rpd000002825 (161101 (24.05.06).С12 Управляющие пилотажно-навигационные комплексы летательных аппаратов), страница 6

Матан_Кр_2_1 (161101).doc

Математический анализ

Контрольная работа №2 (1 модуль)

ТЕМА: дифференцирование функций одной переменной

Матан_Кр_3_1 (161101).doc

Математический анализ

Контрольная работа №3 (1 модуль)

ТЕМА: интегрирование функций одной переменной

Экзамен (1 семестр).doc

Промежуточная аттестация №1

Экзамен (семестр 1)

Семестр:

Вид контроля:

Вопросы:

1. Конечный предел числовой последовательности. Необходимое условие его существования. Формулировка критерия Коши сходимости числовой последовательности.

2. Бесконечно малые последовательности, их свойства. Бесконечно большие последовательности, их связь с бесконечно малыми.

3. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного сходящихся последовательностей.

4. Теоремы о пределах последовательностей, связанных неравенствами.

5. Число е, как предел последовательности

6. Конечный предел функции действительного переменного (по Коши и по Гейне). Бесконечно большие функции. Односторонние пределы.

7. Основные теоремы о пределах функций (о пределе суммы, произведения и частного функций, о пределах функций, связанных неравенствами, о пределе сложной функции).

8. Замечательные пределы.

9. Сравнение функций. О и о символика. Эквивалентные бесконечно малые функции и их свойства.

10. Функции действительного переменного, непрерывные в точке, их свойства. Непрерывность элементарных функций.

11. Точки разрыва функции, их классификация.

12. Непрерывность функций на интервале, на отрезке. Формулировка свойств функций, непрерывных на отрезке.

13. Производная функции действительного переменного, ее геометрический и механический смысл. Касательная и нормаль к кривой. Односторонние производные. Необходимое условие существования производной.

14. Общие правила дифференцирования. Дифференцирование сложной функции, обратной функции.

15. Производные элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование.

16. Дифференциал функции, его геометрический смысл, свойства, инвариантная форма записи, приложения.

17. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Не инвариантность формы записи дифференциалов высших порядков.

18. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.

19. Теоремы Ферма, Ролля, их геометрический смысл.

20. Теорема Лагранжа, ее геометрический смысл. Теорема Коши.

21. Правила Лопиталя

22. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. Формула Маклорена.

23. Разложение по формуле Маклорена функций основных функций.

24. Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Экстремум функции, его необходимое условие, достаточные условия.

25. Необходимое и достаточное условие выпуклости (вогнутости).графика функции. Необходимое и достаточное условие точки перегиба. Асимптоты графика функции.

26. Неопределенный интеграл, его свойства. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

27. Основные сведения из алгебры многочленов. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение правильной рациональной дроби на элементарные.

28. Интегрирование рациональных дробей.

29. Интегрирование тригонометрических выражений, рационализирующие подстановки.

30. Интегрирование иррациональных выражений, рационализирующие подстановки.

31. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла, необходимое условие его существования.

32. Достаточные условия существования определенного интеграла (без доказательства).

33. Основные свойства определенного интеграла.

34. Теорема о среднем ее геометрический смысл.

35. Определенный интеграл с переменным верхним пределом, его непрерывность и дифференцируемость. Формула Ньютона - Лейбница.

36. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

37. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах, в полярных координатах, в случае параметрического задания граничной кривой.

38. Объем тел при заданной площади поперечных сечений. Объем тел вращения.

39. Длина дуги плоской кривой в декартовых координатах, в случае параметрического задания кривой, в полярных координатах.

40. Площадь поверхности вращения.

41. Несобственные интегралы от непрерывных функций на бесконечном промежутке и от неограниченных на отрезке функций. Основные определения и свойства.

42. Признак сравнения несобственных интегралов от неотрицательных функций (в двух формах).

Экзамен (2 семестр).doc

Промежуточная аттестация №2

Экзамен (семестр 2)

Семестр:

Вид контроля:

Вопросы:

1. Числовые ряды. Основные определения, свойства.

2. Необходимое условие сходимости. Свойства сходящихся рядов.

3. Признак сравнения (доказательство) и предельный признак сравнения (без доказательства) для рядов с неотрицательными членами.

4. Предельные признаки Коши и Даламбера для рядов с неотрицательными членами (доказательство одного признака).

5. Знакопеременные числовые ряды. Признак Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда.

6. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Признаки Коши, Даламбера для знакопеременных рядов (доказательство одного из них).

7. Функциональный ряд. Сходимость, равномерная сходимость, область сходимости. Свойства равномерносходящихся функциональных рядов (формулировки).

8. Степенной ряд. Теорема Абеля (доказательство). Следствие. Область сходимости степенного ряда.

9. Теоремы о равномерной сходимости, непрерывности суммы, интегрировании и дифференцировании степенного ряда. Следствия о бесконечной дифференцируемости сходящегося степенного ряда (формулировки).

10. Ряд Тейлора. Теорема Тейлора, теорема единственности (вывод).

11. Теорема о разложимости функции в ряд Тейлора.( с выводом) Основные разложения. Операции над степенными рядами.

12. Свойства периодических функций.

13. Ортогональные системы функций и их свойства. Ортонормированные системы.

14. Система ортогональных функций. Система ортонормированных функций. Ряд Фурье по любой системе ортогональных функций.

15. Тригонометрический ряд. Определение коэффициентов тригонометрического ряда.

16. Ряд Фурье. Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье (без доказательства). Разложение в ряд Фурье функции. Разложить в ряд Фурье функцию .

17. Тригонометрический ряд Фурье для четных и нечетных функций.

18. Разложение в ряд Фурье по синусам или по косинусам. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию..

19. Тригонометрический ряд Фурье для непериодической функции, заданной на конечном промежутке.

20. Дать определение функции двух и более переменных, области определения, линии уровня. Дать определение предела функции двух и более переменных.

21. Непрерывность функции нескольких переменных.

22. Дать определение частных производных.

23. Определить и вывести уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.

24. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Теорема о необходимых условиях дифференцируемости.(вывод)

25. Теорема о достаточном условии дифференцируемости функции двух переменных (формулировка).

26. Дать определение полного дифференциала функции нескольких переменных. Пояснить геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.

27. Теоремы о производной сложной функции.(вывод)

28. Инвариантность формы записи дифференциала (вывод). Свойства дифференциала.

29. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных (без доказательства).

30. Дать определение производных и дифференциалов высших порядков. Вывести формулу дифференциала второго порядка для функции двух переменных.

31. Формула Тейлора для функции двух переменных (без вывода).

32. Скалярное поле. Производная по направлению и градиент (дать определения, вывести формулу для вычисления производной по направлению).

33. Градиент и его свойства. Свойства доказать.

34. Неявные функции (определение). Достаточное условие существования неявной функции (без доказательства). Вывести формулы для производных неявно заданных функций двух и трех переменных.

35. Вывести уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности (или кривой), заданной неявно.

36. Экстремумы функций нескольких переменных (определение). Теорема о необходимом условии экстремума (доказать).

37. Экстремумы функций нескольких переменных (определение). Достаточное условие экстремума ( без доказательства).

38. Условный экстремум. Нахождение условного экстремума методом исключения переменных.

39. Условный экстремум. Обосновать и описать метод Лагранжа.

40. Интеграл по мере. Определение интеграла по мере как предела интегральных сумм.

41. Теоремы о существовании интеграла по мере, свойства интегралов по мере (сформулировать).

42. Обобщенная теорема о среднем (доказать).

43. Двойной интеграл. Необходимое условие существования. Достаточное условие существования. Теорема о существовании и вычислении двойного интеграла (только формулировки).

44. Нахождение массы плоского тела, статических моментов и моментов инерции, координат центра тяжести.

45. Вычисление площади гладкой поверхности с помощью двойного интеграла (вывод).

46. Якобиан отображения. Геометрический смысл модуля якобиана отображения (с выводом).

47. Теорема о замене переменных в двойном интеграле (вывод). Переход к полярным координатам в двойном интеграле (вывод).

48. Тройной интеграл. Теорема о существовании и вычислении тройного интеграла (без доказательства). Механические приложения тройного интеграла.

49. Замена переменных в тройном интеграле. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам (вывод).

50. Криволинейный интеграл первого рода. Определение. Теорема о существовании.(без доказательства) Вычисление криволинейного интеграла первого рода.

51. Поверхностный интеграл первого рода. Определение. Теорема о существовании (без доказательства)

52. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

53. Криволинейный интеграл второго рода. Работа векторного поля.

54. Поверхностный интеграл второго рода. Вычисление потока.

25