Shpora_Teoriya_Linal (Билеты 2016), страница 7
Описание файла
Файл "Shpora_Teoriya_Linal" внутри архива находится в папке "линал билеты". Документ из архива "Билеты 2016", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "линейная алгебра и фнп" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Shpora_Teoriya_Linal"
Текст 7 страницы из документа "Shpora_Teoriya_Linal"
Б28
1.
Ортогональная матрица - квадратичная матрица 
с вещественными элементами, результат умножения которой на транспонированную равен единичной матрице: 
или, что эквивалентно, ее обратная матрица равна транспонированной матрице 
.
Свойства:
1. 
Док-во: 
2. Столбцы и строки ортогональной матрицы образуют системы ортонормированных векторов. Док-во: 
и 
, где 
̶ символ Кронекера.
3. Обратная к ортогональной матрица тоже ортогональна.
Док-во: Пусть 
или, что то же самое, . Транспонируя обе части, получим : 
или 
, что означает ортогональность матрицы 
.
4. Произведение ортогональных матриц — ортогональная матрица.
Док-во: Пусть 
и 
̶ ортогональные матрицы. Так как 
, то
Оператор 
, действующий в евклидовом пространстве, называется ортогональным, если 
Теорема о матрице в ортонормированном базисе:
ЛО является ортогональным т. и т. т., когда в любом ортонормированном базисе ему соответствует ортогональная матрица.
Док-во:
) Дано: в евклидовом пространстве действует ортогональный ЛО , т.е.
Док-во: В некотором ортонормированном базисе этому равенству соответствует:
̶ ортогональная матрица.
) Дано: : в ортонормированном базисе ему соответствует 
Док-во: Вычислим
̶ ортогональный оператор.
2.
Точка локального условного экстремума ФНП: Функция 
имеет в точке 
локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , принадлежащая 
, что для любой точки 
из этой окрестности выполняется неравенство 
Теоремы о необходимых и достаточных условия существования точки экстремума:
Необходимые условия: Если функции 
и 
непрерывны вместе со своими частными производными 1-го порядка в окрестности т. 
, 
, а сама точка есть точка экстремума функции при условии 
,то точка ̶ точка локального условного экстрем.
Достаточные условия: Если т. является стационарной точкой функции Лагранжа 
, т.е. в ней выполнены необходимые условия условного экстремума, и для 
, таких, что 
и 
знакоопределены, то т. является точкой экстремума функции при .
Б29
1.
Оператор , действующий в ЛП, называется линейным, если
1) 
; 2) 
.
Матрицей ЛО в выбранном базисе ЛП называется матрица, элементами столбцов которой являются координаты соответствующих образов базисных векторов, разложенных по этому базису.
Формула преобразования матрицы ЛО при переходе к новому базису:
Пусть в ЛП действует оператор. В базисе он имеет матрицу 
(1). В базисе 
он имеет матрицу 
(2). При переходе в векторы: 
(3) ; 
(4) 
из (2):
; из (4):
Теорема об инвариантности определителя матрицы относительно базиса: Определитель матрицы ЛО не зависит от выбора базиса.
Док-во: Пусть ЛО в базисе 
имеет матрицу , а в базисе 
матрицу 
, тогда при
2.
Производной функции 
в т. по направлению вектора 
с шагом 
называется предел отошения приращения функции,соответствующего шагу,к этому шагу при условии его стремления к нулю: 
;
Градиентом ФНП в некоторой т.
называется вектор, коэффициентами которого являются соответствующие частные производные,вычисленные в данной точке:
Б30
1.
Оператор , действующий в евклидовом пространстве, называется самосопряженным, если 
Теорема о матрице самосопряженного ЛО в ортонормированном базисе: ЛО , действующий в евклидовом пространстве является самосопряженным т.и т.т.,когда в любом ортонормированном базисе ему соответствует симметрическая матрица 
.
Теорема о собственных векторах самосопряженного ЛО: Если оператор , действующий в евклидовом пространстве, является самоспряженным, то собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
2.
Точка локального условного экстремума ФНП: Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , принадлежащая 
, что для любой точки 
из этой окрестности выполняется неравенство 
Теорема о необходимых условиях существования локального экстремума функции двух переменных: Если в точке 
дифференцируемая функция 
имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:
Док-во: Зафиксируем одну из переменных. Положим, например,
. Тогда получим функцию 
одной переменной, которая имеет экстремум при
.. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной (Если дифференцируемая функция 
имеет nэкстремум в точке
, то ее производная в этой точке равна нулю: 
, 
, т. е. 
. Аналогично можно показать, что 
.
