Линал (Ответы к билетам (теория+практика) 2016), страница 3

Итак

Разность в квадратных скобках представляет собой приращение функции одного переменного на отрезке [q, q + ∆y] (или минус приращение на отрезке [q + ∆y, q] при ∆y < 0): На отрезке [q, q + ∆y] функция λ(y) имеет производную λ 0 (y) = (p + ϑ∆x, y) и является поэтому непрерывной на этом отрезке. Значит, и к этой функции на указанном отрезке можно применить теорему Лагранжа.

Мы приходим к выводу, что , где ϑ1 ∈ (0, 1) — некоторое число.

В результате находим, что g(∆x, ∆y) = (p + ϑ∆x, q + ϑ1∆y)∆x∆y.

Равенство было получено в результате двукратного применения теоремы Лагранжа, причем сперва она применялась по переменному x, затем — по переменному y. Но те же рассуждения можно повторить, поменяв лишь порядок переменных. Тогда получим равенство, аналогичное, но включающее другую смешанную производную. Действительно, если функцию g(∆x, ∆y) представить в виде g(∆x, ∆y) = ψ(q + ∆y) − ψ(q), где ψ(y) = f(p + ∆x, y) − f(p, y), то получим g(∆x, ∆y) = ψ’ (q + ϑ2∆y)∆y = f’y (p + ∆x, q + ϑ2∆y) – f’ y (p, q + ϑ2∆y) ∆y, где ϑ2 ∈ (0, 1).

Повторно применяя теорему Лагранжа к разности в квадратных скобках, приходим к равенству

Соединяя равенства, а затем сокращая на произведение , получаем

Переходя в этом равенстве к пределу при (∆x, ∆y) → (0, 0), заключаем, что (p, q) = (p, q), так как по условию теоремы смешанные производные и непрерывны в точке (p, q).

№11

Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора , если такое число , что . Число называется собственным значением оператора ,соответствующего вектору . Многочлен относительно называется характеристическим многочленом оператора .

Теорема о ЛНЗ собственных векторов: Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям ЛНЗ.

Док-во: Метод математической индукции:

1)Если существует одно собственное значение и ему соответствует вектор , то ЛК только при , т.к. не равен нулю по определению.

2)Допустим, что утверждение верно для собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям, т.е. для различных

только при .

3)Рассмотрим систему , где и не равно ; Составим ЛК векторов этой системы равную нуль-вектору и подействуем на нее ЛО : (a) ; ; (б) ; cоставим комбинацию : , т.к. -ЛНЗ ; все , т.к. не равно , то все , тогда из (а): , т.к. не равен нулю , т.е. в (а): ЛК обращается в 0 только при всех система _– ЛНЗ.

Теорема о матрице ЛО в базисе из собственных векторов:

Матрица линейного оператора имеет диагональную форму тогда и только тогда, когда она записана в базисе, составленном из собственных векторов.

2.

В общем случае мы называем ФНП отображение вида , где принадлежит . Если , т.е. значением отображения является действительное число (скалярная величина), отображение называют скалярной ФНП. Если же , то указанное отображение называют векторной ФНП или векторной функцией векторного аргумента.

Функции нескольких переменных , называют координатными функциями векторной функции . Для представления векторной функции используют координатную форму записи .

Пусть заданы векторная ФНП , множество принадлежащее и предельная точка множества . Точку принадлежащую называют пределом функции в точке по множеству , если для любой -окрестности точки существует такая проколотая -окрестность точки , что принадлежит при принадлежащем , в этом случае, как и в скалярном, записывают

, или при . Если , то говорят просто о пределе функции в точке и обозначают его, опуская упоминание множества

Векторная ФНП называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке: существует .

Векторная ФНП называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества.

№12

1.Дайте определение линейного оператора и его матрицы в заданном базисе линейного пространства. Дайте определение собственного значения и собственного вектора ЛО. Сформулируйте теорему о собственных векторах соответствующих попарно различным собственным значениям. Докажите теорему о матрице ЛО в базисе из собственных векторов.

Линейным отображением векторного пространства   над полем   в векторное пространство   (линейным оператором из   в  ) над тем же полем   называется отображение , удовлетворяющее условию линейности для всех   и  .

 Ненулевой вектор   называется собственным вектором линейного оператора  , если   , такое, что   Число   называется собственным числом (собственным значением) оператора  , соответствующим этому собственному вектору.

Определение: Число называется собственным значением оператора  , если существует такой ненулевой вектор  , что справедливо равенство  .

Если в линейном пространстве действует линейный оператор ,то в некоторой матрице, элементами столбцов которой являются координаты образов соответственных базисных векторов, разложенных по называют матрицей в заданном базисе линейного пространства

Теорема: собственные векторы соответствующие попарно различным собственным значениям –ЛНЕЗ

Теорема: Матрица линейного оператора в некотором базисе является диагональной, т.к. все векторы базиса –собственные векторы линейного оператора.

Доказательство: В мат. ЛО А : ; Из определения матрицы :

1) - собственный вектор линейного оператора

2) -собственный вектор => все -собственные векторы

Дано: из определения матрицы линейного оператора следует

– диагональная матрица.

2.

Дайте определение дифференцируемой в точке ФНП, ее полного и частных дифференциалов. Напишите формулы для их вычисления.

Определение: Функция   определенная в окрестности   называется дифференцируемой в этой точке, если ее приращение в   , что 

Линейная (относительно   и  ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается  : 
, где   и   – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям   и  .

Определение: Частным дифференциалом ФНП в т. , по переменной называется главная часть частного приращения функции по этой переменной, линейная относительно приращения : .

№13

1.

Пусть — евклидово пространство.

Линейный оператор называют сопряженным к линейному оператору , если для любых векторов верно равенство

Теорема

Любому линейному оператору соответствует единственный сопряженный оператор , причем его матрицей в любом ортонормированном базисе является матрица , транспонированная матрице линейного оператора в том же базисе .

Доказательство

Докажем, что линейный оператор с матрицей в базисе является сопряженным к линейному оператору . Для этого достаточно проверить выполнение равенства 5.2

для любой пары векторов Пусть — столбцы координат векторов в базисе . Тогда вектор имеет столбец координат , а левая часть равенства 5.2 равна что следует из ортонормированности базиса . Аналогично правая часть этого равенства имеет вид Следовательно, равенство 5.2 в координатной записи имеет вид 5.3

Так как в силу свойств матричных операций, равенство 5.3 эквивалентно равенству , 5.4

которое при превращается в тождество. Если некоторый линейный оператор является сопряженным к линейному оператору , то для любых векторов выполняется равенство (5.2). Значит, для матриц этих операторов равенство (5.4) выполняется для любых столбцов . Согласно доказанной лемме,

Поэтому линейный оператор определен однозначно, так как однозначно определена его матрица.

2.

Матрицей Якоби для векторной ФНП называется матрица, элементами которой являются частные производные от координат вектора по координатам вектора :