Shpora_Teoriya_Linal (Билеты 2016), страница 2

причем несложно убедиться, что в случае, когда приведенное неравенство превращается в равенство.

Действительно, тогда где , и .

Докажем, что никакое другое направление не является направлением наибольшего роста. Отметим, что для несовпадающих единичных векторов n₁ и n₂ в силу легко проверяемого тождества

верно неравенство (n₁, n₂) < 1. Поэтому если единичный вектор имеет то же направление, что и , а — любой другой единичный вектор, то имеем

4)Если функция f: Rⁿ → R дифференцируема в точке x, то в этой точке вектор −grad f(x) задает направление наибольшего убывания функции f(x).

Доказательство

При изменении направления вектора на противоположное производная дифференцируемой функции по направлению меняет знак. Поэтому если вектор n указывает направление наибольшего убывания функции, то вектор (−n) указывает направление наибольшего возрастания функции. В самом деле, если функция f(x,y) возрастает в направлении некоторого вектора a быстрее, чем в направлении вектора (−n), то она и убывает в направлении вектора (−a) быстрее, чем в направлении вектора n. Но это противоречит выбору вектора n как вектора, определяющего направление наибольшего убывания функции. Согласно свойству 3, вектор (−n) имеет то же направление, что и вектор grad f(x). Следовательно, вектор n по направлению совпадает с вектором (−grad f(x)).

5) Если функция f: Rⁿ → R дифференцируема в точке x, то наибольшая скорость роста (убывания) функции f(x) в этой точке равна | grad f(x)| (−| grad f(x)|).

Доказательство

Согласно свойствам 2 и 3, производная функции f(x) по направлению вектора grad f(x) (направлению наибольшего роста) равна |grad f(x)|. Производная попротивоположному направлению, определяющая наибольшую скорость убывания функции отличается лишь знаком и равна −| grad f(x)|.

Б6

1

Линейное пространство - множество называют линейным пространством над полем действительных чисел R если:

определен закон по которому каждой паре векторов ставится в соответствие вектор называемый суммой

определен закон по которому ставится в соответствие другой вектор называемый произведение на число: = λ

для этих линейных операций выполняются аксиомы

1) + = + 2) = 3)

4)для противоположный 5)

6)λ λ +λ 7)λ(µ )=(µλ) 8)(λ+µ) =λ +µ

Базисом ЛП называют упорядоченную систему ЛНЕЗ векторов такую что любой вектор пространства может быть представлен как ЛК векторов этой системы.

Пример Множество является ЛП тк определены законы и

= λ также выполняются аксиомы ЛП. Множество .

4

Определение ФНП дифференцируемой в точке

Функцию определенную в некоторой окрестности точки называют дифференцируемой в точке если ее полное приращение в окрестности этой точки можно представить в виде , где коэффициенты не зависят от приращений а ф-я является бесконечно малой при

Определение сложной ФНП

Рассмотрим сложную функцию вида , где

Пусть функции дифференцируемы в точке а функция , дифференцируема в точке , где Тогда сложная функция ) дифференцируема в точке , . При этом частные производной этой сложной функции в точке находятся по формулам в которых берутся в точке , а берутся в точке .

Доказательство

Дадим независимой переменной приращение . Тогда функции и получат приращения соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение функции . Так как по условию функция дифференцируема в точке то ее полное приращение можно представить в виде

где при Разделим выражение на и перейдем к пределу при . Тогда и в силу непрерывности функций (по условию теоремы — они дифференцируемые). Получаем:

т. е.

Б7

Квадратичная форма -   функция

– коэффициенты квадратичной формы.

Матричная запись квадратичной формы 

В координатной форме

В векторно-матричной форме имеет вид

Квадр. форма называется положительно (отрицательно) -определенной, если для любого ненулевого  выполняется неравенство ( )

Критерий Сильвестра

Квадратичная форма с матрицей А в некотором базисе называется положительно определенной тогда и только тогда когда все главные миноры этой матрицы положительны и отрицательно определенной тогда и только тогда когда главные миноры матрицы чередуются знаками начиная с минуса.

2

Рассмотрим ф-ю непрерывную в месте с частной производной в области D. Градиентом ФНП в некоторой точке называют вектор координаты которого являются соответственные частные производные вычисленные в этой точке.

Свойства градиента

1)Если функция f: Rⁿ → R дифференцируема в точке x ∈ R n , то в этой точке

Доказательство

В случае n = 2 или 3 соотношение эквивалентно в силу формулы связи между ортогональной проекцией и скалярным произведением двух векторов:

в которой надо взять x = , y = grad f(x) и учесть, что | | = 1. При n > 3 формулу следует трактовать как определение ортогональной проекции вектора y на направление вектора x.

2) Если функция f: Rⁿ → R дифференцируема в точке x ∈ R n и , то при n = grad f(x) имеем

Доказательство

Если n = grad f(x), то и:

3) Если функция f: Rⁿ → R дифференцируема в точке x∈R_n , то в этой точке вектор grad f(x) указывает направление наибольшего роста функции f(x).

Доказательство

В силу неравенства Коши —Буняковского для любого вектора n

причем несложно убедиться, что в случае, когда приведенное неравенство превращается в равенство. Действительно, тогда где , и

.

Докажем, что никакое другое направление не является направлением наибольшего роста. Отметим, что для несовпадающих единичных векторов n₁ и n₂ в силу легко проверяемого тождества

верно неравенство (n₁, n₂) < 1. Поэтому если единичный вектор имеет то же направление, что и , а — любой другой единичный вектор, то имеем

4)Если функция f: Rⁿ → R дифференцируема в точке x, то в этой точке вектор −grad f(x) задает направление наибольшего убывания функции f(x).

Доказательство

При изменении направления вектора на противоположное производная дифференцируемой функции по направлению меняет знак. Поэтому если вектор указывает направление наибольшего убывания функции, то вектор указывает направление наибольшего возрастания функции. В самом деле, если функция возрастает в направлении некоторого вектора a быстрее, чем в направлении вектора то она и убывает в направлении вектора быстрее, чем в направлении вектора n. Но это противоречит выбору вектора n как вектора, определяющего направление наибольшего убывания функции. Согласно свойству 3, вектор имеет то же направление, что и вектор . Следовательно, вектор n по направлению совпадает с вектором

5) Если функция f: Rⁿ → R дифференцируема в точке , то наибольшая скорость роста (убывания) функции f(x) в этой точке равна

Доказательство

Согласно свойствам 2 и 3, производная функции по направлению вектора (направлению наибольшего роста) равна . Производная по противоположному направлению, определяющая наибольшую скорость убывания функции отличается лишь знаком и равна

Связь между градиентом и производной по направлению

Пусть дано скалярное поле и определено в этом поле, поле градиентов

Производная по направлению вектора равняется проекции вектора

Доказательство

Рассмотрим единичный вектор соответсвующий вектору

Вычислим скалярное произведение векторов

Выражение стоящее в правой части есть производная по направлению вектора следовательно мы можем записать

Если обозначить угол между то можем записать

Теорема доказана

Б8

1 Квадратичная форма -   функция

– коэффициенты квадратичной формы.

Матричная запись квадратичной формы 

Ее ранг - ранг квадратичной формы. Если матрица A имеет максимальный ранг, равный числу переменных n, то квадратичную форму называют невырожденной, а если , то ее называют вырожденной.

В координатной форме

Теорема (О ранге КФ)

Ранг матрицы квадратичной формы не зависит от выбора базиса.

Закон инерции

Если квадратичная форма приводится к сумме квадратов в двух разных базисах, то число членов с положительными коэффициентами, так же как и число членов с отрицательными коэффициентами, в обоих случаях одно и то же. 

Если квадратичная форма содержит только квадратичную переменную то такой вид то такой вид называется каноническим.

Базис в котором квадратичная форма имеет канонический вид называется каноническим.