Линал (Ответы к билетам (теория+практика) 2016), страница 4

Если то такой определитель называют якобианом

Производная сложной ВФНП

Если векторная функция непрерывна в точке , а непрерывна в то сложная ВФ дифференцируема в точке .

№14

1. Дайте определения линейного оператора (ЛО) и его матрицы в заданном базисе. Сформулируйте и докажите теоремы о преобразовании координат вектора под действием ЛО и о связи между матрицами одного и того же ЛО при переходе к новому базису.

Оператор , действующий в ЛП, называется линейным, если:

1) ; 2)

Определение:

Если в ЛП действует ЛО , то в некотором базисе матрица, элементами которой являются координаты образованных соотв. базисных векторов, разложенных по данному базису, называется матрицей ЛО.

Теорема:

Пусть в действует ЛО . Выберем базис . . В базисе

,

Обозначим , по

т.к. ̶ЛНЕЗ.

Если , а , то , . ч.т.д.

Теорема:

Пусть в ЛП действует ЛО . В базисе он имеет матр. . В базисе ̶ // ̶ . При векторы связаны и ,

.

2. Дайте определение частной производной и геометрической интерпретации частных производных функций 2-х переменных.

Ч.П. ФНП т. попеременной называется предел отношения приращения функции по данной переменной к приращению самой функции при стремлении ее к 0

Геометрическая интерпретация для определен в некоторой

.Графиком является поверхность . Выберем т. , где и рассмотрим уравнение плоскости ,а по кривой . Дадим приращение первой , где угол наклона секущей к плоскости по отношению к положительному направлению . Аналогично –угол наклона к относительно положительному направлению оси.

№15

1. Функцию, заданную на линейном пространстве L, которая каждому вектору x ∈ L ставит в соответствие действительное число , называют нормой, если она удовлетворяет следующим аксиомам нормы:

а) 0, причем равенство = 0 возможно только при x = 0;

б) ;

в (неравенство треугольника).

Неравенство Коши-Буняковского:

Для любого x, у выполняется следующее неравенство:

Доказательство

1)При x = 0 обе части неравенства равны нулю, значит, неравенство выполняется.

2)x 0. (λx − y, λx − y) > 0. используя аксиомы и свойства скалярного умножения: получили квадратный трехчлен относительно параметра λ (коэффициент (x, x) при λ ненулевой, так как x 0), неотрицательный. Следовательно, его дискриминант равен нулю или отрицательный, т.е.

Неравенство Минковского:

Доказательство

воспользуемся неравенством Коши — Буняковского, которое можно записать в виде

Или

Используя это неравенство, получаем

2.

Функция нескольких переменных отображение вида f: A → R^m, где A ⊂Rⁿ , n > 1. Если m = 1, т.е. значением отображения является действительное число (скалярная величина), отображение называют скалярной функцией нескольких переменных

Множество D(f) = A ⊂Rⁿ , на котором определена функция f: A ⊂Rⁿ → R^m, называют областью определения (существования) функции .

Линией уровня функции двух переменных называется линия на плоскости XOY, принадлежащая D(f), в каждой точке которой функция принимает одно и то же значение.

Поверхностью уровня функции n переменных y=f(х₁, х₂, …, х_n) называется гиперповерхность в пространстве Rⁿ, входящая в D(f), в каждой точке которой значение функции одно и то же.

Градиентом ФНП в некоторой точке называется вектор, координатами которого являются соответствующие частные производные, вычисленные в данной точке.

Градиент функции в заданной точке направлен нормально к линии уровня функции, проходящей через данную точку.

№16

1. Дайте определение матрицы перехода к новому базису линейного пространства. Выведите формулу, связывающую координаты вектора в исходном и новом базисах.

Матрица, элементами столбцов которой являются координаты соответствующих новых базисных векторов, разложенных по старому базису, называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

̶ разложение по базису . Из теоремы о единственном разложении .

