Линал (Ответы к билетам (теория+практика) 2016), страница 5

№19

Дайте определение ортонормированного базиса евклидова пространства. Опишите процесс ортогонализации системы векторов (Грама-Шмидта). Докажите теорему о существовании в n-мерном евклидовом пространстве ортонормированного базиса.

Определение: Базис   евклидова пространства называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:

; i=1,2,…,n ; j=1,2,…,n;

Ортонормированный базис можно построить, отталкиваясь от некоторого исходного базиса, при помощи алгоритма, который называют процесс ортогонализации Грама-Шмидта:

Пусть -некоторый базис в n-мерном евклидовом пространстве . Модифицируя этот базис, мы будем строить новый базисe , который будет ортонормированным. Последовательно вычислим векторы и т.д. по формулам :

………………….. ……..

;

Теорема: В любом евкидовом пространстве существует ортонормированные базис.

Доказательство:

Возьмем в евклидовом пространстве не ортогональный базис ( ) применяя процесс ортогонализации Грамма-Шмидта построим ортогональную систему ( ) которой является базис евклидового пространства ,если среди них нет нулевого вектора

Допустим, что в процессе получим

0= = + так как для любого i=1,j – ЛК ( )

( ) –ЛЗ следовательно

( ) –ЛЗ, что противоречит условию, отсюда следует i=1,n следовательно построенная система является базисом

2. Дайте определение дифференцируемой в точке ФНП. Полного дифференциала и дифференциалов высших порядков этой функции. Напишите формулы для их вычисления.

Определение:

Функция f( ) определенная в окрестности ±( ) называется дифференцируемой в этой точке, если ее приращение Δf в ±( )

∆f( )= ∆f( )– f( )= +σ( ) , что ∆

Линейная (относительно ∆x и ∆y) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается dz:  ,
где dx и dy – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям ∆x и ∆y.

Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции z в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть  .

Для функции, зависящей от одной переменной z=f(x) второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции z=f(x) :

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что dx есть произвольное и не зависящее от x , которое при дифференцировании по x следует рассматривать как постоянный множитель.

№20

1. Ненулевой вектор   называется собственным вектором оператора A, если оператор A переводит   в коллинеарный ему вектор, то есть .Число λ называется собственным значением.

Алгоритм

1. Для заданной матрицы   составить характеристическое уравнение : 

2. Решить характеристическое уравнение и найти собственные значения 

3. Для каждого собственного значения составить систему и найти собственные векторы 

Необходимое условие

Число – собственное значение, если в некотором базисе В, оно является корнем уравнения

Теорема( о инвариантности характеристического многочлена)

Характеристический многочлен инвариантен относительно базиса.

Доказательство

матрицы А₁ и А₂ линейного преобразования  в базисах 1 и 2 являются, согласно подобными:  где  — матрица перехода от базиса 1 к базису 2. характеристические многочлены подобных матриц совпадают.

2. Если уравнение ФНП связывает и аргументы , то функция называется неявно заданной.

Теорема о существовании неявной ФНП

Если функция непрерывна вместе со своими ЧП в окрестности , в самой точке , а , то некоторой окрестности непрерывная функция , однозначно определенная уравнением .

Теорема о дифференцируемости неявной ФНП

Если функция непрерывна вместе со своими ЧП в окрестности , в самой точке , а , неявно заданная функция опред-я в некоторой окрестности ур-е является дифференцируемой в той точке и имеет производную .

Док-во:

Пусть удовлетворяет в окрестности условиям теоремы. Дадим такое , чтобы . Тогда , т.к. . Т.к. и непрерывны в , функция дифф-а в точке , где и .

Заметим, что т.к. непрерывна, ; , ̶ б.м. более высокого порядка относительно ,

число ̶ по опред. дифф-а в точке .

Рассмотрим

№21

1. Дайте определение билинейной (или квадратичной) формы и ее матрицы.

Определение. Билинейной формой на линейном пространстве   над полем  называется функция  двух векторных аргументов, принимающая значения из поля  , линейная по каждому из своих аргументов, т. е. удовлетворяющая следующим условиям:  

1*.  ;

2*.  ;

3*.  ;

4*.  ;

Рассмотрим N-мерное линейное пространство   и выберем в нем какой-либо базис  (1) Каждый вектор пространства   можно разложить по этому базису:  . Тогда . (2) Из (2) видно, что значение билинейной формы для любых двух векторов  выражается через координаты этих векторов и некоторые числа  , которые с аргументами  никаким образом не связаны, а зависят только от выбранного базиса. Обозначим . (3)Из (2) вытекает: . (4)Равенство (4) называется координатной формой записи билинейной формы.

Определение. Матрицей билинейной формы   в базисе (1) называется матрица  , где  .Обозначим,  -координатные столбцы векторов  соответственно в заданном базисе. Заметим, что  - это число, которое можно рассматривать как матрицу размеров 1x1. В таком случае, (4) можно переписать и так: , откуда вытекает, что . (5) Равенство (5) называется матричной формой записи билинейной формы.

Докажите теорему о связи между матрицами одной и той же формы в разных базисах.

Если А, А₁ – матрицы линейного преобразования пространства R_n соответственно в базисах {e},{e’} Т- матрица перехода от базиса {e} к {e’}, то

Док-во: рассмотрим векторы . Их координатные столбцы X и Y в базисе {e} связаны равенством => (1). С другой стороны и . Отсюда (2)

Из (1) и (2) =>

2. Дайте определение сложной ФНП.

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки . Пусть ее аргументы x и y в свою очередь являются функциями  , и определены в некоторой окрестности точки t₀ , причем  Тогда в окрестности точки t₀ определена сложная функция аргумента t: .

Сформулируйте теорему о ее дифференцируемости.

Пусть функции одной переменной дифференцируемы в точке , , а – функция n переменных, дифференцируемая в точке . Тогда сложная функция определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема в этой точке, причём

№22

1.Дайте определение квадратичной формы (КФ).

КФ называется функция f( , равная билинейной форме, которая комбинирует с самим собой.

Запишите ее в координатном и матричном виде.

Координатный:
Матричный:

Дайте определение канонического вида КФ и ее канонического базиса.

Если КФ содержит только квадратичные переменные, то ее вид называется каноническим. Базис, в котором КФ имеет канонический вид, называется каноническим.

Докажите теорему о возможности приведения любой КФ к каноническому виду методом ортогонального преобразования.

Док-во: собственно симметрична матрице , т.к. симметрическую матрицу можно привести к диагональному виду ортогональным преобразованием с ортогональной матрицей , ,…, ), где k_i– собственное значение матрицы А. Элементами B являются ортонормированные собственные векторы матрицы А. Тогда в новом В’ (из собственных векторов) матрица D соответствует КФ вида – канонический вид. Связь X=BX’ между переменными => старые переменные есть ЛК новых.

2.Дайте определение непрерывности ФНП в точке на множестве.

ФНП называется непрерывным в точке , если она определена в он равен значению . ФНП называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой его точке.

Определения изолированной точки разрыва, линии и поверхности разрыва. Приведите примеры.

Если точки разрыва образуют непрерывную линию, то она называется линией разрыва. Если у точки разрыва окрестность, не содержащая других точек разрыва, то эта точка называется изолированной точкой разрыва.