В.А. Столярчук. Анализ результатов расчетов в САЕ-системах (учебное пособие)

34

В.А. Столярчук. Каф.609Алгоритмы САЕ-систем

Кафедра 609

Столярчук В.А.

2015

Анализ результатов расчетов в САЕ-системах

по дисциплинам «Модели и методы анализа проектных решений» и «Математические методы анализа технических и физических систем»

СОДЕРЖАНИЕ

Оглавление.

3. Точность и достоверность результатов расчета методом конечных элементов

4. Сравнение результатов расчетов в разных CAE –системах.

5. Доказательство сходимости результатов в разных CAE –системах.

5.1. Основы математической обработки результатов вычислительного эксперимента

5.2 Регрессионный анализ.

Список литературы

3. Точность и достоверность результатов расчета методом конечных элементов

Для познания окружающего мира и предсказания его поведения Для физических объектов или процессов составляется физическая модель, которая описывается дифференциальными уравнениями. Метод конечных элементов – это приближенный метод решения физико-математических задач, описываемых чаще всего дифференциальными уравнениями в частных производных.

При создании технических систем могут использоваться теоретические и эмпирические методы познания. Каждое из этих направлений обладает относительной самостоятельностью, имеет свои достоинства и недостатки. В общем случае, теоретические методы в виде математических моделей позволяют описывать и объяснять взаимосвязи элементов изучаемой системы или объекта в относительно широких диапазонах изменения переменных величин. Однако при построении теоретических моделей неизбежно введение каких-либо ограничений, допущений, гипотез и т.п. Поэтому возникает задача оценки достоверности (адекватности) полученной модели реальному процессу или объекту. Для этого проводится экспериментальная проверка разработанных теоретических моделей. Практика является решающей основой научного познания. В ряде случаев именно результаты экспериментальных исследований дают толчок к теоретическому обобщению изучаемого явления. Но не надо забывать, что экспериментальное исследование справедливо только в пределах условий проведенного эксперимента. Иными словами, экспериментальное исследование – тоже модель и речь идёт, по сути, о сравнении результатов двух моделей, и поэтому не следует преувеличивать результаты экспериментальных исследований. Окончательную точку ставит натурный эксперимент, но это слишком дорогостоящее мероприятие, чтобы на нём основывать все разработки.

Таким образом, теоретические и экспериментальные модели дополняют друг друга и являются составными элементами процесса разработки. Мало того, исследование, проведенное численными методами на теоретической модели, есть, по сути, тоже эксперимент, только вычислительный. Такого рода эксперименты разработчик вынужден выполнять на всех этапах создания изделия и сложность вычислительных экспериментов возрастает с переходом на следующую стадию разработки. При этом, как и в случае чисто экспериментальных методов, приходится проводить множество однотипных вычислений, чтобы быть уверенным в правильности получаемых результатов.

При решении задачи численным методом приходится учитывать особенности вычислительных средств и программного обеспечения.

Основным ограничением является то, что компьютеры имеют дело с конечным числом цифр и симво­лов, определенным разрядной сеткой машины - количеством двоичных разрядов, которыми оперирует компьютер при выполнении команды на арифметическую или логическую операцию.

Ярким свидетельством этого ограничения является невозможность с высокой точностью представления в компьютере даже таких фундаментальных констант как и . Численное представление вещественных чисел, как правило, требует бесконечного числа разрядов. Но даже если какие-то исходные данные допус­кают точное численное представление в компьютере, возникают погрешности в результате выполнения арифметических операций. Например, при попытке разделить число 1 на число 3. Очевидно, что при любом числе разрядной сетки машины, где-то обязательно произойднт округление.

Следовательно, нужно с самого начала примириться с тем фактом, что компьютер не в состоянии выполнять ариф­метические действия абсолютно точно. Задачей же программиста является составление такой программы, при работе которой ошибки округления не накапаливались столь резко, чтобы полностью исказить результаты вычислений.

Правда, воз­можна реализация арифметики более высокой точности. На многих машинах арифметика с двойной точностью, в которой, по существу, удваи­вается количество цифр, реализуется аппаратно. В этом случае выполне­ние программ, использующих арифметику с двойной точностью, если и увеличивает время счета по сравнению с вариантами одинарной точности, то весьма умеренно, и только в редких случаях время счета увеличива­ется вдвое. К счастью, большинство современных компьютеров с корот­кими длинами слов имеют очень эффективную арифметику двойной точ­ности. В то же время на некоторых машинах арифметика двойной точ­ности реализована с помощью программного обеспечения и в несколько раз увеличивает время счета по сравнению с вариантами одинарной точнос­ти. Как правило, арифметика более высокой точности, чем двойная, реализуется с помощью программного обеспечения и с увеличением порядка точности становится все более и более неэффективной. В практических задачах арифметика высокой точности используется редко.

Ошибки округления могут по-разному влиять на окончательный ре­зультат вычислений. Во-первых, при выполнении миллионов операций, каждая из которых вносит небольшую ошибку, существует опасность, что эти маленькие ошибки накопятся так, что поглотят значительную часть точности вычисленного результата. Если использовать округление до бли­жайшего числа, помещающегося в разрядной сетке, то отдельные ошибки будут частично нейтрализовывать друг друга, но среднее квадратичное от­клонение будет расти с ростом числа операций, оставляя возможность боль­шой ошибки в окончательном результате. Если же использовать усечение, т.е. отбрасывание хвостовых цифр, а не округление, то это приводит к смеще­нию ошибок в одном направлении и вероятность большой погрешности в окончательном результате увеличивается. Как пример этого явления рассмотрим вычисление выражения 0,8132 • 0,6135 • 0,2103, значение которого, округленное до восьми десятичных знаков после запятой, равно 0,10491829. Усечение произведения первых двух чисел до четырех знаков дает 0,4988, с ошибкой 0,9820 • 10^-4 .Умножение 0,4988 на 0,2103 дает после усечения 0,1048, с ошибкой 0,9764 • 10^-4. Накопленная ошибка составляет 0,1183 • 10^-3.

