциональности k (k называется дисперсией на единицу веса) заранее неизвестен, то для его оценки, а также для оценки дисперсии Dx_j служат формулы:

  k » S/(n - m) и Dx_j » s²_j = Sd_jj/d (n - m)

(S — минимальное значение исходной суммы квадратов). При некоторых общих предположениях можно показать, что если количество наблюдений n достаточно велико, то абсолютная погрешность приближённого равенства x_i » X_j меньше ts_j с вероятностью, близкой к значению интеграла (1). Если случайные ошибки наблюдений d_i подчиняются нормальному распределению, то все отношения (X_j - x_j)/s_j распределены по закону Стьюдента с n - m степенями свободы [точная оценка абсолютной погрешности приближённого равенства производится здесь с помощью интеграла (2) так же, как в случае одного неизвестного]. Кроме того, минимальное значение суммы S в вероятностном смысле не зависит от X₁, X₂,..., X_m и поэтому приближённые значения дисперсий оценок Dx_j » s²_j не зависят от самих оценок X_j.

  Один из наиболее типичных случаев применения Н. к. м. — «выравнивание» таких результатов наблюдений Y_i, для которых в уравнениях (3) a_ij = a_j (t_i), где a_j (t) — известные функции некоторого параметра t (если t — время, то t₁, t₂,... — те моменты времени, в которые производились наблюдения). Особенно часто встречается в приложениях случай так называемой параболической интерполяции, когда a_j (t) — многочлены [например, a₁(t) = 1, a₂(t) = t, a₃(t) = t²,... и т.д.]; если t₂ — t₁ = t₃ — t₂ =... = t_n — t_n-1, a наблюдения равноточные, то для вычисления оценок X_j можно воспользоваться таблицами ортогональных многочленов, имеющимися во многих руководствах по современной вычислительной математике. Другой важный для приложения случай — так называемая гармоническая интерполяция, когда в качестве a_j (t) выбирают тригонометрические функции [например, a_j (t) = cos (j - 1) t, j = 1, 2,..., m].

  Пример. Для оценки точности одного из методов химического анализа этим методом определялась концентрация CaO в десяти эталонных пробах заранее известного состава. Результаты равноточных наблюдений указаны в таблице (i — номер эксперимента, t_i — истинная концентрация CaO, T_i — концентрация CaO. определённая в результате химического анализа, Y_i = T_i - t_i — ошибка химического анализа):