Линал (1003687), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

№23

1.Дайте определение самосопряженного линейного оператора (ЛО).

Оператор называется самосопряженным по отношению к ЛО , если равны скалярные произведения

Дайте определение собственного значения и собственного вектора ЛО.

Ненулевой называется собственным вектором ЛО, если его образом является сам этот вектор, умноженный на некоторое число , k R. Число k называется собственным значением ЛО.

Сформулируйте свойства собственных значений и собственных векторов самосопряженного ЛО.

Собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

Если А — самосопряженный оператор, то собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям этого оператора, ортогональны.

Любое собственное значение X произвольного линейного самосопряженного оператора А в евклидовом пространстве равно скалярному произведению (Ах, х), где х — некоторый вектор, удовлетворяющий условию ||х|| = 1:

У каждого самосопряженного линейного оператора А, действующего в n-мерном евклидовом пространстве V, существует n линейно независимых попарно ортогональных и единичных собственных векторов. Пусть А — самосопряженный оператор, а m и М — точные грани (Ах, х) на множестве ||х||=1. Эти числа представляют собой наименьшее и наибольшее собственные значения оператора А.

2. Дайте определение дифференцируемой в точке ФНП.

ФНП, определенная в некоторой окрестности точки x называется дифференцируемой в точке, если полное приращение функции в этой точке можно представить в виде , где - число, и

Сформулируйте и докажите теоремы о необходимых условиях дифференцируемости ФНП.

1)Если ФНП дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

Дано: дифференцируема в точке x, .

По определению .Тогда . Заменим

Перейдем к пределу при , => = + +

определена в точке x, имеем предел при стремлении к x и он совпадает со значением функции.

2)Если ФНП дифференцируема в точке , то в этой точке конечные ЧП по всем направлениям.

Дано: дифференцируема в точке x, .

Возьмем все приращения кроме равными 0. =0, => - = y => = .

Рассмотрим => конечные ЧП

№24

Дайте определение евклидова пространства (ЕП).

Действительным ЕП называется ЛП, в котором задан закон, по которому каждой паре векторов ставится в соответствие число , называемое его скалярным произведением.

Дайте определение нормы вектора и сформулируйте ее свойства.

Нормой вектора называется число, которое обозначается .

Свойства:

1. , причем

2. =k

2. Дайте определение полного дифференциала ФНП.

Полным дифференциалом ФНП в точке xвкоторой она дифференцируема, называется главная часть ее полного приращения в этой точки, линейная относительно приращения аргументов

Сформулируйте теорему о том, что выражение является полным дифференциалом функции двух переменных. Докажите необходимое условие.

Если непрерывны вместе со своими ЧП в некоторой области D R², то выражение является полным дифференциалом некоторой функции.

Дано:

, . Вычислим ; ,т.к. по условию смешанные произведения непрерывны, то из теоремы о смешанных произведениях они равны =>
=

№25

Определение
Ненулевой в-р х наз-ся собственным вектором ЛО, если его образ равен самому вектору, умноженному на какое-то число. Это число – собственное значение ЛО.
Все корни характеристическогоур-я действительные и различные →в пространстве Ǝ базис из собственных в-в, где матр. ЛО имеет диагональный вид, причём на главное диагонали расположено собственное значение ЛО; матрица ЛО А в некотором базисе является диагональной, т.к. все векторы базиса – собственные векторы
Мн-во упорядоченных наборов – эл-ты пространства ,которое можно рассматривать как векторы или n – мерные т-ки.
Ф-я, опр на – отображение . Если m>1, то y=F(x) – з-н, по которому n – мерной т. ставится в соответствие единственная m – мерная т. , и этот з-н наз-ся ВФНП. При , , при координата – скалярная ФНП, , и все – координатные формы.
Теорема
M – мерная т-ка наз-ся пределом y=F(x) при ,если эта ф-я определена в , и для найдётся такое, что для , удовл. условию выполняется нерав-во , где , .
Теорема
m – мерная т. – предел ВФ y=F(x) при m и mm,k его координата – предел соотв. координатной ф-ии при .
Док-во: дано ,т.е. для → → .