Помимо возможности накопления ошибок в результате выполнения большого числа операций, существует еще опасность катастрофической потери знаков. Предположим, что два числа а и b отличаются лишь в по­следнем знаке. Тогда разность с = а - b будет иметь только одну знача­щую цифру, даже если при вычитании не будет допущено никакой ошибки округления. Последующие вычисления с использованием величины с обычно приводят к тому, что окончательный результат имеет только один верный знак. Всякий раз, когда это возможно, необходимо попытаться исключить опасность возникновения катастрофической потери знаков посредством изменения порядка вычислений.

Катастрофическая потеря знаков дает один из примеров того, как кор­ректный, если его рассматривать в точной арифметике, алгоритм может оказаться численно неустойчивым. Действительно, результаты вычислений могут оказаться абсолютно неверными из-за ошибок округления даже при выполнении небольшого числа арифметических операций.

В настоящее время проведен детальный анализ влияния ошибок округ­ления для ряда простых основных алгоритмов, например решения систем линейных уравнений. Очень эффективным заре­комендовал себя так называемый обратный анализ ошибок. Используемый при этом подход основывается на доказательстве того, что влияние ошибок округления эквивалентно определенному возмущению исходных данных задачи. Когда такой анализ удается провести, можно утверждать, что по­грешность решения, обусловленная ошибками округления, не превосходит погрешности, вызванной определенными ошибками в исходной модели. Вопрос о влиянии ошибок округления на решение в этом случае сво­дится к изучению зависимости решения от возмущения параметров мо­дели.

Другое обстоятельство, где "конечность" вычислительного устройства приводит к погрешности численного решения, связано с необходимостью замены непрерывных задач дискретными. Простой пример. Для вычисления интеграла от непрерывной функции нужно знать значение подынтегральной функции на всем интервале интегрирования, т.е. на бесконечном множестве точек. В то же время при вычислении этого интеграла на ЭВМ используются значе­ния подынтегральной функции только в конечном числе точек. Следова­тельно, даже если последующие арифметические операции будут выпол­няться точно, без каких-либо ошибок округления, все равно будет сущест­вовать ошибка, обусловленная дискретной аппроксимацией интеграла. Ошибки такого типа обычно называют ошибками дискретизации или ошибками усечения. Эти ошибки, за исключением тривиальных случаев, всегда возникают при численном решении дифференциальных уравнений и других непрерывных задач.

Имеется еще один более общий тип ошибок, который в каком-то смысле близок к ошибкам дискретизации. В основе численных методов лежит идея итерационного процесса. В ходе такого процесса строится по­следовательность приближений к решению в надежде, что эти приближения сойдутся к решению; во многих случаях может быть дано математическое доказательство сходимости. Однако на компьютерах можно реализовать только конечное число таких приближений, поэтому мы вынуждены останавли­ваться, не достигнув математической сходимости. Ошибку, вызванную таким конечным завершением итерационного процесса, иногда называют ошибкой сходимости, хотя общепринятой терминологии здесь не су­ществует.

Если исключить тривиальные задачи, которые не представляют интереса в программировании, то мы можем описать положение с ошиб­ками вычислений следующим образом. Всякое вычисление связано с ошиб­ками округления. Если математической моделью проблемы является диф­ференциальное уравнение или какая-то другая непрерывная задача, то здесь всегда будет присутствовать ошибка дискретизации и во многих случаях, особенно в нелинейных задачах, еще и ошибка сходимости.

Другим важнейшим фактором, помимо точности, рассматриваемым при разработке методов решения математических моделей на ЭВМ, является эффективность. Под этим мы понимаем количество усилий, как челове­ческих, так и ЭВМ, которое необходимо затратить для решения данной задачи. Для большинства задач, таких как решение систем линейных алгеб­раических уравнений, имеется целый ряд возможных методов решения, причем некоторые из них восходят к методам, предложенным десятки, а то и сотни лет назад. Ясно, что мы хотели бы выбрать такой метод, кото­рый минимизировал бы время счета, давая при этом приемлемую для нас точность приближенного решения. Это, однако, оказывается удивительно сложной задачей, требующей учета целого ряда обстоятельств. Хотя часто оказывается возможным оценить время работы алгоритма, подсчитав необходимое число арифметических операций, вопрос о том, как решить задачу с заданным уровнем погрешности за минимальное время счета или с минимальным объемом вычислений, все еще, за исключением нескольких случаев, остается открытым. Даже если пренебречь ошибками округления, известно удивительно немного. В последние несколько лет эти вопросы привели к возникновению нового предмета: сложность вычислений. Однако, если даже такие теоретические результаты были бы известны, они бы дали только приближенную оценку фактического времени счета, которое зависит от ряда факторов, связанных с используемой вычислитель­ной системой: от объема и быстродействия основной и внешней памяти, числа обращений к внешней памяти и характеристик операционной сис­темы. И эти факторы все время изменяются в результате создания новых вычислительных систем или их новой архитектуры. Фактически разработка и анализ численных методов должны побуждать и направлять эти изме­нения.