Shpora_Teoriya_Linal (1003709), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Б17

1. Дайте определение самосопряженного линейного оператора (ЛО). Докажите теорему о его матрице в ортонормированном базисе. Сформулируйте свойства собственных значений и собственных векторов самосопряженного ЛО.

ЛО , действующий в евклидовом пространстве , называется самосопряженном, если .

Теорема (о матрице самосопряженного ЛО в ортонормированном базисе)

ЛО , действующий в евклидовом пространстве , является самосопряженным тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе ему соотв. симметрическая матрица ( ).

Доказательство

В действует самосопряженный ЛО . в ортонормированный базис равенству соответствует матричное равенство:

, где ̶ симметрич. матрица

В ортонормированном базисе оператору соответствует матрица . Вычислим . Тогда: ̶ самосопряженный оператор. ч.т.д.

Свойства:

1) Если ̶ ЛО, действующий в евклидовом пространстве , то все корни хар. уравнения действительны ( ̶ матр. в некотором базисе);

2) Если ̶ ЛО, действующий в евклидовом пространстве , то корню хар. уравнения кратности соответствует ЛНЕЗ собственных векторов;

3) Если ̶ ЛО, действующий в евклидовом пространстве , то собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны;

4) Если ̶ ЛО, действующий в евклидовом пространстве , то существует ортонормированный базис из его собственных векторов.

2. Дайте определение векторной ФНП и ее координатных функций. Дайте определение дифференцируемой в точке векторной ФНП и сформулируйте теорему о ее дифференцируемости.

Определение

Множество упорядоченных наборов ̶ элем. пространства , которые логично рассматривать как векторы или -мерные точки. Функция, определенная на множестве ̶ отображение . Этот закон называется ВФНП.

Определение

ВФ называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить: ,

где , ̶ -мерный вектор, .

Теорема: ВФНП является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда в этой точке дифференцируемы все ее координатные функции (необходимость).

Теорема: Если ВФНП непрерывна вместе со своими ЧП в , то она дифференцируема в этой точке (достаточность).

Б18

Дайте определение евклидова пространства и его ортогональных векторов. Докажите теорему о линейной независимости ортогональной системы векторов. Сформулируйте определения ортогонального и ортонормированного базисов евклидова пространства.

Определение: Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если каждой паре элементов u,v этого пространства поставлено в соответствие действительное число , называемое скалярным произведением, причем это соответствие удовлетворяет следующим условиям:

=

Определение: Два вектора u и v евклидова пространства называются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю: .

Если ненулевой вектор b ортогонален линейно независимой системе векторов , то система тоже линейно независима.

Доказательство: Предположим, что система линейно зависима, т.е.

. (1)

Так как - линейно независимая система, то . Умножим (1) скалярно на b , получим , т.к. b≠0 , то . Пришли к противоречию, следовательно, система векторов линейно независима.

так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.

Определение: Базис евклидова пространства называется ортогональным, если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е. при i≠j; i=1,2,…,n; j=1,2,…,n;

Определение: Базис евклидова пространства называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице: ; i=1,2,…,n; j=1,2,…,n;

2.

Теорема Тейлора: Пусть k ≥ 1 является целым, и пусть функция f : R → R является k раз дифференцируемой в точке a ∈ R. Тогда существует функция : R → R такая, что

=0 Формула Маклорена:

Б19

Дайте определение ортонормированного базиса евклидова пространства. Опишите процесс ортогонализации системы векторов (Грама-Шмидта). Докажите теорему о существовании в n-мерном евклидовом пространстве ортонормированного базиса.

Определение: Базис евклидова пространства называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:

; i=1,2,…,n ; j=1,2,…,n;

Ортонормированный базис можно построить, отталкиваясь от некоторого исходного базиса, при помощи алгоритма, который называют процесс ортогонализации Грама-Шмидта:

Пусть -некоторый базис в n-мерном евклидовом пространстве . Модифицируя этот базис, мы будем строить новый базисe , который будет ортонормированным. Последовательно вычислим векторы и т.д. по формулам :

………………….. ……..

;

Теорема: В любом евкидовом пространстве существует ортонормированные базис.

Доказательство:

Возьмем в евклидовом пространстве не ортогональный базис ( ) применяя процесс ортогонализации Грамма-Шмидта построим ортогональную систему ( ) которой является базис евклидового пространства ,если среди них нет нулевого вектора

Допустим, что в процессе получим

0= = + так как для любого i=1,j – ЛК ( )

( ) –ЛЗ следовательно

( ) –ЛЗ, что противоречит условию, отсюда следует i=1,n следовательно построенная система является базисом

2. Дайте определение дифференцируемой в точке ФНП. Полного дифференциала и дифференциалов высших порядков этой функции. Напишите формулы для их вычисления.

Определение:

Функция f( ) определенная в окрестности ±( ) называется дифференцируемой в этой точке, если ее приращение Δf в ±( )

∆f( )= ∆f( )– f( )= +σ( ) , что ∆

Линейная (относительно ∆x и ∆y) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается dz: ,
где dx и dy – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям ∆x и ∆y.

Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции z в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть .

Для функции, зависящей от одной переменной z=f(x) второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции z=f(x) :

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что dx есть произвольное и не зависящее от x , которое при дифференцировании по x следует рассматривать как постоянный множитель.

Б20

1. Ненулевой вектор называется собственным вектором оператора A, если оператор A переводит в коллинеарный ему вектор, то есть . Число λ называется собственным значением.

Алгоритм

1. Для заданной матрицы составить характеристическое уравнение :

2. Решить характеристическое уравнение и найти собственные значения

3. Для каждого собственного значения составить систему и найти собственные векторы

Необходимое условие

Число – собственное значение, если в некотором базисе В, оно является корнем уравнения

Теорема( о инвариантности характеристического многочлена)

Характеристический многочлен инвариантен относительно базиса.

Доказательство

матрицы А₁ и А₂ линейного преобразования в базисах 1 и 2 являются, согласно подобными: где — матрица перехода от базиса 1 к базису 2. характеристические многочлены подобных матриц совпадают.

2. Если уравнение ФНП связывает и аргументы , то функция называется неявно заданной.

Теорема о существовании неявной ФНП

Если функция непрерывна вместе со своими ЧП в окрестности , в самой точке , а , то некоторой окрестности непрерывная функция , однозначно определенная уравнением .

Теорема о дифференцируемости неявной ФНП

Если функция непрерывна вместе со своими ЧП в окрестности , в самой точке , а , неявно заданная функция опред-я в некоторой окрестности ур-е является дифференцируемой в той точке и имеет производную .

Док-во:

Пусть удовлетворяет в окрестности условиям теоремы. Дадим такое , чтобы . Тогда , т.к. . Т.к. и непрерывны в , функция дифф-а в точке , где и .

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий