Shpora_Teoriya_Linal (Билеты 2016), страница 3

2. Пусть зависят от переменных, непрерывны и дифференцируемы по ним. Введём векторы и Функция называется вектор-функцией векторного аргумента.

Матрицей Якоби для векторной ФНП называется матрица, элементами которой являются частные производные от координат вектора по координатам вектора :

Если то такой определитель называют якобианом

Производная сложной ВФНП

Если векторная функция непрерывна в точке а непрерывна в то сложна ВФ дифференцируема в точке .

Рассмотрим частные производные = y-сложная ВФНП

Составим матрицу Якоби

теорема доказана

Б9

Квадратичная форма -   функция

– коэффициенты квадратичной формы.

Матричная запись квадратичной формы 

В координатной форме

В векторно-матричной форме имеет вид

Если квадратичная форма содержит только квадратичную переменную то такой вид то такой вид называется каноническим.

Базис в котором квадратичная форма имеет канонический вид называется каноническим.

Теорема

Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду линейными ортогональными преобразованиями.(метод Лагранжа)

Пример

2 Функция   имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки  , для всех точек   которой, отличных от  ,выполняется неравенство  (

Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции 

  Если   - точка экстремума функции f, то

 Достаточные условия локального экстремума дважды дифференцируемой функции 

 Обозначим  

Если D > 0, A > 0, то   - точка минимума.

Если D > 0, A < 0, то  -  точка максимума.

Если D < 0, экстемума в точке    нет.

Если D = 0, необходимы дополнительные исследования.

Доказательство необходимости

Геометрическое доказательство очевидно. Если в точке M0 провести касательную плоскость то она естественно пройдет горизонтально те под углом к оси и к оси . Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных

Б10

1. Базисом линейного пространства L называют любую упорядоченную систему векторов, для которой выполнены два условия:

1) эта система векторов линейно независима;

2) каждый вектор в линейном пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы. где

Матрицу называют матрицей перехода от старого базиса b к новому базису c. i-й столбец матрицы перехода есть столбец координат i-го вектора нового базиса в старом. Поэтому говорят, что матрица перехода состоит из координат векторов нового базиса в старом, записанных по столбцам. Каждый вектор из базиса может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса b:

2.

Производную функции в точке называют частной производной функции нескольких переменных в точке по переменному . Аналогично можно определить частные производные функции и по другим переменным.

Частную производную функции называют частной производной второго порядка функции в точке по переменным и и обозначают .

Теорема (о смешанных частных производных).

Пусть функция (n > 1) в некоторой окрестности точки a ∈ Rⁿ имеет частные производные первого порядка и , , а также смешанные производные и . Если эти смешанные производные являются непрерывными в точке , функциями по части переменных и , то в этой точке их значения совпадают, т.е.

Доказательство

При доказательстве теоремы значения всех переменных, кроме xi и xj , можно считать фиксированными. Поэтому можно вести речь о функции, имеющей только два аргумента и , которые удобно переобозначить: = x, = y. Итак, пусть функция f(x, y) в некоторой окрестности U точки (p, q) имеет частные производные первого порядка и смешанные производные , , причем обе смешанные производные непрерывны в самой точке (p, q). Покажем, что в этой точке смешанные производные равны. Выберем такое число δ > 0, что при |∆x| < δ, |∆y| < δ точка (p + ∆x, q + ∆y) попадает в окрестность U. Тогда в квадрате |∆x| < δ, |∆y| < δ определена функция g(∆x,∆y) = f(p+∆x, q+∆y)−f(p+∆x, q)−f(p, q+∆y) + f(p, q).

Для функции одного переменного имеем . Функция (x) на отрезке [p, p + ∆x] (или [p + ∆x, p] при ∆x < 0) имеет производную и потому непрерывна на этом отрезке.

Следовательно, к функции (x) на указанном отрезке можно применить теорему Лагранжа. Согласно этой теореме, существует такое число ϑ ∈ (0, 1), что

Итак

Разность в квадратных скобках представляет собой приращение функции одного переменного на отрезке [q, q + ∆y] (или минус приращение на отрезке [q + ∆y, q] при ∆y < 0): На отрезке [q, q + ∆y] функция λ(y) имеет производную λ 0 (y) = (p + ϑ∆x, y) и является поэтому непрерывной на этом отрезке. Значит, и к этой функции на указанном отрезке можно применить теорему Лагранжа.

Мы приходим к выводу, что , где ϑ1 ∈ (0, 1) — некоторое число.

В результате находим, что g(∆x, ∆y) = (p + ϑ∆x, q + ϑ1∆y)∆x∆y.

Равенство было получено в результате двукратного применения теоремы Лагранжа, причем сперва она применялась по переменному x, затем — по переменному y. Но те же рассуждения можно повторить, поменяв лишь порядок переменных. Тогда получим равенство, аналогичное, но включающее другую смешанную производную. Действительно, если функцию g(∆x, ∆y) представить в виде g(∆x, ∆y) = ψ(q + ∆y) − ψ(q), где ψ(y) = f(p + ∆x, y) − f(p, y), то получим g(∆x, ∆y) = ψ’ (q + ϑ2∆y)∆y = f’y (p + ∆x, q + ϑ2∆y) – f’ y (p, q + ϑ2∆y) ∆y, где ϑ2 ∈ (0, 1).

Повторно применяя теорему Лагранжа к разности в квадратных скобках, приходим к равенству

Соединяя равенства, а затем сокращая на произведение , получаем

Переходя в этом равенстве к пределу при (∆x, ∆y) → (0, 0), заключаем, что (p, q) = (p, q), так как по условию теоремы смешанные производные и непрерывны в точке (p, q).

Б11

1.

Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора , если такое число , что . Число называется собственным значением оператора ,соответствующего вектору . Многочлен относительно называется характеристическим многочленом оператора .

Теорема о ЛНЗ собственных векторов: Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям ЛНЗ.

Док-во: Метод математической индукции:

1)Если существует одно собственное значение и ему соответствует вектор , то ЛК только при , т.к. не равен нулю по определению.

2)Допустим, что утверждение верно для собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям, т.е. для различных

только при .

3)Рассмотрим систему , где и не равно ; Составим ЛК векторов этой системы равную нуль-вектору и подействуем на нее ЛО : (a) ; ; (б) ; cоставим комбинацию : , т.к. -ЛНЗ ; все , т.к. не равно , то все , тогда из (а): , т.к. не равен нулю , т.е. в (а): ЛК обращается в 0 только при всех система _– ЛНЗ.

Теорема о матрице ЛО в базисе из собственных векторов:

Матрица линейного оператора имеет диагональную форму тогда и только тогда, когда она записана в базисе, составленном из собственных векторов.

2.

В общем случае мы называем ФНП отображение вида , где принадлежит . Если , т.е. значением отображения является действительное число (скалярная величина), отображение называют скалярной ФНП. Если же , то указанное отображение называют векторной ФНП или векторной функцией векторного аргумента.

Функции нескольких переменных , называют координатными функциями векторной функции . Для представления векторной функции используют координатную форму записи .

Пусть заданы векторная ФНП , множество принадлежащее и предельная точка множества . Точку принадлежащую называют пределом функции в точке по множеству , если для любой -окрестности точки существует такая проколотая -окрестность точки , что принадлежит при принадлежащем , в этом случае, как и в скалярном, записывают

, или при . Если , то говорят просто о пределе функции в точке и обозначают его, опуская упоминание множества

Векторная ФНП называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке: существует .

Векторная ФНП называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества.