Shpora_Teoriya_Linal (Билеты 2016), страница 6

Заметим, что т.к. непрерывна, ; , ̶ б.м. более высокого порядка относительно ,

число ̶ по опред. дифф-а в точке .

Рассмотрим

Б21

1. Дайте определение билинейной (или квадратичной) формы и ее матрицы.

Определение. Билинейной формой на линейном пространстве   над полем  называется функция  двух векторных аргументов, принимающая значения из поля  , линейная по каждому из своих аргументов, т. е. удовлетворяющая следующим условиям:  

1*.  ;

2*.  ;

3*.  ;

4*.  ;

Рассмотрим N-мерное линейное пространство   и выберем в нем какой-либо базис  (1) Каждый вектор пространства   можно разложить по этому базису:  . Тогда . (2) Из (2) видно, что значение билинейной формы для любых двух векторов  выражается через координаты этих векторов и некоторые числа  , которые с аргументами  никаким образом не связаны, а зависят только от выбранного базиса. Обозначим . (3) Из (2) вытекает: . (4) Равенство (4) называется координатной формой записи билинейной формы.

Определение. Матрицей билинейной формы   в базисе (1) называется матрица  , где  . Обозначим,  -координатные столбцы векторов  соответственно в заданном базисе. Заметим, что  - это число, которое можно рассматривать как матрицу размеров 1x1. В таком случае, (4) можно переписать и так: , откуда вытекает, что . (5) Равенство (5) называется матричной формой записи билинейной формы.

Докажите теорему о связи между матрицами одной и той же формы в разных базисах.

Если А, А₁ – матрицы линейного преобразования пространства R_n соответственно в базисах {e},{e’} Т- матрица перехода от базиса {e} к {e’}, то

Док-во: рассмотрим векторы . Их координатные столбцы X и Y в базисе {e} связаны равенством => (1). С другой стороны и . Отсюда (2)

Из (1) и (2) =>

2. Дайте определение сложной ФНП.

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки . Пусть ее аргументы x и y в свою очередь являются функциями  , и определены в некоторой окрестности точки t₀ , причем  Тогда в окрестности точки t₀ определена сложная функция аргумента t: .

Сформулируйте теорему о ее дифференцируемости.

Пусть функции одной переменной дифференцируемы в точке , , а – функция n переменных, дифференцируемая в точке . Тогда сложная функция определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема в этой точке, причём

Б22

1.Дайте определение квадратичной формы (КФ).

КФ называется функция f( , равная билинейной форме, которая комбинирует с самим собой.

Запишите ее в координатном и матричном виде.

Координатный:
Матричный:

Дайте определение канонического вида КФ и ее канонического базиса.

Если КФ содержит только квадратичные переменные, то ее вид называется каноническим. Базис, в котором КФ имеет канонический вид, называется каноническим.

Докажите теорему о возможности приведения любой КФ к каноническому виду методом ортогонального преобразования.

Док-во: собственно симметрична матрице , т.к. симметрическую матрицу можно привести к диагональному виду ортогональным преобразованием с ортогональной матрицей , ,…, ), где k_i – собственное значение матрицы А. Элементами B являются ортонормированные собственные векторы матрицы А. Тогда в новом В’ (из собственных векторов) матрица D соответствует КФ вида – канонический вид. Связь X=BX’ между переменными => старые переменные есть ЛК новых.

2.Дайте определение непрерывности ФНП в точке на множестве.

ФНП называется непрерывным в точке , если она определена в он равен значению . ФНП называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой его точке.

Определения изолированной точки разрыва, линии и поверхности разрыва. Приведите примеры.

Если точки разрыва образуют непрерывную линию, то она называется линией разрыва. Если у точки разрыва окрестность, не содержащая других точек разрыва, то эта точка называется изолированной точкой разрыва.

Б23

1.Дайте определение самосопряженного линейного оператора (ЛО).

Оператор называется самосопряженным по отношению к ЛО , если равны скалярные произведения

Дайте определение собственного значения и собственного вектора ЛО.

Ненулевой называется собственным вектором ЛО, если его образом является сам этот вектор, умноженный на некоторое число , k R. Число k называется собственным значением ЛО.

Сформулируйте свойства собственных значений и собственных векторов самосопряженного ЛО.

Собственные значения самосопряженного оператора вещественны. 

Если А — самосопряженный оператор, то собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям этого оператора, ортогональны.

Любое собственное значение X произвольного линейного самосопряженного оператора А в евклидовом пространстве равно скалярному произведению (Ах, х), где х — некоторый вектор, удовлетворяющий условию ||х|| = 1:

У каждого самосопряженного линейного оператора А, действующего в n-мерном евклидовом пространстве V, существует n линейно независимых попарно ортогональных и единичных собственных векторов. Пусть А — самосопряженный оператор, а m и М — точные грани (Ах, х) на множестве ||х||=1. Эти числа представляют собой наименьшее и наибольшее собственные значения оператора А.

2. Дайте определение дифференцируемой в точке ФНП.

