Shpora_Teoriya_Linal (1003709), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Б12

1. Дайте определение линейного оператора и его матрицы в заданном базисе линейного пространства. Дайте определение собственного значения и собственного вектора ЛО. Сформулируйте теорему о собственных векторах соответствующих попарно различным собственным значениям. Докажите теорему о матрице ЛО в базисе из собственных векторов.

Линейным отображением векторного пространства над полем в векторное пространство (линейным оператором из в ) над тем же полем называется отображение , удовлетворяющее условию линейности для всех и .

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если , такое, что Число называется собственным числом (собственным значением) оператора , соответствующим этому собственному вектору.

Определение: Число называется собственным значением оператора , если существует такой ненулевой вектор , что справедливо равенство .

Если в линейном пространстве действует линейный оператор ,то в некоторой матрице, элементами столбцов которой являются координаты образов соответственных базисных векторов, разложенных по называют матрицей в заданном базисе линейного пространства

Теорема: собственные векторы соответствующие попарно различным собственным значениям –ЛНЕЗ

Теорема: Матрица линейного оператора в некотором базисе является диагональной, т.к. все векторы базиса –собственные векторы линейного оператора.

Доказательство: В мат. ЛО А : ; Из определения матрицы :

1) - собственный вектор линейного оператора

2) -собственный вектор => все -собственные векторы

Дано: из определения матрицы линейного оператора следует

– диагональная матрица.

2.

Дайте определение дифференцируемой в точке ФНП, ее полного и частных дифференциалов. Напишите формулы для их вычисления.

Определение: Функция определенная в окрестности называется дифференцируемой в этой точке, если ее приращение в , что

Линейная (относительно и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается :
, где и – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям и .

Определение : Частным дифференциалом ФНП в т. , по переменной называется главная часть частного приращения функции по этой переменной, линейная относительно приращения : .

Б13

1.

Пусть — евклидово пространство.

Линейный оператор называют сопряженным к линейному оператору , если для любых векторов верно равенство

Теорема

Любому линейному оператору соответствует единственный сопряженный оператор , причем его матрицей в любом ортонормированном базисе является матрица , транспонированная матрице линейного оператора в том же базисе .

Доказательство

Докажем, что линейный оператор с матрицей в базисе является сопряженным к линейному оператору . Для этого достаточно проверить выполнение равенства 5.2

для любой пары векторов Пусть — столбцы координат векторов в базисе . Тогда вектор имеет столбец координат , а левая часть равенства 5.2 равна что следует из ортонормированности базиса . Аналогично правая часть этого равенства имеет вид Следовательно, равенство 5.2 в координатной записи имеет вид 5.3

Так как в силу свойств матричных операций, равенство 5.3 эквивалентно равенству , 5.4

которое при превращается в тождество. Если некоторый линейный оператор является сопряженным к линейному оператору , то для любых векторов выполняется равенство (5.2). Значит, для матриц этих операторов равенство (5.4) выполняется для любых столбцов . Согласно доказанной лемме,

Поэтому линейный оператор определен однозначно, так как однозначно определена его матрица.

2.

Матрицей Якоби для векторной ФНП называется матрица, элементами которой являются частные производные от координат вектора по координатам вектора :

Если то такой определитель называют якобианом

Производная сложной ВФНП

Если векторная функция непрерывна в точке , а непрерывна в то сложная ВФ дифференцируема в точке .

Б14

1. Дайте определения линейного оператора (ЛО) и его матрицы в заданном базисе. Сформулируйте и докажите теоремы о преобразовании координат вектора под действием ЛО и о связи между матрицами одного и того же ЛО при переходе к новому базису.

Оператор , действующий в ЛП, называется линейным, если:

1) ; 2)

Определение:

Если в ЛП действует ЛО , то в некотором базисе матрица, элементами которой являются координаты образованных соотв. базисных векторов, разложенных по данному базису, называется матрицей ЛО.

Теорема:

Пусть в действует ЛО . Выберем базис . . В базисе

,

Обозначим , по

т.к. ̶ ЛНЕЗ.

Если , а , то , . ч.т.д.

Теорема:

Пусть в ЛП действует ЛО . В базисе он имеет матр. . В базисе ̶ // ̶ . При векторы связаны и ,

.

2. Дайте определение частной производной и геометрической интерпретации частных производных функций 2-х переменных.

Ч.П. ФНП т. попеременной называется предел отношения приращения функции по данной переменной к приращению самой функции при стремлении ее к 0

Геометрическая интерпретация для определен в некоторой

.Графиком является поверхность . Выберем т. , где и рассмотрим уравнение плоскости ,а по кривой . Дадим приращение первой , где угол наклона секущей к плоскости по отношению к положительному направлению . Аналогично – угол наклона к относительно положительному направлению оси.

Б15

1. Функцию, заданную на линейном пространстве L, которая каждому вектору x ∈ L ставит в соответствие действительное число , называют нормой, если она удовлетворяет следующим аксиомам нормы:

а) 0, причем равенство = 0 возможно только при x = 0;

б) ;

в (неравенство треугольника).

Неравенство Коши-Буняковского:

Для любого x, у выполняется следующее неравенство:

Доказательство

1)При x = 0 обе части неравенства равны нулю, значит, неравенство выполняется.

2)x 0. (λx − y, λx − y) > 0. используя аксиомы и свойства скалярного умножения: получили квадратный трехчлен относительно параметра λ (коэффициент (x, x) при λ ненулевой, так как x 0), неотрицательный. Следовательно, его дискриминант равен нулю или отрицательный, т.е.

Неравенство Минковского:

Доказательство

воспользуемся неравенством Коши — Буняковского, которое можно записать в виде

Или

Используя это неравенство, получаем

2.

Функция нескольких переменных отображение вида f: A → R^m, где A ⊂ Rⁿ , n > 1. Если m = 1, т.е. значением отображения является действительное число (скалярная величина), отображение называют скалярной функцией нескольких переменных

Множество D(f) = A ⊂ Rⁿ , на котором определена функция f: A ⊂ Rⁿ → R^m, называют областью определения (существования) функции .

Линией уровня функции двух переменных называется линия на плоскости XOY, принадлежащая D(f), в каждой точке которой функция принимает одно и то же значение.

Поверхностью уровня функции n переменных y=f(х₁, х₂, …, х_n) называется гиперповерхность в пространстве Rⁿ, входящая в D(f), в каждой точке которой значение функции одно и то же.

Градиентом ФНП в некоторой точке называется вектор, координатами которого являются соответствующие частные производные, вычисленные в данной точке.

Градиент функции в заданной точке направлен нормально к линии уровня функции, проходящей через данную точку.

Б16

1. Дайте определение матрицы перехода к новому базису линейного пространства. Выведите формулу, связывающую координаты вектора в исходном и новом базисах.

Матрица, элементами столбцов которой являются координаты соответствующих новых базисных векторов, разложенных по старому базису, называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

̶ разложение по базису . Из теоремы о единственном разложении .

2. Дайте определение касательной плоскости и нормали к поверхности. Напишите их уравнения. Сформулируйте теорему о существовании касательной плоскости к поверхности.

Если существует плоскость, содержащая касательные по всем кривым, проходящим по поверхности через точку , то эта плоскость называется касательной к поверхности в точке . Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной плоскости к поверхности называется нормалью к поверхности.

Уравнение касательной плоскости: ;

Уравнение нормали: .

Теорема (о существовании касательной плоскости к поверхности)

Если в уравнении поверхности функция непрерывна вместе со своими ЧП в окрестности точки и , то существует плоскость , касательная к в точке .

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий