sborka (Задача обработки решеток), страница 5

Обычно приходится иметь дело с диэлектрическими образца­ми более сложной формы, в частности с диэлектрическим диском. В такой ситуации получить аналитическое выражение для ядра не удается, однако это не является препятствием для нахождения решения задачи.

Действительно, ядро уравнения для резонатора с шаром (9.39) — это сумма ядра для пустого резонатора и дополнитель­ного члена, представляющего собой поле, рассеянное шаром.

Запишем уравнение для резонатора с диском в аналогичном виде, поскольку физическая картина явлении одна и та же:

(9.45)

Здесь - ядро пустого резонатора; Т — ядро, связанное с рас­сеянием на диэлектрическом образце. Обсудим, что в сущности делается при решении уравнения (9.39) методом Галеркина. Для определенности будем считать, что в качестве базисных и весо­вых (см. приложение 2) взяты собственные функции резонатора без шара, которые обозначим и будем считать ортонормированными.

С первым слагаемым ядра все ясно, базисные функции являются его собственными, и действие интегрального оператора с та­ким ядром эквивалентно умножению на постоянную, являющую­ся собственным значением пустого резонатора:

(9.46)

Интегральный оператор со вторым слагаемым ядра представ­ляет собой магнитное поле тока на зеркалах, рассеянное шаром. Плотность тока задается в виде , а рассеянное поле рассчи­тывается на поверхности зеркала. При решении (9.39) расчет рас­сеянного шаром поля проводится аналитически. Однако ту же процедуру можно произвести численно, и тогда ограничения на формулу диэлектрического образца в значительной степени сни­маются.

Для расчета рассеянного поля будем применять интегральное уравнение (3.85). Диэлектрический образец может быть произ­вольным телом вращения, в частности диском.

После этих общих соображений рассмотрим процедуру реше­ния (9.45) последовательно. Функция U(x) ищется в виде

(9.47)

В соответствии с методом Галеркина (см. приложение 2) подставляем (9.47) в (9.45), затем умножаем на и повторно ин­тегрируем по образующей зеркала. С учетом ортонормированности базисных функций имеет однородную СЛАУ

(9.48)

где - собственные числа уравнения невозмущенного резонато­ра [см. (9.46)].

Элементы матрицы СЛАУ выражаются интегралами

(9.49)

Последнюю формулу надо понимать как символическую. Она эквивалентна процедуре расчета рассеянного поля, описанной вы­ше. Остановимся на ней подробнее.

Вначале необходимо найти поле на поверхности диэлектричес­кого тела, созданное током вида на зеркалах. Это можно было бы сделать с помощью (3.8), (3.9), однако есть более простой путь, если ограничиться рассмотрением тел небольших, на по­рядок меньших диаметра зеркал. Тогда можно воспользоваться приближенным выражением для поля в резонаторе, соответствую­щим приближенным функциям токов на зеркалах. На рис. 9.6 представлены графики распределения токов на зеркалах, соответ­ствующие низшему типу колебаний и колебанию, имеюще­му вариацию по радиусу . Резонатор конфокальный с па­раметром . Вблизи оси плотность тока, описываемая гиперсфероидальными функциями (кривые 1), практически не отли­чаются от экспоненциальной функции, умноженной на полиномы Лагерра (кривые 2), т. е. от гауссова пучка [68]. Радиальное распределение отличается только масштабом по радиусу.

Таким образом, будем описывать поле в резонаторе вблизи его центра приближенным .выражением в виде гауссова пучка

(9.50)

где

;

R - радиус кривизны волнового фронта; W — радиус «освещен­ного пятна» в пучке. Последняя величина определяется как радиус, на

Рис. 9.6. Сравнение точных и приближенных кривых для гиперсфероидальных функций:

1 - точные, 2 - приближенные кривые

котором интенсивность пучка спадает в е раз по отно­шению к центру пучка. Характерной величиной для каждого пуч­ка является наименьший радиус «пятна» . Применительно к резонатору - это радиус «пятна» в центре, который связан с длиной резонатора ¹:

(9.51)

¹ Как и ранее, все длины предполагаются умноженными на волновое число, которое здесь соответствует действительной части собственной частоты невозмущенного резонатора.

Величины W и R медленно меняются вдоль резонатора:

(9.52)

(9.53)

В центре резонатора Естественно в резо­наторе существуют не один, а два встречных гауссовых пучка, и вблизи центра поле основной моды в приближении гауссова пуч­ка имеет вид

(9.54)

На зеркале для конфокальной геометрии резонатора в соответствии с (9.51)—(9.53) , и распределение тока имеет вид¹

(9.55);

Для следующего колебания «1, 0, q» поле в центре резонатора представляется формулой

(9.56)

и на зеркалах

(9.57)

Таким образом, поле в резонаторе без образца, соответствующее различным модам, в приближении гауссова пучка нетрудно запи­сать. Оно играет роль первичного поля для задачи возбуждения диэлектрического образца.

Вычисляем эквивалентные токи на поверхности диэлектрика в предположении, что основная поляризация поля . В обозначе­ниях § 3.3 имеем:

¹ Напомним, что в открытых резонаторах с круглыми зеркалами принята следующая индексация мод : первый индекс - число вариаций по R, второй - число вариаций по , а третий - число вариаций по

(9.58)

Теперь необходимо возвратиться к азимутальным гармоникам вида , поскольку ЭВМ — программы для диэлектричес­ких тел вращения сделаны применительно к ним. Первичные то­ки представляют собой сумму первой и минус первой гармоник. Каждую из них можно выделить, используя формулу Эйлера. В результате решения задачи возбуждения диэлектрического тела, а конкретно диска, получаем значения эквивалентных токов в дискретных и достаточно часто расположенных точках образую­щей. Зависимость от этих токов известная. Если объединить то­ки первой и минус первой гармоник, она будет такой же, как и у первичных токов (9.58).

Следующий этап — вычисление рассеянных диском полей на зеркалах. Для этого используются формулы (3.8), (3.9). Выра жения для элементов тензорной функции Грина следует упрос тить, как и при выводе уравнений (9.5)—(9.8), т. е. положить , а для функции использовать асимптотичес­кую формулу (9.22). Последняя содержит множитель, учитываю­щий набег фазы на половине размера резонатора (расстояние от образца до одного из зеркал). Такой же набег фаз имеется в первичном для диэлектрического образца поле. Этот сдвиг при­сутствует также в (9.56) и (9.57). Все это позволяет вынести за знак интеграла множитель , такой же, как и из основного ядра. Этот множитель, как и ранее, дает основную час­тотную зависимость. Ядра без него от частоты зависят слабо, и в них частота полагается равной действительной части собственной частоты пустого генератора.

Теперь уже можно вычислить элементы матрицы (9.48). Для определения элемента берется рассеянное поле, возбужденное нулевой модой пустого резонатора, т. е. , затем оно в соот­ветствии с (9.49) домножается на (9.55) и интегрируется. При этом необходимо помнить, что базисные функции предполагались нормированными. Поэтому функцию (9.55) необходимо предвари­тельно пронормировать. В силу осевой симметрии системы по­верхностный интеграл (9.49) можно представить в координатах вращения. Интеграл по берется аналитическим, а по радиаль­ной координате - численно. Остальные элементы отыски­ваются точно так же.

Далее решается задача на собственные значения, а затем с по­мощью формул (9.40) и (9.41) находятся изменения добротности и сдвиг частоты.

2.2 ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОТКРЫТОГО РЕЗОНАТОРА С ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ДИСКОМ, НЕСООСНЫМ С ЗЕРКАЛАМИ [72]

При проведении измерений параметров диэлект­рика образец в виде диска часто удобнее расположить несоосно с зеркалами и, в частности, так, чтобы оси резонатора и диска были перпендикулярны (рис. 9.7). Такое расположение диска нарушает осевую симметрию задачи. В общем случае отход от осевой симметрии очень -сильно усложняет решение, поскольку теря­ется основное преимущество систем враще­ния — независимость отдельных азимуталь­ных гармоник полей.

Рис. 9.7. Геометрия открытого резонатора с несоосными зеркалом и диском

Однако в рассматриваемой задаче анализа полей в высокодобротном открытом резонаторе несоосность вносит технические, но не принципиальные затруднения. Действительно, для измерений параметров диэлектрический образец берется небольшим по срав­нению с размерами резонатора. Поэтому его внесение в резона­тор не приводит к переходу к другой моде, а лишь несколько ме­няет добротность и резонансную частоту той моды, которая су­ществовала без диэлектрика. Таким образом, за счет фильтрую­щих свойств резонатора новых азимутальных гармоник не появ­ляется и основная трудность в несоосных системах вращения сни­мается. Надо лишь следить за тем, чтобы на других азимуталь­ных гармониках у пустого резонатора не было поблизости от час­тоты рабочей моды других высокодобротных мод.

Метод решения задачи остается в общих чертах тем же, что и в предыдущем параграфе, но с некоторыми усложнениями. Главное из них — это необходимость введения двух систем ко­ординат вращения: одной, связанной с зеркалами резонатора (ось вращения у}, и второй, связанной с диэлектрическим телом (ось вращения z) (рис. 9.7). Поле, рассеянное диском, не обладает те­перь осевой симметрией по отношению к зеркалам, что сущест­венно затрудняет интегрирование по поверхности зеркал, необхо­димое при применении метода Галеркина.

Рассмотрим теперь этапы решения задачи. Как и ранее, в ме­тоде Галеркина в качестве базиса используются собственные функции пустого резонатора, а точнее, их приближенное пред­ставление в виде гауссова пучка.