Рис. 1. Множество экспери­мен­таль­ных точек {X} и {Y}, нанесенных на плоскость.

М(X,Y) - выбранная точка для регрессии.

Тогда параметр А определится из отношения А=Y/X. Преимущество этого ме­тода перед всеми состоит в его наглядности. Но заметим, что значения А мо­гут колебаться довольно значительно, так как прямая строится про­из­воль­но и в выборе точек, через которые проводится прямая, нет однозначности.

метод средних

Этот метод дает лучшие результаты по сравнению с методом выбранных то­чек. Если предположим, что зависимость построена, тогда y_i = aх_i даст при­бли­женные значения y_i. Определим параметр a из условия минимума средней ошибки

.

Перепишем последнее выражение в виде

,

откуда получаем выражение для .

метод наименьших квадратов

Этот метод дает еще более точные результаты по сравнению с двумя рас­смот­ренными выше. В этом методе параметр а определяется из условия ми­ни­мальной суммы квадратов отклонений табличных значений у_i от полу­чен­ных у_i* : . Условие минимума F, как известно, да­ет равенство нулю ее первой про­из­вод­ной, т.е. . Продиф­ферен­ци­ро­вав F по а, получим , откуда находим .

Каждый из приведенных выше методов является более точным (по по­ряд­ку возрастания). Поэтому рекомендуется сначала воспользоваться методом вы­б­ранных точек, а затем - одним из двух оставшихся (для уточнения па­ра­мет­ра а).

Пусть теперь В 0.

Посмотрим, как изменятся методы. Общий вид за­ви­си­мости теперь Y_i = АХ_i + В.

Для уточнения параметров А и В воспользуемся тремя уже рас­смот­рен­ны­ми ранее методами.

метод выбранных точек. Выберем на построенном графике две про­из­воль­ные точки М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂). Из аналитической геометрии известно, что уравнение прямой будет

,

откуда получаем

.

Тогда выражения для параметров А и В можно определить явно как

.

метод средних. Согласно этому методу, А и В ищутся такими, чтобы ал­гебраическая сумма всех уклонений от вычисленных значений была бы равна нулю .

Для определения А и В разобьем все данные на две группы так, чтобы сум­ма алгебраических уклонений каждой группы от среднего была бы рав­на нулю. Иными словами среднее для одной группы точек было бы равным (или не очень сильно отличалось) среднему другой группы точек. Тогда для каж­дой группы запишем

где L - число элементов в I группе. Из последней системы найдем А и В :

.

Выполнив над последними выражениями элементарные алгебраические преобразования, получим окончательно выражения для коэффициентов А и В (стр. 6).

метод наименьших квадратов. Согласно этому методу, ищем минимум фун­кции . Используя условие экстремума функции F, найдем

От последней системы можно перейти к более простой, выполнив над ней эле­ментарные алгебраические преобразования:

Решая последнюю систему относительно А и В, получим

КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР

Для проверки и тестирования рассмотренных методов далее по данным экс­перимента (см. таблицу экспериментальных данных) строится линейная за­висимость для случаев 1) В=0; А  0; 2) А  0; В0. Затем уточняются най­ден­ные А и В.

Таблица экспериментальных данных

Результаты вычислений с использованием приведенных выше процедур даются ниже:

В=0.

МЕТОД СРЕДНИХ ПРИ В = 0: А= 0.78985.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ПРИ В=0: a=-0.08371.

Анализируя полученные значения коэффициентов для разных методов видим явно несовпадающие значения коэффициента А.

В0

МЕТОД ВЫБРАННЫХ ТОЧЕК: a= -2.91832; b= 3.88663.

МЕТОД СРЕДНИХ: a= -1.41004; b= 3.08540.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ: a= -2.98023; b= 3.95859.

Анализируя полученные значения коэффициентов для разных методов, видим, что метод средних дает для коэффициентов А и В выпадающие значения. Не принимая их во внимание получим: А=-2.95; В = 3.92.

5.2.3 Нелинейная парная регрессия

ВЫБОР ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ ДЛЯ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Выше была рассмотрена линейная зависимость вида у=Ах+В для слу­ча­ев, когда А0; В=0 и А0, В0. Но, к сожалению, построение этой за­ви­си­мос­ти не дает ответа на вопрос о том, какая аналитическая зависимость наилучшим об­разом подходит (описывает) имеющееся распределение. Наиболее по­пу­ляр­ные на практике эмпирические зависимости имеют вид:

1) линейная функция: у = Ах + В;

2) показательная функция: у = АВ^х ;

3) дробно-рациональная функция: у = (Ах + В)^-1;

4) логарифмическая функция: у = А ^. ln(х) + В;

5) смешанная функция: у = Ах^В.

