sborka (Задача обработки решеток), страница 8

(А3)

является подмножество Е, которое находится в окрестности .

Следовательно, .

Второе утверждение может быть доказано посредством рассмотрения множества корреляционных векторов, соответствующих функциям спектральной плотности, которые являются интегрируемыми, непрерывными и строго положительными /следовательно, с ограничением от нуля/,

является выпуклым и, из доводов, приведенных выше, следует, что - открыто. Легко показать., что векторы для находятся в замыкании . Из теоремы Каратеодори [16] следует, что каждый может быть записан в виде положительной суммы 2М + I таких . Поскольку каждый находится в замыкании , то отсюда следует, что каждый находится там же. Поэтому замыканием является Е. Два открытых выпуклых множества с одинаковым замыканием должны быть идентичными. Поскольку Е находится в замыкании как , так и , то отсюда следует, что

Приложение В

Теорема представления

Теорема представления раздела IУ-А является простым распространением теоремы Каратеодори [16] для корреляционных векторов на границе Е с использованием теоремы о продолжимости. Это обобщение "теоремы С" Каратеодори [9, гл. 4] для многократных измерений. Ввиду вывода метода Писаренко в разделе 1У, как линейной программы, теорема представления может также рассматриваться, как вид фундаментальной теоремы линейного программирования. [l8].

Теорема представления: Если находится на границе Е, то для некоторых 2М неотрицательных и некоторых :

(В1)

Доказательство: Рассмотрим компактное выпуклое множество , которое является выпуклой оболочкой . По теореме Каратеодори,. любой элемент в Е может быть выражен в виде выпуклой комбинации 2М+1 элементов А

(B2)

при и . Если одно из равно нулю, доказательство завершено. Иначе, поскольку находится на границе , имеется некоторый ненулевой , такой что

(В3)

Итак, для каждого , должны быть линейно зависимыми, следовательно имеются некоторые , не все нули, так что . Пусть является числом с наименьшим значением, так что для некоторого .

Тогда

(B4)

Один из этих коэффициентов равен нулю, что делает равным это выражение сумме только 2М членов. Признание того, что любой элемент Е является масштабированной версией элемента , завершает доказательство.

Отметим, что для случая временной последовательности, может быть выражен в виде суммы не более, чем М комплексных экспоненциалов, в то время, как вышеприведенная теорема гарантирует только представление в терминах 2М экспоненциалов, Это не недостаток доказательства, а подлинная особенность проблемы, как показывает следующий одномерный пример.

Пример BI : . Предположим, что находится на прямой части границы и, как показа-

но на рис.7. Ясно, что имеет единственное представление в виде выпуклой суммы членов А в терминах двух корреляционных векторов, соответствующих и ,

Приложение С

Единственность оценки Писаренко

Как обсуждалось в разделе IУ-А, опенка Писаренко является единственной, если один и только один спектр может быть связан с каждым корреляционным вектором на границе Е. Тривиальные проблемы единственности появляются в результате, если два отдельных в приводят к одному и тому же . В -более общем смысле рассмотрим множество корреляционных векторов, соответствующих нулевому множеству некоторого ненулевого положительного полинома

(С1)

Любой вектор , который превращает в ноль внутреннее произведение с р ,может быть выражен в виде суммы положительных составляющих векторов из множества . Отсюда следует, что если это множество является линейно независимыми, то представление единственно. И наоборот, если это множество линейно зависимо, то можно построить на границе Е, который имеет более одного спектрального представления. Если множество линейно зависимо, то имеется конечная совокупность ненулевых вещественных чисел и , таких что

(С2)

Поскольку для всех , то должно быть, по крайней мере, одно - строго положительное и одно - строго отрицательное. Итак,

(С3)

является ненулевым вектором корреляции на границе Е с, по крайней мере, двумя спектральными представлениями.

Поэтому оценка Писаренко является единственной тогда и только тогда, когда множество корреляционных векторов, соответствующих нулю каждого ненулевого положительного полинома, линейно независимо. В частности, чтобы оценка Писаренко была единственной, никакой ненулевой положительный полином не может иметь более 2М нулей, это условие подобно, хотя и не так строго, условию Хаара [23], которое включает все полиномы, а не только положительные.

Факторизация полиномов в случае временной последовательности дает сильный результат. В случае временной последовательности ненулевой положительный полином может иметь не более М нулей. Кроме того, ненулевой положительный полином может быть построен так, что он равен нулю в М или менее произвольных точках и больше нигде. Это означает /Пример 4.I/ , что корреляционный вектор в имеет единственное спектральное представление и что этот спектр состоит из и или менее импульсов. Кроме того, это означает, что любой спектр, состоящий из М или менее импульсов, имеет корреляционный вектор в .

Однако, простой пример показывает,, что нет гарантии того, что оценка Писаренко будет единственной в большинстве многомерных ситуаций. Рассмотрим ненулевой положительный полином

(С4)

для некоторого ненулевого . Нулевое множество включает часть гиперплоскости

(С5)

которая находится в К. Многие спектральные основы, имеющие практический интерес, пересекают эту гиперплоскость в бесконечном числе точек, подразумевая существование некоторого корреляционного вектора на границе Е с неединственным спектральным представлением. Эта проблема неединственности аналогична неединственности в многомерной чебышевской аппроксимации [24].

ИЛЛЮСТРАЦИИ

Рис.1 ПИП из трех ИП

Рис.2 Спектральная основа для решетки ПИП : I - основа

Рис.3 Е и Р для и . /а/ Сечение Е и Р при и /b/ Сечение Е и Р при .

Рис. 4 Е и Р для и . /а/ Сечение Е и Р при и /b/ Сечение Е и Р при .

Рис.5 Аппроксимация спектральной основы посредством выборки ; сечение при

Рис.6 Разложение вектора на вектор на границе Е плюс кратное данного вектора .

Рис.7 Е для и . /а/ Сечение по Е при и /b/ Сечение по Е при .