2 (Конспект из 10 лекций, преподаватель Добряков Виктор Александрович), страница 3

Вероятность получения брака выражается формулой Q=1-Р

Значения функции Лапласа табулированы.

Значения _j и K_j - для различных законов распределения.

Название	Вид кривой	Значение коэф. j	Значение коэф. Kj
1. Нормальный (Гауссов.)		0	1
2. Симпсона		0	1,22
3. Равной вероятности		0	1,73
4. Закон arcsin		0	2,12

Для оценки соответствия практических кривых распределения теоретическим законам используются критерии Холмогорова, Пирсона, Романовского.

Таким образом, статистический метод по данным случайной выборки позволяет оценить характеристики распределения погрешностей реального ТП.

Достоинства статистического метода:

• - простота;

• - универсальность.

Недостатки:

• - неприменим для оценки точности вновь проектируемых процессов;

• - не вскрывает механизма образования производственных погрешностей и не указывает место возникновения их и не характеризует их количественно.

Область применения:

оценка точности реально существующих ТП, чаще всего в условиях серийного или массового производства.

Расчетно-аналитический метод оценки производственных погрешностей.

Цель метода: построение уравнения погрешности

Метод основывается на аналитических выражениях, связывающих значения выходного параметра устройства с параметрами комплектующих изделий, либо параметрами технологического процесса.

Эти аналитические выражения являются исходными для получения уравнений погрешности.

Пусть исходное выражение, связывающее выходной параметр "у" с режимами технологии запишется в виде :

y=f(x₁, x₂, ..., x_n).

Факторы технологического процесса могут иметь отклонения:

x₁+x₁; x₂+x₂; ...; x_n+x_n

Используя формулу полного дифференциала, запишем:

dy= ⁿ_i=1 f(x₁, x₂, ..., x_n) dx_i /x_i

Переходя от дифференциалов к конечным приращениям при условии их малости выражение можно переписать в виде:

y= ⁿ_i=1 f(x₁, x₂, ..., x_n) x_i / x_i или y= ⁿ_i=1 A_i x_i

где A_i - коэффициент влияния - весовой коэффициент, показывающий, в какой мере данный фактор влияет на образование результирующей погрешности.

Выражение погрешности в абсолютной величине не всегда может быть применимо на практике, поэтому переходят к относительным величинам.

После деления уравнения на y=f(x₁, x₂, ..., x_n)

получим уравнение погрешности в относительных величинах:

y/y= ⁿ_i=1 B_i x_i /x_i

B_i - коэффициент влияния в относительной форме.

Из анализа уравнения погрешности вытекают рекомендации по уменьшению результирующей погрешности:

• 1.Необходимо уменьшить относительную погрешность отдельных параметров технологического процесса.

• 2.Уменьшать число слагаемых.

Достоинства расчетно-аналитического метода:

• - возможность управления процессом;

• - возможность оценки точности вновь проектируемого ТП.

Недостатки:

• - сложность определения весовых коэффициентов влияния.

Коэффициенты влияния в уравнениях погрешностей могут определяться как расчетными, так и экспериментальными методами (в зависимости от сложности изделия).

К расчетным методам относятся:

• - метод частных производных;

• - метод раздельного дифференцирования.

К экспериментальным методам относятся:

• - метод малых приращений;

• - метод преобразования цепей;

• - матричный метод.

Существуют расчетно-аналитические методы, позволяющие приблизительно оценить погрешность выходного параметра изделия без построения уравнения погрешности.

К ним относятся методы суммировния производственных погрешностей.

Учитывая, что общая производственная погрешность является результатом воздействия первичных погрешностей плюс погрешности ТП, то возникает задача их суммирования.

Существуют следующие три метода суммирования:

• 1.экстремальный метод (метод min-max).

• 2.метод квадратичного суммирования погрешностей.

• 3.теоретико-вероятностный метод суммирования.

Экстремальный метод. Сущность метода заключается в том, что производится арифметическое сложение всех предельных отклонений. Причем отдельно складываются все плюсовые и все минусовые отклонения.

Недостаток метода - дает преувеличенное значение производственных погрешностей (1,5 - 10 раз), т.е. метод весьма грубый.

Метод может использоваться для оценки короткозвенных цепей (2-3 звена) большой точности или многозвенной цепи малой точности.

Метод квадратичного сложения основан на суммировании под квадратным корнем квадратов предельных отклонений параметров элементов схемы.

_________

_y= ⁿ_i=1 ²(x_i)

Недостатки метода:

• - не учитываются основные характеристики, описывающие вероятностные законы распределения погрешностей (центры группирования, параметры рассеивания);

• - результаты расчета этим методом дают заниженные в (1 - 6) раз значения производственной погрешности выходного параметра.

