2 (Конспект из 10 лекций, преподаватель Добряков Виктор Александрович), страница 2

Каждый закон распределения имеет ряд параметров, которые можно разделить на две основные группы:

1-я группа - меры положения случайной величины

2-я группа - меры рассеивания производственной погрешности около какого-то среднего значения.

Меры положения:

1. Математическое ожидание - характеризует центр группирования случайных значений исследуемого параметра (технологического процесса).

Математическое ожидание для непрерывных случайных величин:

+

M(x)= x (x) dx

-

для дискретных случайных величин:

n

M(x)= x_iP(x_i)

i=1

интервальная оценка:

n

M(x)= x_i(m_i/n)

i=1

P(x_i) - вероятность появления x_i

x_i - отдельные значения случайных отклонений

m_i/n - частость соответствующая данному значению случайного отклонения

n - число интервалов

2. Медиана - такое значение случайной величины, координата которой делит площадь под кривой распределения на две равные части.

S₁=S₂

3. Мода [Mod] - наиболее часто встречающееся значение случайной величины в ряду распределения.

Для симметричного нормального закона распределения значения совпадают M(x), Me, Mod.

Меры рассеивания погрешности дают представление о точности распределения относительно мер положения.

1. Дисперсия D(x) - математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания.

n

D(x)= [x_i-M(x)]²_*P(x_i) - для дискретно-случайной величины;

i=1

n

D(x)= [x_i-M(x)]²_*(m_i/n) - для интервальных оценок;

i=1

Для непрерывных случайных величин:

+

D(x)= [x_i-M(x)]²_*f(x) dx

-

___

2. Среднеквадратическое отклонение. (x)= D

3. Размах - разность максимального и минимального значений параметров в выборке

R(x)=X_max-X_min

4. Коэффициент вариации - относительная оценка - характеризует разброс значений измеряемой величины относительно математического ожидания.

V=(x)/M(x) _*100%

В реальных производственных условиях графики распределения погрешностей часто имеют более сложный характер. В результате смешивания некоторых партий, обладающих различными характеристиками, может произойти изменение кривой распределения.

Методы анализа производственных погрешностей.

Для анализа производственных погрешностей существуют следующие методы:

• 1. статистический;

• 2. расчетно-аналитический;

• 3. методы дисперсионного анализа;

• 4. корреляционный анализ.

Статистический метод анализа производственных погрешностей.

Цель метода: построение закона распределения исследуемой погрешности

Этот метод основан на наблюдении за ходом технологического процесса и связан с измерением абсолютных величин параметров изделия.

Вся совокупность изделий, подлежащих исследованию с целью выявления законов распределения погрешностей, называется генеральной совокупностью.

Часть этой совокупности, взятая на основе случайного отбора и подвергнутая измерению, называется выборкой.

Статистический метод включает следующие этапы:

• - производятся измерения параметров изделий, попавших в выборку;

• - группирование полученных при измерении данных;

• - сводка результатов наблюдения в таблицы и вычисление характеристик распределения исследуемого изделия;

• - анализ и оценка характеристик распределения с целью оценки свойств изделия или технологического процесса.

Изменение значений параметров изделий в пределах выборки называется вариацией, а ряд значений параметров для всей выборки изделий называется вариационным рядом.

Вариационный ряд отражает закономерности ТП и позволяет получить кривую распределения производственных погрешностей параметров изучаемого изделия.

При большом количестве значений в вариационном ряду этот ряд разбивается на интервалы.

Для этого:

1. вычисляется размах:

R=X_max-X_min

р0,1n

2. определяется количество интервалов (р - выбирают таким образом, чтобы на каждый интервал приходилось не менее 10 значений из общего количества наблюдений исследуемого параметра - n).

3. определяется ширина интервала

x=R/(p-1)=R/(0,1n-1)

При определении границ интервалов рекомендуется начинать ряд со значения, величина которого на 0,5 интервала меньше Xmin и заканчивать ряд величиной, превышающей X_max также на 0,5 интервала.

Границы и средние значения интервалов распределения записывают в форме таблицы.

№ интервала	Границы интервалов	Середина интервала Xi	Частота mi	Частость mi/n
1	Xmin-0,5 xXmin+0,5 x	Xmin	m1	m1/n
2	Xmin+0,5 xXmin+1,5 x	Xmin+x	m2	m2/n
3	Xmin+1,5 xXmin+2,5 x	Xmin+2 x	m3	m3/n
...	...	...	...	...
p	Xmax-0,5 xXmax+0,5 x	Xmax	mp	mp/n

m_i - количество значений исследуемого параметра, попавших в заданный интервал.

Контроль правильности заполнения граф 4 и 5 производится суммированием заключенных в них значений:

p p

 m_i=n;  (m_i/n)=1

i=1 i=1

Для большей наглядности используют графическое изображение интервальных рядов распределения. С этой целью строят гистограмму и полигон распределения погрешностей исследуемых параметров (табл.) и технических условий.

Построение гистограммы основано на предположении, что плотность частоты остается постоянной внутри каждого интервала и меняется скачками на краях интервалов. Это допущение искажает реальный характер законов распределения. Более близким является предположение о равномерном изменении плотности частоты или частости, что приводит к необходимости изображения в виде полигонов распределения.

Для построения полигона необходимо из середины интервалов провести ординаты, концы которых соединить ломаной линией.

Еще более точное представление о законе распределения погрешностей дает способ изображения в виде плавной кривой изменения плотности вероятности распределения. Однако, это требует применения специальных математических расчетов.

Для вычисления математического ожидания пользуются формулой:

p

M(x)=( (x_i m_i) / n

i=1

i - номер интервала;

р - количество интервалов;

m_i - частота значений в данном интервале;

x_i - значение исследуемого параметра, соответствующее середине интервала;

Среднее квадратичное отклонение принимает вид:

_______________________

S(x)=([x_i-M(x)]² _*m_i)/n - x²/12

x²/12 - поправка Шеппарда, исключает систематическую погрешность, обусловленную вычислением S(х) по интервальному ряду (вместо непрерывного).

Вычисленные эмпирические характеристики кривых распределения погрешностей реального ТП, сопоставляют с данными ТУ, т.е. величинами номинала N(х) и среднеквадратического отклонения (х).

Наличие существенных отклонений между вычисленным средним значением и его номинальным значением устанавливают с помощью критерия Стьюдента.

_

M(x) - N(x) t_*(x)/n

t - коэффициент, характеризующий уровень доверительной вероятности оценки.

(обычно t=3 при условии требуемой вероятности надежности выводов р=0,9973).

Несоблюдение неравенства свидетельствует о том, что существенное расхождение между М(х) и N(х) вызвано:

1. неправильной настройкой ТП;

2. действием на ТП резко выделяющегося (доминирующего) фактора;

3. специфической особенностью параметра распределения, обусловленной явно выраженной асимметрией.

При этом в точностные размеры необходимо вводить величину коэффициента относительной асимметрии.

_j=(M(x)_j-N(x)_j) / (x_j)_ту где: i- номер операции ТП

(x_j)_ту- половина поля допуска, определяемая ТУ.

При несущественных расхождениях между М(х) и N(х) принимают _j=0.

Степень расхождения между величинами поля допуска x_ту и поля погрешностей реального ТП x_p оценивают путем сравнения дисперсий исследуемого параметра S²(x) и дисперсий определяемой ТУ ²(x).

В качестве критерия в данном случае принимают показатель достоверности .

= S²(x) / ²(x), при S²(x) > ²(x) (в числителе всегда ставится наибольшее из S²(x) или ²(x))

Здесь (x) - среднее квадратичное отклонение, определяемое ТУ как одна треть половины поля допуска, т.е. (x)= (x) _ту /3

Расчетное значение показателя достоверности сравнивают с граничным значением распределения Фишера F.

Нормальному ходу ТП должно соответствовать соотношение  F.

Значение критерия Фишера F зависит от числа степеней свободы K=n-1, сравниваемых дисперсий и уровня доверительной вероятности (берется из таблиц или графиков).

Если  > F , то это свидетельствует о существенном расхождении между полем погрешности реального ТП и допуском по ТУ. При этом вычисляется коэффициент относительного рассеивания (коэффициент асимметрии).

K_j=3S(x_j) /  (x) _ту

При несущественных расхождениях принимают K_j=1.

По вычисленным статистическим характеристикам распределения определяют предельные значения производственных погрешностей и сравнивают их с допустимыми на нижней Xн и верхней Xв границами допуска.

При нормальном законе распределения:

X_max= M(x)+3 X_min= M(x)-3

а поле погрешностей:

X_max - X_min = 6(x)

В общем случае с вероятностью Р=0,9973 должны выдерживаться соотношения:

X_min=[N(x)-3(x)(K_j-_j)]  X_н

X_max=[N(x)+3(x)(K_j+_j)]  X_в

Вероятность попадания нормальной кривой распределения с характеристиками М(х) и S(х) в заданное поле допуска с границами X_в и X_н вычисляют через функцию Лапласа по формуле:

P(X_н  M(x)  X_в)=Ф₀ ([X_в-N(x)]/ (x)) - Ф₀ ([X_н-N(x)]/ (x))

В общем случае, когда выборочные характеристики М(х) и S(х) имеют существенное отклонение от требований ТУ по номиналу и среднему квадратичному отклонению рекомендуется пользоваться следующим скорректированным выражением:

P=Ф_0*((X_в-N(x))/ (x))_*((1- _j)/K_j) - Ф_0*((X_н-N(x))/ (x))_*((1+ _j)/K_j)