Так как 1, то коэффициент С_j, определяется выражением

Наконец, для искомого многочлена получаем

Введя обозначения

,

можем записать полученный многочлен в более компактном виде

Метод разделенных разностей (1670-1711).

Существует множество разностных методов интерполяции, однако наиболее распространен метод Ньютона для интерполирования вперед, известный также как метод Ньютона — Грегори. Интерполяционный многочлен для этого метода имеет вид

Коэффициенты находятся из уравнений , позволяющих записать систему

Это линейная система уравнений с треугольной матрицей, определение с ее помощью значений не вызывает затруднений, однако существует и еще более простой способ определения , основанный на применении правых конечных разностей. Если значения х заданы через равные промежутки , то в общем случае

Последнее выражение позволяет привести решаемые уравнения к виду

откуда для коэффициентов получаем

Здесь называется первой правой разностью (в зарубежной литературе «разности вперёд» - forward finite differences) . Продолжая вычисления, находим

где — вторая правая разность, представляющая собой разность разностей. Коэффициент можно представить в виде

В общем случае разности более высоких порядков для функции y=f(x) в интервале определяются выражением

Часто их сводят в таблицы, подобные нижеприведённой,

где разности порядка п выражены через разности порядка п—1.

Применение метода интерполяции Ньютона

Продемон­стрируем применение метода интерполяции Ньютона на сле­дующем примере.

Пример 1. Пусть имеется следующая таблица данных функции

Требуется найти у при х = 23° методом разделенных разностей. С помощью, исходных данных составим таблицу разностей.

За x₀ можно принять любое x_i например х=20°. Необходимые разности стоят на диагонали, идущей от x₀ вниз. Число используемых разностей высших порядков может быть любым, но чем оно больше, тем выше точность. Одно из достоинств рассматриваемого метода состоит в том, что он позволяет уточнять результат, используя дополнительные разности, причем нет необходимости начинать вычисления сначала. Поэтому в случае, если неизвестно, сколько членов следует взять, их число можно увеличивать до тех пор, пока их вклад не станет пренебрежимо малым. В данном случае h=10°. Используя только первую разность, найдем

Введя дополнительно вторую разность, получим

у (23) =0,38941 Наконец, с помощью третьей разности найдем

Совершенно очевидно, что это значение очень близко к точному, равному 0,39073. Используя другие разности, получим другие интерполяци­онные схемы, например метод Ньютона для интерполяции назад, пример реализации которого прводился в лекции 12 предыдущего семестра, методы Гаусса для интерполяции вперед и назад.

Итерационные методы интерполяции

Эти методы основаны на повторном применении простой интерполяционной схемы.

Наиболее известным из них является излагаемый ниже метод Эйткена, сущность которого в повтор­ном применении линейной интерполяции.

Выше было показано, что линейная интерполяция между точками (x₀, y₀) и (x_i, y_i) осуществляется по формуле

с помощью которой, задав значение , можно составить таблицу функций , где i = l, 2, . . ., п. Пользуясь этими функциями, с помощью линейной интерполяции получим новое семейство соотношений. Простой подстановкой можно показать, что выражения для представляют собой многочлены второй степени, описывающие кривые, проходящие через точки (x₀, y₀), (x₁,y₁) и (x_i,y_i). Получив многочлены с помощью линейной интерполяции и используя функции , можно записать выражение для многочлена третьей степени описывающего кривые, проходящие через точки (x₀, y₀), (x₁,y₁),(x₂ ,y₂)и (x_i,y_i).. Продолжая этот процесс, будем получать значения , которые будут стремиться к значению f(x). Хотя в принципе этот метод позволяет вводить многочлены степени n >3, обычно этого не делают, стремясь избежать роста оши­бок. Следует, однако, отметить, что метод Эйткена не тре­бует, чтобы используемые для интерполяции значения функции были расположены через равные интервалы. Применим метод Эйткена к предыдущему примеру.

Пусть требуется решить этот пример 1 методом Эйткена. Ниже приведена таблица результатов, полученных путем многократного применения линейной интерполяции при x =23°. Видно, что по мере выполнения вычислений зна­чения у (23°) стремятся к истинному значению, равному 0,39073.

Обратная интерполяция

Это алгоритм, с помощью которого находят значение аргумента х, соответствующее заданному значению функции у, ко­торое лежит между двумя его значениями, приведенными в таблице. Чтобы применить изложенные выше методы, нужно видоизменить таблицу, поменяв в ней местами х и у. Единствен­ный недостаток этого приема в том, что теперь значения аргу­мента не будут расположены через равные интервалы, что ис­ключает использование методов, для которых шаг аргумента должен быть обязательно постоянным.

Аппроксимация кривых.

(Аппроксимация –термин происходит от латинского approximo- «приближаюсь», буквальное значение – «приближение»).

Существует два основных подхода к аппроксимации таблич­ных данных кривыми.

При одном из них требуют, чтобы ап­проксимирующая кривая (возможно, кусочно-гладкая) прохо­дила через все точки, заданные таблицей. Это удается сделать с помощью методов интерполяции, рассмотренных выше.