Область применения метода:

Метод применим для случаев:

• - равновероятного закона распределения погрешностей

• - все звенья имеют только предельные отклонения;

• - сочетания погрешностей считаются случайными, т.е. не имеют коррелящионной связи.

Теоретико-вероятностный метод основан на использовании положений теории вероятностей и применим к случайным погрешностям.

Основой данного метода является:

• а) алгебраическое суммирование мер положения, т.е. математическое ожидание, мода, медиана;

• б) квадратичное суммирование мер рассеивания, т.е. среднеквадратических отклонений.

При расчете по этому методу должны использоваться вероятностные характеристики закона распределения, связанные с полем допуска (_i =3_y).

Если условно принять, что законы распределения отклонений параметров отдельных элементов нормальны, то по заданным допускам на отдельные элементы (±_i) и по известным их средним значениям М(x_i), используя правила алгебраического суммирования можно определить поле допуска на параметр и его среднее значение М(у). При это учитывается коэффициент влияния каждого элемента на выходной параметр.

Среднее квадратичное отклонение можно представить в виде:

_y²= A ₁² _x1² + A ₂² _x2² + ... + A _n² _xn²

Если допустим, что X₁ и X₂ коррелируют с коэффициентом корреляции r_1,2 , то:

_y²= A ₁² _x1² + A ₂² _x2² + 2r_1,2 A ₁ A ₂ _x1 _x2 + ... + A _n² _xn²

В общем случае, среднее значение и поле отклонения выходного параметра определяют по формулам:

M(y/y)= ⁿ_i=1 A_i M(x_i /x_i) A_i - коэф. влияния

Метод дисперсионного анализа производственных погрешностей.

С помощью дисперсионного анализа изучают факторы и параметры ТП.

Задача дисперсионного анализа - выявление одного или нескольких факторов, влияющих на результирующую погрешность выходного параметра. Для выявления этого влияния факторы должны определенным образом изменяться. Дисперсионный анализ позволяет выявить только факт: влияет данный фактор на погрешность выходного параметра или нет.

Предпосылки дисперсионного анализа:

• 1. все случайные погрешности должны иметь нормальное распределение;

• 2. изучаемый фактор оказывает влияние на среднее значение случайной величины (мат.ожидание), т.е. для каждого уровня факторов дисперсия D=сопst.

Пусть исследуемый фактор А на различных уровнях привел к серии результатов:

А={А1, А2, ........Ак}

у={Ya1,Ya2,.........Yak}

В качестве показателя фактора А берется дисперсия:

__ __

S²a= 1/(k+1)(Yai-Ya) ² где: Ya - среднее значение выходного параметра(мат.ожид.)

При этом S²a_y² ,поскольку числа Yai не являются случайными

Тогда необходимо сравнить Sa и _y по критерию Фишера F:

S²a/_y² =  F

Если неравенство не выполняется, т.е.   F , то следовательно фактор А влияет на разброс выходного параметра.

Метод корреляционного анализа производственных погрешностей.

Для производственных погрешностей характерно наличие статистических связей, которые по своему характеру занимают промежуточное положение между независимостью и функциональной зависимостью. Такого рода промежуточные связи проявляются в том, что изменения одной величины будут вызывать изменение закона распределения другой. Изучить статистические связи можно с помощью корреляционного анализа, являющегося одним из разделов математической статистики.

Отличие статистической связи от корреляционной:

• -наличие статистической связи должно подтверждаться существованием определенного закона распределения исследуемых величин и его параметрах, а также о вероятности, с которой могут встречаться те или иные комбинации их значений;

• - корреляционная зависимость - более простая связь между двумя случайными величинами, при которой одна из величин реагирует на изменение другой смещением своего математического ожидания.

Численной характеристикой корреляционной зависимости является коэффициент корреляции -1  r  1. Если сопоставить кадому значению переменной Х в соответствие ряд распределения случайной величины Y, среди которых можно выделить среднее значение Yх, то линия, связывающая средние значения Yх, будет называться эмпирической линией регрессии, а зависимость Y=f(х) - уравнением регрессии. Это уравнение получают методом наименьших квадратов.

Цель метода: найти коэффициенты корреляции между элементами изделия, чтобы уточнить уравнение погрешности выходного параметра с учетом взаимовлияния входных параметров.

Методика корреляционного анализа состоит из:

• 1) выявления элементов изделия, определяющих выходной параметр;

• 2) определение необходимого числа наблюдений для получения достоверных результатов

Для этого используются следующие соотношения:

__

r  (1-r²)/n  = r t

r - величина случайной погрешности в определении коэффициента корреляции