2 (Лекции - преподаватель Григорьев Владимир Калистратович)

Л
ЕКЦИЯ 2

Электропроводность полупроводников

Электрический ток – это перенос электрических зарядов. Известно, что электрические заряды присущи элементарным частицам. Причём бывают положительные и отрицательные заряды. Так, атомы состоят из положительно заряженных ядер и отрицательно заряженных электронов. Самый малый заряд у электрона. Электроны притягиваются к ядру. У ядра атома заряд больше, но он кратен заряду электрона. В целом атомы нейтральны, так как число электронов равно заряду ядра. Но иногда электрон может быть оторван от атома. Обычно это легко делается при высоких температурах. Например, в радиолампе разогретый катод испускает электроны (котрые в 2000 раз легче атомов), и они участвуют в переносе тока от катода к аноду.

В твёрдых телах ситуация более сложная, так как электроны не свободны. Известно, что в отдельном атоме электрон находится в поле притяжения положительного заряда. Это можно представить себе как потенциальную яму, см. рис. слева. На рис. показана зависимость энергии от координаты для одного атома слева и для кристалла справа. В случае одного атома это просто уменьшение энергии от нуля в бесконечности до минус бесконечности в центре ядра. В потенциальной яме в случае очень малых частиц, когда применимы законы квантовой механики, всё не так, как в классической механике. Существует дискретный ряд разрешённых энергий, с которыми могут существовать электроны в атоме. Причём по принципу Паули на каждом энергетическом уровне может находиться только один электрон. А в случае кристалла, когда атомы расположены строго периодически и на очень близком расстоянии друг от друга, картина принимает вид как на рис. справа (здесь, конечно, изображена одномерная ситуация, а не трёхмерная, для простоты). Видно, что из-за перекрытия потенциальных ям их высота понизилась, за исключением крайних потенциальных ям. Квантовая механика говорит, что в случае очень малых расстояний частицы (в данном случае электроны) могут преодолевать потенциальный барьер, не получая дополнительной энергии. Но вероятность того, что они преодолеют этот барьер, обратно пропорциональна ширине и высоте барьера, и даже в экспоненциальной форме. Поэтому только на атомном уровне сказывается квантовый эффект, который называется туннельным эффектом.

В результате электрон без всякой дополнительной энергии может проникнуть из одного атома в другой, соседний, затем в третий и т.д. Другими словами, электроны обобществляются. Но принцип Паули запрещает находиться на одном энергетическом уровне более чем одному электрону. Это приводит к тому, что каждый энергетический уровень в атоме расщепляется на энергетическую зону, которая состоит из такого числа уровней, сколько атомов в данном куске кристалла. Это очень много, в одном см³ атомов примерно 10²³ . Приближённо можно считать, что энергетические зоны сплошные.

Число зон в кристалле должно соответствовать числу уровней в атоме. Но ширина зоны зависит от глубины уровня. Чем он глубже, тем меньше ширина уровня, потому что тем больше преодолеваемый в туннельном эффекте барьер. Самые глубокие уровни практически не расщепляются. Самые верхние заполненные уровни расщепляются больше всего, они имеют наибольшую ширину. В полупроводниках наиболее интересными являются верхняя заполненная зона и следующая пустая зона. Поэтому потенциальные ямы атомов обычно не рисуют, а из зон рисуют только эти две:

Символом E_v обозначают верхнюю границу последней заполненной зоны, потолок валентной зоны, а символом E_c – нижнюю границу первой пустой зоны, дно зоны проводимости. Символом E_g = E_c - E_v обозначается ширина запрещённой зоны.

Итак, мы видим, что в твёрдом теле есть заряженные частицы – электроны, и они могут двигаться по твёрдому телу. Оказывается, всё не так просто. Так например, многие твёрдые тела являются металлами, и они хорошо проводят ток; другая ситуация с диэлектриками, которые плохо проводит ток. Есть ещё и полупроводники, занимающие среднее положение между металлами и диэлектриками. Разобраться в этом позволяет зонная теория электропроводности.

В диэлектриках электронов столько, что они полностью заполняют валентную зону, а зона проводимости пуста, там электронов нет. Поэтому зона проводимости ток не проводит, а валентная зона может ток проводить, но не проводит, потому что все состояния электронов в точности симметричны, и если есть состояние с импульсор р, то найдётся и состояние с импульсом

-р, каждое из этих состояний переносит ток, но направления этих токов противоположны, и в сумме переносимый ток равен нулю. Если валентная зона полностью заполнена, то каждый электрон проводит свой маленький ток, а весь кристалл никакого тока не проводит.

Иная картина наблюдается в металлах, где электронов столько, что они заполняют валентную зону только наполовину. При нулевой температуре (по Кельвину, т.е. –273^оС) все нижние состояния заполнены электронами, а все верхние – пустые. Но расстояния между состояниями очень малы, и малейшее возмущение системы, например, приложение маленького напряжения может вызвать смещение электронов из равновесного состояния, и нарушить симметрию в распределении электронов по скоростям. Таким образом довольно легко возникает электрический ток, т.е. имеется электропроводность.

При более высоких температурах возникает некоторое размытие электронов по состояниям, а именно имеется функция распределения Ферми-Дирака:

F(E) – вероятность занятия уровня с энергией E электроном, E_F - некая константа, имеющая размерность энергии и называемая уровнем Ферми. Эта функция выглядит следующим образом:

З
десь функция F располагается горизонтально, а её аргумент E – вертикально. Левая сплошная линия – F(E)=0; правая пунктирная линия - F(E)=1. При Е>E₂ вероятность заполнения состояний электронами равна нулю – тока нет. При E₁ F(E)=1 , все состояния заполнены и эти электроны в силу симметрии кристалла тоже не проводит ток. А вот состояния между пунктирными линиями заполнены не все, поэтому эти электроны могут проводить ток. Именно поэтому металлы хорошо проводят электричество.

Иначе обстоит дело с диэлектриками и полупроводниками. Электронов хватает только для того, чтобы заполнить несколько зон, в том числе и валентную, а остальные, в том числе и зона проводимости, оказываются пустыми. Ясно, что пустые зоны электричества не проводят. Но не проводят его и полностью заполненные, так как в силу симметрии кристалла все маленькие токи уравновешивают друг друга.

Но это справедливо только при нулевой температуре по Кельвину (-273⁰С). При более высоких температурах, и тем более при комнатных температурах, тепловые колебания атомов кристалла часть своей энергии передают электронам, что приводит к распределению по энергиям согласно функции Ферми-Дирака. Часть электронов (малая) приобретает энергию, достаточную для того, чтобы преодолеть запрещённую зону и попасть в следующую зону – зону проводимости. Эта ситуация иллюстрируется рисунком:

На левом рис. представлена плотность состояний в зависимости от Е. При нулевой энергии она очень мала, точнее равна 2 из-за того, что спин электрона равен +/- ½, т.е. в одном состоянии будет два электрона с разными спинами. С ростом энергии плотность состояний пропорциональна квадрату энергии, отсчитанной от уровня E_c (или E_v –E для валентной зоны).

На втором рис. представлена фукция Ферми-Дирака. А на следующем рис. представлено произведение этих двух фукций, которое и представляет собой зависимость конценрации электронов от энергии. Видно, что электронов в зоне проводимости мало, так как вероятность заполнения состояния существенно меньше 1. Значит, они могут двигаться практически как в вакууме, почти что не взаимодействуя друг с другом.

Совсем другое можно сказать о валентной зоне: здесь вероятность заполнения состояния практически равна 1, т.е. почти все состояния заполнены электронами. В этом случае трудно описать их движение, так как они практически всегда мешают друг другу, ведь электроны могут куда-то переместиться, только если там свободное состояние, а почти все состояния заполнены.

Поэтому договорились описывать состояния пустых мест – "дырок", которых мало (не путать с отверстиями). Они, дырки, могут двигаться как бы независимо, почти не сталкиваясь, и их движение можно тоже описывать довольно просто, так же, как и движение электронов в зоне проводимости. Их концентрация описывается произведением числа состояний на разницу между 1 и функцией Ферми-Дирака, см. третий рис. в валентной зоне.

На последнем рис. представлена зависимость энергии от координаты. На дне зоны проводимости есть некоторое количество электронов, у потолка валентной зоны есть некоторое количество дырок. Они, в отличие от электронов, имеют положительный заряд. Так как электроны рождаются при выходе из валентой зоны в зону проводимости электрона, количество их строго равно количеству дырок.

Функция Ферми-Дирака описывает равновесное состояние электронов. Если при какой-то температуре (например комнатной) электронов нет, то будет происходить термогенерация электронов и дырок, и постепенно они распределятся по функции Ферми-Дирака. Скорость генерации зависит от температуры и от ширины запрещённой зоны и практически не зависит от концентрации электронов и дырок.

Есть также обратный процесс – рекомбинация электронов и дырок: предположим, что при случайном движении электрон встретился с дыркой. Электрон из зоны проводимости попадёт в какое-то состояние в валентной зоне, при этом куда-то выделится разноть энергий и разность импульсов, а электрон и дырки взаимоуничтожатся, аннигилируют, или, как говорят в электронике, рекомбинируют. Скорость этого процесса пропорциональна произведению пр, где п – концентрация электронов (обычно в см^-3), и р – концентрация дырок (тоже в см^-3).

Так как с ростом времени п и р растут при генерации электронов и дырок, этот процесс увеличивает скорость рекомбинации электронов и дырок, и в конце концов она становится равной скорости генерации. Это означает достижение состояния, характеризующегося функций Ферми-Дирака. Таким образом мы видим, что генерация электронов и дырок всегда существует, и всегда существует рекомбинация, просто в равновесии они строго равны друг другу.

Концентрация электронов в зоне проводимости определяется формулой:

г
де N_C – эффективная плотность состояний в зоне проводимости. Аналогично:

где N_V - эффективная плотность состояний в валентой зоне. Мы знаем, что концентрации электроной и дырок одинаковы, т.е. n=p=n_i , кроме того,

В этой формуле наиболее сильно всё зависит от членой в экспоненте. Так например, при комнатной температуре получается: