Shpora_Teoriya_Linal (Билеты 2016)

Б1

1. Дайте определение евклидова пространства (ЕП). Приведите примеры. Дайте определение ортонормированного базиса ЕП и напишите формулу для вычисления скалярного произведения в этом базисе.

Действительным ЕП называется ЛП, в котором задан закон, по которому каждой паре векторов ставится в соответствие число , называемое его скалярным произведением. Причем, для этого закона имеют место аксиомы:

Пример: , если

Базис называется ортонормированным, если все его векторы попарно ортогональны и нормы всех его векторов равны 1.

2. Дайте определение неявной функции ФНП. Сформулируйте теорему о ее существовании. Сформулируйте и докажите теорему о ее дифференцируемости.

Если уравнение ФНП связывает и аргументы , то функция называется неявно заданной.

Теорема о существовании неявной ФНП

Если функция непрерывна вместе со своими ЧП в окрестности , в самой точке , а , то некоторой окрестности непрерывная функция , однозначно определенная уравнением .

Теорема о дифференцируемости неявной ФНП

Если функция непрерывна вместе со своими ЧП в окрестности , в самой точке , а , неявно заданная функция опред-я в некоторой окрестности ур-е является дифференцируемой в той точке и имеет производную .

Док-во:

Пусть удовлетворяет в окрестности условиям теоремы. Дадим такое , чтобы . Тогда , т.к. . Т.к. и непрерывны в , функция дифф-а в точке , где и .

Заметим, что т.к. непрерывна, ; , ̶ б.м. более высокого порядка относительно ,

число ̶ по опред. дифф-а в точке .

Рассмотрим

Б2

1. Дайте определения подпространства линейного пространства, линейной оболочки системы векторов. Приведите примеры. Сформулируйте основное свойство линейной оболочки.

Подмножество ЛП-ва называется его линейным подпространством, если для векторов этого ЛП-ва:

Пример: 1) ; 2) .

Линейной оболочкой некоторой системы векторов ЛП-ва называется мн-во векторов, каждый из которых равен ЛК векторов данной системы.

Пример: конечномерное некоторого своего базиса, т.к. в

Теорема (основное свойство линейной оболочки)

Линейная оболочка системы векторов является наименьшим линейным подпространством, содержащим векторы этой системы.

2. Дайте определение дифференцируемой в точке ФНП. Сформулируйте и докажите теорему о достаточных условиях дифференцируемости ФНП.

ФНП, определенная в окрестности некоторой точки , называется дифференцируемой в точке, если полное приращение функции в этой точке можно представить:

Теорема (достаточное условие дифференцируемости ФНП)

Если ФНП определена в некоторой окрестности точки, имеет в ней ЧП по всем переменным, которые непрерывны в самой точке, то она дифференцируема в этой точке.

Доказательство:

Пусть удовлетворяет условиям теоремы в . Дадим такие приращения и , чтобы точки и . Составим и преобразуем его следующим образом:

: Если , то

Аналогично, , то

Аналогично,

Любые числа и : дифф-ма в .

Б3

1. Дайте определение линейного оператора (ЛО) и его матрицы в заданном базисе. Сформулируйте теорему о связи между матрицами одного и того же ЛО в различных базисах.

Если в ЛП задан закон, по которому каждому ставится в соответствие , то этот закон, обращающий , называется оператором . Оператор, действующий в ЛП, называется линейным, если:

Если в ЛП действует ЛО , то в некотором базисе матрица, элементами столбцов которой являются координаты образов соответствующих базисных векторов, разложенных по данному базису, называется матрицей ЛО-а.

Теорема (о связи между матрицами в разных базисах)

Пусть в ЛП действует оператор . В базисе он имеет матрицу , а в базисе . Если ̶ матрица перехода от , то .

2. Дайте определение полного дифференциала ФНП и дифференциалов высших порядков. Выведите формулу для вычисления дифференциала 2-го порядка ФНП. Напишите формулу для вычисления . Напишите матрицу Гессе и сформулируйте связь между нею и дифференциалом 2-го порядка ФНП.

Полным дифференциалом ФНП в точке , в которой она дифференцируема, называется главная часть ее полного приращения в этой точке, линейная относительно приращения аргументов.