№26

Определение
КФ имеет только квадраты переменных → КФ представлена в каноническом виде. Любую КФ можно привести к такому виду линейным ортогональным преобразованием.Алгоритм:1)записать КФ в виде матрицы, привести к диагональному виду; 2) ; 3) → – собственные в-ры; 4)ортогонализируем ; 5)составляем ортонорм. базис из собств. в-в; 6)в базисе , где B – матрица перехода, D соответствует КФ – канонический вид
Определение
Ф-я y=f(x) дифф-ма в т. х → главная линейная относительно приращений аргументов, часть её полного приращения наз–ся полным дифф. ф-ии. . Пусть z=F(u,v) – ф-я 2-х переменных(u=u(x,y);v=v(x,y)).Тогда z=F(u(x,y),v(x,y))=F(x,y) – сложная ФНП.
Теорема
Если z=f(u,v) дифф-ма в т. , а ф-ии u=u(x,y) и v=v(x,y) дифф. в т-ке , то сложная ф-я z=f(u(x,y)),v(x,y)) диф. в т. , причём ЧП = ;
Теорема
y=f(x) диф-ма в т. и диф-ма d d =

Б27
Определение
Линейный оператор А из L(V, V) называется самосопряженным, если справедливо равенство
Теорема
А - самосопр., х: и у: , . Из опр → ; ( , т.к. , то
Теорема
Для самосопр. оператора существует ортонормированный базис из собственных в-в
Док-во: характ. многочлен имеет только вещественные корни. Возьмём , для собств. в-ра , построим одномерное ЛП
Построим ортонормированный базис .Тогда в базисе матрица и симметр. матрица размера . Т.к. симметрична,то имеет только вещественные корни. Повторяем для . Размерность каждый раз увеличивается на 1 → матрица диагональна →Ǝ ортонорм.базис
Определение
ЧП-ой ВФНП y=f(x) по - ой в т.xназ-ся предел отношений частного приращения ВФ, вызванного приращением к самому приращению , при . . ВФ дифф-ма в т-ке, если полное приращение в этой т-ке можно представить в виде , – m – мерный в-р .Полный дифф ВФНП в т.х – главная часть её полного приращения в этой т-ке, линейно относительно приращению аргумента

Б27
Определение
Линейный оператор А из L(V, V) называется самосопряженным, если справедливо равенство
Теорема
А - самосопр., х: и у: , . Из опр → ; ( , т.к. , то
Теорема
Для самосопр. оператора существует ортонормированный базис из собственных в-в
Док-во: характ. многочлен имеет только вещественные корни. Возьмём , для собств. в-ра , построим одномерное ЛП
Построим ортонормированный базис .Тогда в базисе матрица и симметр. матрица размера . Т.к. симметрична,то имеет только вещественные корни. Повторяем для . Размерность каждый раз увеличивается на 1 → матрица диагональна →Ǝ ортонорм.базис
Определение
ЧП-ой ВФНП y=f(x) по - ой в т.xназ-ся предел отношений частного приращения ВФ, вызванного приращением к самому приращению , при . . ВФ дифф-ма в т-ке, если полное приращение в этой т-ке можно представить в виде , – m – мерный в-р .Полный дифф ВФНП в т.х – главная часть её полного приращения в этой т-ке, линейно относительно приращению аргумента

Б28

1.

Ортогональная матрица - квадратичная матрица с вещественными элементами, результат умножения которой на транспонированную равен единичной матрице: или, что эквивалентно, ее обратная матрица равна транспонированной матрице .

Свойства:

1. Док-во:

2. Столбцы и строки ортогональной матрицы образуют системы ортонормированных векторов. Док-во: и , где ̶ символ Кронекера.

3. Обратная к ортогональной матрица тоже ортогональна.

Док-во: Пусть или, что то же самое, . Транспонируя обе части, получим : или , что означает ортогональность матрицы .

4. Произведение ортогональных матриц — ортогональная матрица.

Док-во: Пусть и ̶ ортогональные матрицы. Так как , то

Оператор , действующий в евклидовом пространстве, называется ортогональным, если

Теорема о матрице в ортонормированном базисе:

ЛО является ортогональным т. и т. т., когда в любом ортонормированном базисе ему соответствует ортогональная матрица.

Док-во: ) Дано: в евклидовом пространстве действует ортогональный ЛО , т.е.

Док-во: В некотором ортонормированном базисе этому равенству соответствует:

̶ ортогональная матрица.

) Дано: : в ортонормированном базисе ему соответствует

Док-во: Вычислим

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)