В зависимости от параметра В она определяет параболическую зави­си­мость (В>0), гиперболическую зависимость (В < 0) и линейную зависимость (В= 0);

6) гиперболическая функция: у = А + В/х;

7) дробно-рациональная функция: у = х/(Ах + В).

Для того, чтобы выбрать теперь вид аналитической зависимости, которая на­илучшим образом соответствует исходным экспериментальным данным, по­ступим следующим образом. Выполним промежуточные вычисления. На об­­ласти определения независимой переменной (мы ранее условились, что это будет х_i ) выберем две точки, достаточно надежные и по возможности как можно дальше отстоящие друг от друга. Обозначим их Х₁ и Х₂. Этим точ­кам соответствуют значения Y₁ и Y₂. Найдем теперь среднее арифметическое, сред­нее геометрическое и среднее гармоническое для выбранных точек:

;

.

Построим график, который, по нашему мнению, наиучшим образом будет со­­ответствовать имеющимся экспериментальным данным. И, зная X_AP , X_ГЕОМ , и Х_ГАРМ , найдем из графика приближенные Y*_АР, Y*_ГЕОМ и Y*_ГАРМ . При построении графика можно использовать метод построения ин­тер­по­ля­ци­онной кривой по выбранным точкам (Дорот и др., 1977; Крылов и др., 1972; Троицкий, Иванова 1975) или методы п.1.

Теперь найдем погрешности результатов сравнений:

| Y*_АР- Y_АР| =₁; | Y*_АР - Y_ГЕОМ| = ₂ ; | Y*_АР - Y_ГАРМ| = ₃ ;

| Y*_ГEOM - Y_АР | = ₄ ; | Y*_ГЕОМ - Y_ГЕОМ | = ₅ ;

| Y*_ГАРМ - Y_АР | = ₆ ; | Y*_ГАРМ - Y_ГАРМ | = ₇

и выберем  = min { ₁, ₂, ..., ₇ }.

1. Если наименьшим среди всех абсолютных значений окажется ₁ , то в ка­честве аналитической зависимости для данных точек будет служить ли­ней­ная функция вида у = Ах + В.

2. Если наименьшей абсолютной ошибкой является ₂, то в качестве эм­пирической зависимости следует выбрать показательную функцию у = АВ^x.

3. В том случае, если наименьшая из абсолютных ошибок есть ₃, то ис­ко­мая эмпирическая зависимость определяется дробно - рациональной фун­к­ци­ей вида у = (Ах + В) ^-1 .

4. Если наименьшая из абсолютных ошибок есть ₄ , то хорошим при­бли­же­нием будет служить логарифмическая функция у=А ^. ln(х) + В.

5. Для случая, когда наименьшей абсолютной ошибкой окажется ₅ , то в ка­честве эмпирической зависимости рекомендуется выбрать смешанную фун­кцию у = Ах^B .

6. Если наименьшей из абсолютных ошибок окажется ₆ , то за искомую зависимость следует выбрать гиперболическую функцию у= А + В/х.

7. И, наконец, в том случае, если наименьшая из всех абсолютных оши­бок есть ₇, то в качестве зависимости следует выбрать дробно - рациональную фун­кцию вида у = х/(Ах + В).

Для уточнения коэффициентов выбранной аналитической зависимости у = f(х, А, В) воспользуемся, как и в п.1, тремя методами.

Метод выбранных точек

На кривой, которую предварительно построим по множеству экс­пе­ри­мен­таль­ных точек, выберем две произвольные S₁ (х₁*, у₁*) и S₂ (х₂*, у₂*). Зная вид зависимости f(х,А,В), составим систему

,

разрешая которую относительно параметров А и В, находим их числовые зна­че­ния.

Метод средних

В эмпирическую формулу у = f(х, А, В) подставляем последовательно х_i и по­лучаем у_i , которые будут отклоняться от табличных на e _i= у_i - f(х_i, А, В). Со­гласно методу средних, надо определить так А и В, чтобы e = 0. Для этого вся совокупность значений pазбивается на две группы так, чтобы ал­ге­бра­и­че­ская сумма уклонений в каждой группе равнялась нулю. Таким образом, для определения параметров А и В имеем