Линал (Ответы к билетам (теория+практика) 2016), страница 2

Квадратичная форма с матрицей А в некотором базисе называется положительно определенной тогда и только тогда когда все главные миноры этой матрицы положительны и отрицательно определенной тогда и только тогда когда главные миноры матрицы чередуются знаками начиная с минуса.

2

Рассмотрим ф-ю непрерывную в месте с частной производной в области D. Градиентом ФНП в некоторой точке называют вектор координаты которого являются соответственные частные производные вычисленные в этой точке.

Свойства градиента

1)Если функция f: Rⁿ → R дифференцируема в точке x ∈ R n , то в этой точке

Доказательство

В случае n = 2 или 3 соотношение эквивалентно в силу формулы связи между ортогональной проекцией и скалярным произведением двух векторов:

в которой надо взять x = , y = grad f(x) и учесть, что | | = 1. При n > 3 формулу следует трактовать как определение ортогональной проекции вектора y на направление вектора x.

2) Если функцияf: Rⁿ → Rдифференцируема в точкеx∈Rnи , то приn = gradf(x) имеем

Доказательство

Если n = grad f(x), то и:

3)Если функция f: Rⁿ → R дифференцируема в точкеx∈R_n , то в этой точке вектор grad f(x) указывает направление наибольшего роста функции f(x).

Доказательство

В силу неравенства Коши —Буняковского для любого вектора n

причем несложно убедиться, что в случае, когда приведенное неравенство превращается в равенство.Действительно, тогда где , и

.

Докажем, что никакое другое направление не является направлением наибольшего роста. Отметим, что для несовпадающих единичных векторов n₁ и n₂ в силу легко проверяемого тождества

верно неравенство (n₁, n₂) < 1. Поэтому если единичный вектор имеет то же направление, что и , а — любой другой единичный вектор, то имеем

4)Если функция f: Rⁿ → R дифференцируема в точке x, то в этой точке вектор −grad f(x) задает направление наибольшего убывания функции f(x).

Доказательство

При изменении направления вектора на противоположное производная дифференцируемой функции по направлению меняет знак. Поэтому если вектор указывает направление наибольшего убывания функции, то вектор указывает направление наибольшего возрастания функции. В самом деле, если функция возрастает в направлении некоторого вектора a быстрее, чем в направлении вектора то она и убывает в направлении вектора быстрее, чем в направлении вектора n. Но

это противоречит выбору вектора n как вектора, определяющего направление наибольшего убывания функции. Согласно свойству 3, вектор имеет то же направление, что и вектор . Следовательно, вектор n по направлению совпадает с вектором

5) Если функция f: Rⁿ → R дифференцируема в точке , то наибольшая скорость роста (убывания) функции f(x) в этой точке равна

Доказательство

Согласно свойствам 2 и 3, производная функции по направлению вектора (направлению наибольшего роста) равна . Производная попротивоположному направлению, определяющая наибольшую скорость убывания функции отличается лишь знаком и равна

Связь между градиентом и производной по направлению

Пусть дано скалярное поле и определено в этом поле, поле градиентов

Производная по направлению вектора равняется проекции вектора

Доказательство

Рассмотрим единичный вектор соответсвующий вектору

Вычислим скалярное произведение векторов

Выражение стоящее в правой части есть производная по направлению вектора следовательно мы можем записать

Если обозначить угол между то можем записать

Теорема доказана

№8

1 Квадратичная форма -   функция

– коэффициенты квадратичной формы.

Матричная запись квадратичной формы 

Ее ранг - ранг квадратичной формы. Если матрица A имеет максимальный ранг, равный числу переменных n, то квадратичную форму называют невырожденной, а если , то ее называют вырожденной.

В координатной форме

Теорема (О ранге КФ)

Ранг матрицы квадратичной формы не зависит от выбора базиса.

Закон инерции

Если квадратичная форма приводится к сумме квадратов в двух разных базисах, то число членов с положительными коэффициентами, так же как и число членов с отрицательными коэффициентами, в обоих случаях одно и то же. 