Дифференциалом порядка , где , от функции в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка , т.е. .

Вывод формулы дифференциала 2-го порядка: . Тогда, если

с матрицей Гессе , т.к. .

Формула для вычисления дифференциала -го порядка

Б4

1.Дать определение собственного значения и собственного вектора линейного оператора, алгебраической и геометрической кратности собственного значения. Сформулировать теорему об этих кратностях. В каком случае эти кратности обязательно совпадают?

Ненулевой вектор называют собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что . Число называется соответствующим вектору собственным значением оператора .

Алгебраической кратностью собственного значения линейного оператора называют кратность корня характеристического многочлена.

Геометрической кратностью собственного значения линейного оператора называется количество ЛНЕЗ векторов, соответствующих одному собственному значению.

Теорема (о кратностях собственных значений оператора)

Геометрическая кратность собственного значения не превосходит ее алгебраической кратности.

Кратности совпадают, если линейный оператор диагонализируемый.

2. Дать определение касательной плоскости к поверхности. Докажите теорему о ее существовании и выведите ее уравнение.

Рассмотрим некоторую поверхность в пространстве. Пусть точка и существует такая плоскость , проходящая через точку , которая содержит касательные, построенные в точке ко всем кривым, лежащим на поверхности и проходящим через точку . Плоскость называют касательной плоскостью к поверхности в .

Теорема:

Пусть в прямоугольной системе координат поверхность задана как .

дифференцируема в точке , градиент ф-ции в точке . Тогда касательная плоскость к поверхности в точке существует и имеет уравнение

Доказательство:

Рассмотрим кривую лежащую на пов-ти , проход. через точку и имеющую касательную в точке . Тогда эту кривую можно задать параметрически уравнениями

Значение параметра соответствует точке :

Вектор является направляющим вектором касательной к .

Продифференцировав в в точку по правилу диффер. сложной функции получаем:

Равенство означает, что вектор ортогонален вектору , независящему от выбора кривой .

Все касательные в точке ко всевозможным кривым ортогональны вектору функции . Построим плоскости , проходящую через точку и имеющую нормальный вектор . Т.к. касательные к любой кривой в точке , то является касательной плоскостью к поверхности в точке . Зная координаты точки и координаты вектора можем записать общее уравнение плоскости .

Б5

1. Квадратичная форма -   функция

– коэффициенты квадратичной формы.

Матричная запись квадратичной формы 

Ее ранг - ранг квадратичной формы. Если матрица A имеет максимальный ранг, равный числу переменных n, то квадратичную форму называют невырожденной, а если , то ее называют вырожденной.

В координатной форме

Теорема (О ранге КФ)

Ранг матрицы квадратичной формы не зависит от выбора базиса.

Закон инерции

Если квадратичная форма приводится к сумме квадратов в двух разных базисах, то число членов с положительными коэффициентами, так же как и число членов с отрицательными коэффициентами, в обоих случаях одно и то же. 

2.

Производной U(x,y,z) по направлению S с шагом называется предел приращения функции соответствующего шагу к этому шагу при условии его стремления к нулю.

Градиентом ФНП в некоторой точке называется вектор, координатами которого являются соответствующие частные производные, вычисленные в данной точке.

Вывод

. – орт вектора , а значит и вектора S, сонаправленного с ним. направляющие косинусы.

Для

Свойства градиента

1)Если функция f: Rⁿ → R дифференцируема в точке x ∈ R n , то в этой точке где Пр_b a — проекция вектора a на направление вектора b.

Доказательство

В случае n = 2 или 3 соотношение эквивалентно в силу формулы связи между ортогональной проекцией и скалярным произведением двух векторов:

в которой надо взять x = , y = grad f(x) и учесть, что | | = 1. При n > 3 формулу следует трактовать как определение ортогональной проекции вектора y на направление вектора x.

2) Если функция f: Rⁿ → R дифференцируема в точке x ∈ R n и , то при n = grad f(x) имеем

Доказательство

Если n = grad f(x), то и:

3) Если функция f: Rⁿ → R дифференцируема в точке x∈R_n , то в этой точке вектор grad f(x) указывает направление наибольшего роста функции f(x).

Доказательство

В силу неравенства Коши —Буняковского для любого вектора n