ФНП, определенная в некоторой окрестности точки x называется дифференцируемой в точке, если полное приращение функции в этой точке можно представить в виде , где - число, и

Сформулируйте и докажите теоремы о необходимых условиях дифференцируемости ФНП.

1)Если ФНП дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

Дано: дифференцируема в точке x, .

По определению .Тогда . Заменим

Перейдем к пределу при , => = + +

определена в точке x, имеем предел при стремлении к x и он совпадает со значением функции.

2)Если ФНП дифференцируема в точке , то в этой точке конечные ЧП по всем направлениям.

Дано: дифференцируема в точке x, .

Возьмем все приращения кроме равными 0. =0, => - = y => = .

Рассмотрим => конечные ЧП

Б24

Дайте определение евклидова пространства (ЕП).

Действительным ЕП называется ЛП, в котором задан закон, по которому каждой паре векторов ставится в соответствие число , называемое его скалярным произведением.

Дайте определение нормы вектора и сформулируйте ее свойства.

Нормой вектора называется число, которое обозначается .

Свойства:

1. , причем

2. =k

2. Дайте определение полного дифференциала ФНП.

Полным дифференциалом ФНП в точке x в которой она дифференцируема, называется главная часть ее полного приращения в этой точки, линейная относительно приращения аргументов

Сформулируйте теорему о том, что выражение является полным дифференциалом функции двух переменных. Докажите необходимое условие.

Если непрерывны вместе со своими ЧП в некоторой области D R², то выражение является полным дифференциалом некоторой функции.

Дано:

, . Вычислим ; ,т.к. по условию смешанные произведения непрерывны, то из теоремы о смешанных произведениях они равны =>
=

Б25
Определение
Ненулевой в-р х наз-ся собственным вектором ЛО, если его образ равен самому вектору, умноженному на какое-то число. Это число – собственное значение ЛО.
Все корни характеристического ур-я действительные и различные →в пространстве Ǝ базис из собственных в-в, где матр. ЛО имеет диагональный вид, причём на главное диагонали расположено собственное значение ЛО; матрица ЛО А в некотором базисе является диагональной, т.к. все векторы базиса – собственные векторы
Мн-во упорядоченных наборов – эл-ты пространства ,которое можно рассматривать как векторы или n – мерные т-ки.
Ф-я, опр на – отображение . Если m>1, то y=F(x) – з-н, по которому n – мерной т. ставится в соответствие единственная m – мерная т. , и этот з-н наз-ся ВФНП. При , , при координата – скалярная ФНП, , и все – координатные формы.
Теорема
M – мерная т-ка наз-ся пределом y=F(x) при ,если эта ф-я определена в , и для найдётся такое, что для , удовл. условию выполняется нерав-во , где , .
Теорема
m – мерная т. – предел ВФ y=F(x) при m и mm,k его координата – предел соотв. координатной ф-ии при .
Док-во: дано ,т.е. для → → .

Б26
Определение
КФ имеет только квадраты переменных → КФ представлена в каноническом виде. Любую КФ можно привести к такому виду линейным ортогональным преобразованием.Алгоритм:1)записать КФ в виде матрицы, привести к диагональному виду; 2) ; 3) → – собственные в-ры; 4)ортогонализируем ; 5)составляем ортонорм. базис из собств. в-в; 6)в базисе , где B – матрица перехода, D соответствует КФ – канонический вид
Определение
Ф-я y=f(x) дифф-ма в т. х → главная линейная относительно приращений аргументов, часть её полного приращения наз –ся полным дифф. ф-ии. . Пусть z=F(u,v) – ф-я 2-х переменных(u=u(x,y);v=v(x,y)).Тогда z=F(u(x,y),v(x,y))=F(x,y) – сложная ФНП.
Теорема
Если z=f(u,v) дифф-ма в т. , а ф-ии u=u(x,y) и v=v(x,y) дифф. в т-ке , то сложная ф-я z=f(u(x,y)),v(x,y)) диф. в т. , причём ЧП = ;
Теорема
y=f(x) диф-ма в т. и диф-ма d d =

Б27
Определение
Линейный оператор А из L(V, V) называется самосопряженным, если справедливо равенство
Теорема
А - самосопр., х: и у: , . Из опр → ; ( , т.к. , то
Теорема
Для самосопр. оператора существует ортонормированный базис из собственных в-в
Док-во: характ. многочлен имеет только вещественные корни. Возьмём , для собств. в-ра , построим одномерное ЛП
Построим ортонормированный базис .Тогда в базисе матрица и симметр. матрица размера . Т.к. симметрична,то имеет только вещественные корни. Повторяем для . Размерность каждый раз увеличивается на 1 → матрица диагональна →Ǝ ортонорм.базис
Определение
ЧП-ой ВФНП y=f(x) по - ой в т.x наз-ся предел отношений частного приращения ВФ, вызванного приращением к самому приращению , при . . ВФ дифф-ма в т-ке, если полное приращение в этой т-ке можно представить в виде , – m – мерный в-р .Полный дифф ВФНП в т.х – главная часть её полного приращения в этой т-ке, линейно относительно приращению аргумента