Если квадратичная форма содержит только квадратичную переменную то такой вид то такой вид называется каноническим.

Базис в котором квадратичная форма имеет канонический вид называется каноническим.

2. Пусть зависят от переменных, непрерывны и дифференцируемы по ним. Введём векторы и Функция называется вектор-функцией векторного аргумента.

Матрицей Якоби для векторной ФНП называется матрица, элементами которой являются частные производные от координат вектора по координатам вектора :

Если то такой определитель называют якобианом

Производная сложной ВФНП

Если векторная функция непрерывна в точке а непрерывна в то сложна ВФ дифференцируема в точке .

Рассмотрим частные производные = y-сложная ВФНП

Составим матрицу Якоби

теорема доказана

№9

Квадратичная форма -   функция

– коэффициенты квадратичной формы.

Матричная запись квадратичной формы 

В координатной форме

В векторно-матричной форме имеет вид

Если квадратичная форма содержит только квадратичную переменную то такой вид то такой вид называется каноническим.

Базис в котором квадратичная форма имеет канонический вид называется каноническим.

Теорема

Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду линейными ортогональными преобразованиями.(метод Лагранжа)

Пример

2Функция   имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки  , для всех точек   которой, отличных от  ,выполняется неравенство  (

Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции 

  Если   - точка экстремума функции f, то

 Достаточные условия локального экстремума дважды дифференцируемой функции 

 Обозначим  

Если D > 0, A > 0, то   - точка минимума.

Если D > 0, A < 0, то  -  точка максимума.

Если D < 0, экстемума в точке    нет.

Если D = 0, необходимы дополнительные исследования.

Доказательство необходимости

Геометрическое доказательство очевидно. Если в точке M0 провести касательную плоскость то она естественно пройдет горизонтально те под углом к оси и к оси .Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных

№10

1.Базисом линейного пространства L называют любую упорядоченную систему векторов, для которой выполнены два условия:

1) эта система векторов линейно независима;

2) каждый вектор в линейном пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы. где

Матрицу называют матрицей перехода от старого базиса b к новому базису c.i-й столбец матрицы перехода есть столбец координат i-го вектора нового базиса в старом. Поэтому говорят, что матрица перехода состоит из координат векторов нового базиса в старом, записанных по столбцам. Каждый вектор из базиса может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса b:

2.

Производную функции в точке называют частной производной функции нескольких переменных в точке по переменному . Аналогично можно определить частные производные функции и по другим переменным.

Частную производную функции называют частной производной второго порядка функции в точке по переменным и и обозначают .

Теорема (о смешанных частных производных).

Пусть функция (n > 1) в некоторой окрестности точки a ∈Rⁿ имеет частные производные первого порядка и , , а также смешанные производные и . Если эти смешанные производные являются непрерывными в точке , функциями по части переменных и , то в этой точке их значения совпадают, т.е.

Доказательство

При доказательстве теоремы значения всех переменных, кроме xi и xj , можно считать фиксированными. Поэтому можно вести речь о функции, имеющей только два аргумента и , которые удобно переобозначить: = x, = y. Итак, пусть функция f(x, y) в некоторой окрестности U точки (p, q) имеет частные производные первого порядка и смешанные производные , , причем обе смешанные производные непрерывны в самой точке (p, q). Покажем, что в этой точке смешанные производные равны. Выберем такое число δ > 0, что при |∆x| < δ, |∆y| < δ точка (p + ∆x, q + ∆y) попадает в окрестность U. Тогда в квадрате |∆x| < δ, |∆y| < δ определена функция g(∆x,∆y) = f(p+∆x, q+∆y)−f(p+∆x, q)−f(p, q+∆y) + f(p, q).

Для функции одного переменного имеем . Функция (x) на отрезке [p, p + ∆x] (или [p + ∆x, p] при ∆x < 0) имеет производную и потому непрерывна на этом отрезке.

Следовательно, к функции (x) на указанном отрезке можно применить теорему Лагранжа. Согласно этой теореме, существует такое число ϑ ∈ (0, 1), что