2. Дайте определение касательной плоскости и нормали к поверхности. Напишите их уравнения. Сформулируйте теорему о существовании касательной плоскости к поверхности.

Если существует плоскость, содержащая касательные по всем кривым, проходящим по поверхности через точку , то эта плоскость называется касательной к поверхности в точке . Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной плоскости к поверхности называется нормалью к поверхности.

Уравнение касательной плоскости: ;

Уравнение нормали: .

Теорема (о существовании касательной плоскости к поверхности)

Если в уравнении поверхности функция непрерывна вместе со своими ЧП в окрестности точки и , то существует плоскость , касательная к в точке .

№17

1. Дайте определение самосопряженного линейного оператора (ЛО). Докажите теорему о его матрице в ортонормированном базисе. Сформулируйте свойства собственных значений и собственных векторов самосопряженного ЛО.

ЛО , действующий в евклидовом пространстве , называется самосопряженном, если .

Теорема (о матрице самосопряженного ЛО в ортонормированном базисе)

ЛО , действующий в евклидовом пространстве , является самосопряженным тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе ему соотв. симметрическая матрица ( ).

Доказательство

В действует самосопряженный ЛО . в ортонормированный базис равенству соответствует матричное равенство:

, где ̶ симметрич. матрица

В ортонормированном базисе оператору соответствует матрица . Вычислим . Тогда: ̶ самосопряженный оператор.ч.т.д.

Свойства:

1) Если ̶ ЛО, действующий в евклидовом пространстве , то все корни хар. уравнения действительны ( ̶ матр. в некотором базисе);

2) Если ̶ ЛО, действующий в евклидовом пространстве , то корню хар. уравнения кратности соответствует ЛНЕЗ собственных векторов;

3) Если ̶ ЛО, действующий в евклидовом пространстве , то собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны;

4) Если ̶ ЛО, действующий в евклидовом пространстве , то существует ортонормированный базис из его собственных векторов.

2. Дайте определение векторной ФНП и ее координатных функций. Дайте определение дифференцируемой в точке векторной ФНП и сформулируйте теорему о ее дифференцируемости.

Определение

Множество упорядоченных наборов ̶ элем. пространства , которые логично рассматривать как векторы или -мерные точки. Функция, определенная на множестве ̶ отображение . Этот закон называется ВФНП.

Определение

ВФ называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить: ,

где , ̶ -мерный вектор, .

Теорема: ВФНП является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда в этой точке дифференцируемы все ее координатные функции (необходимость).

Теорема: Если ВФНП непрерывна вместе со своими ЧП в , то она дифференцируема в этой точке (достаточность).

№18

Дайте определение евклидова пространства и его ортогональных векторов. Докажите теорему о линейной независимости ортогональной системы векторов. Сформулируйте определения ортогонального и ортонормированного базисов евклидова пространства.

Определение: Вещественное линейное пространство   называется евклидовым, если каждой паре элементов u,v этого пространства поставлено в соответствие действительное число  , называемое скалярным произведением, причем это соответствие удовлетворяет следующим условиям:

=

Определение: Два вектора u и v евклидова пространства называются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю:  .

Если ненулевой вектор  b  ортогонален линейно независимой системе векторов   , то система   тоже линейно независима.

Доказательство:   Предположим, что система    линейно зависима, т.е.

.                               (1)

Так как    - линейно независимая система, то  . Умножим (1) скалярно на b , получим   , т.к. b≠0 , то  . Пришли к противоречию, следовательно, система векторов    линейно независима.

так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.

Определение: Базис    евклидова пространства называется ортогональным, если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.  при i≠j; i=1,2,…,n; j=1,2,…,n;

Определение: Базис     евклидова пространства называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице: ; i=1,2,…,n; j=1,2,…,n;

2.

Теорема Тейлора: Пусть k ≥ 1 является целым, и пусть функция f : R → R является k раз дифференцируемой в точке a ∈ R. Тогда существует функция   : R → R такая, что

=0 Формула Маклорена: